一、選擇題
1．圓(x－1)2＋(y＋2)2＝6與直線2x＋y－5＝0的位置關(guān)系是( )
A．相切 B．相交但不過(guò)圓心
C．相交過(guò)圓心 D．相離
2．已知圓C1：x2＋y2＝4，圓C2：x2＋y2＋6x－8y＋16＝0，則圓C1與圓C2的位置關(guān)系是( )
A.相離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切
3．圓：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的點(diǎn)到直線x－y＝2距離的最大值是( )
A．1＋ eq \r(2) B．2
C．1＋ eq \f(\r(2),2) D．2＋2 eq \r(2)
4．兩圓C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0與C2：x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切線有( )
A．4條 B．3條 C．2條 D．1條
5．已知直線l：y＝k(x＋ eq \r(3) )和圓C：x2＋(y－1)2＝1，若直線l與圓C相切，則k＝( )
A．0 B． eq \r(3)
C． eq \f(\r(3),3) 或0 D． eq \r(3) 或0
6．已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，1)且與圓(x－1)2＋y2＝4相交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|＝2 eq \r(2) ，則直線l的斜率k的值為( )
A．1 B．－1或1
C．0或1 D．1
7．已知圓x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直線x＋y＋2＝0所得弦的長(zhǎng)度為4，則實(shí)數(shù)a的值是( )
A.－2 B．－4 C．－6 D．－8
8．已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直線l：2x＋y＋2＝0，P為l上的動(dòng)點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)P作⊙M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，當(dāng)|PM|·|AB|最小時(shí)，直線AB的方程為( )
A.2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
9．若直線l與曲線y＝ eq \r(x) 和圓x2＋y2＝ eq \f(1,5) 都相切，則l的方程為( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x＋ eq \f(1,2)
C．y＝ eq \f(1,2) x＋1 D．y＝ eq \f(1,2) x＋ eq \f(1,2)
二、填空題
10．若圓x2＋y2－4x－4y＝0上至少有3個(gè)不同的點(diǎn)到直線l：y＝kx的距離為 eq \r(2) ，則直線l的斜率k的取值范圍是________．
11．[2023·新課標(biāo)Ⅱ卷]已知直線x－my＋1＝0與⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B兩點(diǎn)，寫出滿足“△ABC面積為 eq \f(8,5) ”的m的一個(gè)值________．
12．過(guò)點(diǎn)P(1，－3)作圓C：(x－4)2＋(y－2)2＝9的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則切線方程為______________．
[能力提升]
13．(多選)[2021·新高考Ⅰ卷]已知點(diǎn)P在圓(x－5)2＋ (y－5)2＝16上，點(diǎn)A(4，0)，B(0，2)，則( )
A．點(diǎn)P到直線AB的距離小于10
B．點(diǎn)P到直線AB的距離大于2
C．當(dāng)∠PBA最小時(shí)，|PB|＝3 eq \r(2)
D．當(dāng)∠PBA最大時(shí)，|PB|＝3 eq \r(2)
14．[2023·新課標(biāo)Ⅰ卷]過(guò)點(diǎn)(0，－2)與圓x2＋y2－4x－1＝0相切的兩條直線的夾角為α，則sin α＝( )
A．1 B． eq \f(\r(15),4) C． eq \f(\r(10),4) D． eq \f(\r(6),4)
15．[2022·新高考Ⅰ卷，14]寫出與圓x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一條直線的方程________________．
16．已知圓C1：x2＋y2＝4和圓C2：(x－2)2＋(y－2)2＝4，若點(diǎn)P(a，b)(a>0，b>0)在兩圓的公共弦上，則 eq \f(1,a) ＋ eq \f(9,b) 的最小值為________．
專練44 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
1．B 圓心(1，－2)到直線2x＋y－5＝0的距離d＝ eq \f(|2－2－5|,\r(22＋12)) ＝ eq \r(5) < eq \r(6) ，
∴兩圓相交但不過(guò)圓心．
2．B ∵x2＋y2＝4的圓心C1(0，0)，半徑r1＝2，
又x2＋y2＋6x－8y＋16＝0可化為(x＋3)2＋(y－4)2＝9，其圓心C2(－3，4)，半徑r2＝3，又圓心距|C1C2|＝ eq \r(（0＋3）2＋（0－4）2) ＝5＝r1＋r2，∴兩圓相外切．
3．A x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化為(x－1)2＋(y－1)2＝1，其圓心C(1，1)，半徑為1，圓心C到直線x－y－2＝0的距離d＝ eq \f(|1－1－2|,\r(12＋（－1）2)) ＝ eq \r(2) ，∴圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為d＋r＝ eq \r(2) ＋1.
