一、選擇題
1．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為( )
A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2
2．等差數(shù)列{an}的公差為2，若a2，a4，a8成等比數(shù)列，則{an}的前n項(xiàng)和Sn＝( )
A．n(n＋1) B．n(n－1)
C． eq \f(n（n＋1）,2) D． eq \f(n（n－1）,2)
3．?dāng)?shù)列1， eq \f(1,1＋2) ， eq \f(