4．B 圓C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝4，圓C2：(x＋2)2＋(y－2)2＝9，∴圓心C1(2，－1)，C2(－2，2)，半徑r1＝2，r2＝3，圓心距|C1C2|＝ eq \r(（－2－2）2＋（2＋1）2) ＝5，
r1＋r2＝5，
∴|C1C2|＝r1＋r2，∴兩圓C1與C2外切，∴它們有3條公切線．
5．D 由題意得圓心(0，1)到直線kx－y＋ eq \r(3) k＝0的距離為1，即： eq \f(|－1＋\r(3)k|,\r(k2＋1)) ＝1得k＝0或k＝ eq \r(3) .
6．D 由題意得圓心(1，0)到直線l：y＝kx＋1的距離d為d＝ eq \f(|k＋1|,\r(k2＋1)) ＝ eq \r(4－（\r(2)）2) ，得(k＋1)2＝2(k2＋1)，得k＝1.
7．B x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可化為(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，
則圓心(－1，1)到直線x＋y＋2＝0的距離d＝ eq \f(|－1＋1＋2|,\r(12＋12)) ＝ eq \r(2) ，
由題意得2＋22＝2－a，∴a＝－4.
8．D 如圖，由題可知，AB⊥PM，
|PM|·|AB|＝2S四邊形APBM＝2(S△PAM＋S△PBM)＝2(|PA|＋|PB|)，
∵|PA|＝|PB|，
∴|PM|·|AB|＝4|PA|＝4 eq \r(|PM|2－|AM|2) ＝4 eq \r(|PM|2－4) ，
當(dāng)|PM|最小時(shí)，|PM|·|AB|最小，易知|PM|min＝ eq \f(5,\r(4＋1)) ＝ eq \r(5) ，此時(shí)|PA|＝1，AB∥l，設(shè)直線AB的方程為y＝－2x＋b(b≠－2)，
圓心M到直線AB的距離為d＝ eq \f(|3－b|,\r(5)) ，
|AB|＝ eq \f(4|PA|,|PM|) ＝ eq \f(4,\r(5)) ，∴d2＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(AB,2))) eq \s\up12(2) ＝|MA|2，
即 eq \f(（3－b）2,5) ＋ eq \f(4,5) ＝4，解得b＝－1或b＝7(舍).
綜上，直線AB的方程為y＝－2x－1，即2x＋y＋1＝0.故選D.
9．D 方法一(直接計(jì)算法) 由題可知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l為y＝kx＋m，直線l與曲線y＝ eq \r(x) 的切點(diǎn)為A(x0，y0).由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知 eq \f(1,2\r(x0)) ＝k，即 eq \r(x0) ＝ eq \f(1,2k) ，點(diǎn)A既在直線l上，又在曲線y＝ eq \r(x) 上，∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y0＝kx0＋m，,y0＝\r(x0)．)) ∴kx0＋m＝ eq \r(x0) ，即k· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2k))) eq \s\up12(2) ＋m＝ eq \f(1,2k) ，化簡(jiǎn)可得m＝ eq \f(1,4k) ，又∵直線l與圓x2＋y2＝ eq \f(1,5) 相切，∴ eq \f(|m|,\r(1＋k2)) ＝ eq \f(\r(5),5) ，將m＝ eq \f(1,4k) 代入化簡(jiǎn)得16k4＋16k2－5＝0，解得k2＝ eq \f(1,4) 或k2＝－ eq \f(5,4) (舍去).∵y＝ eq \r(x) 的圖象在第一象限，∴k>0，∴k＝ eq \f(1,2) ，∴m＝ eq \f(1,2) ，∴l(xiāng)的方程為y＝ eq \f(1,2) x＋ eq \f(1,2) .故選D.
方法二(選項(xiàng)分析法) 由選項(xiàng)知直線l的斜率為2或 eq \f(1,2) ，不妨假設(shè)為2，設(shè)直線l與曲線y＝ eq \r(x) 的切點(diǎn)為P(x0，y0)，則 eq \f(1,2) x0－ eq \f(1,2) ＝2.解得x0＝ eq \f(1,16) ，則y0＝ eq \f(1,4) ，即P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)，\f(1,4))) ，顯然點(diǎn)P在圓x2＋y2＝ eq \f(1,5) 內(nèi)，不符合題意，所以直線l的斜率為 eq \f(1,2) ，又直線l與圓x2＋y2＝ eq \f(1,5) 相切，所以只有D項(xiàng)符合題意，故選D.
10．[2－ eq \r(3) ，2＋ eq \r(3) ]
解析：x2＋y2－4x－4y＝0可化為(x－2)2＋(y－2)2＝8，∴圓心為(2，2)，半徑為2 eq \r(2) .當(dāng)圓心到直線l的距離為 eq \r(2) 時(shí)，圓上恰好存在3個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為 eq \r(2) ，∴圓心到直線l的距離應(yīng)小于或等于 eq \r(2) ，∴ eq \f(|2k－2|,\r(1＋k2)) ≤ eq \r(2) ，∴2－ eq \r(3) ≤k≤2＋ eq \r(3) .
11．2(答案不唯一，可以是± eq \f(1,2) ，±2中任意一個(gè))
解析：設(shè)直線x－my＋1＝0為直線l，由條件知⊙C的圓心C(1，0)，半徑R＝2，C到直線l的距離d＝ eq \f(2,\r(1＋m2)) ，|AB|＝2 eq \r(R2－d2) ＝2 eq \r(4－（\f(2,\r(1＋m2))）2) ＝ eq \f(4|m|,\r(1＋m2)) .由S△ABC＝ eq \f(8,5) ，得 eq \f(1,2) × eq \f(4|m|,\r(1＋m2)) × eq \f(2,\r(1＋m2)) ＝ eq \f(8,5) ，整理得2m2－5|m|＋2＝0，解得m＝±2或m＝± eq \f(1,2) ，故答案可以為2.
12．x＝1或8x－15y－53＝0
解析：當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線方程為x＝1，
當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y＋3＝k(x－1)，
即：kx－y－k－3＝0，由題意得
eq \f(|4k－2－k－3|,\r(k2＋1)) ＝3，得k＝ eq \f(8,15) ，
∴切線方程為8x－15y－53＝0.
13．ACD 圓 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－5)) 2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－5)) 2＝16的圓心為M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，5)) ，半徑為4，
直線AB的方程為 eq \f(x,4) ＋ eq \f(y,2) ＝1，即x＋2y－4＝0，
圓心M到直線AB的距離為 eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(5＋2×5－4)),\r(12＋22)) ＝ eq \f(11,\r(5)) ＝ eq \f(11\r(5),5) >4，
所以，點(diǎn)P到直線AB的距離的最小值為 eq \f(11\r(5),5) －40)在兩圓的公共弦上，∴a＋b＝2，∴ eq \f(1,a) ＋ eq \f(9,b) ＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(9,b))) (a＋b)＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10＋\f(b,a)＋\f(9a,b))) ≥ eq \f(1,2) ×(10＋6)＝8，當(dāng)且僅當(dāng) eq \f(b,a) ＝ eq \f(9a,b) ，即b＝3a時(shí)取等號(hào)，所以 eq \f(1,a) ＋ eq \f(9,b) 的最小值為8.

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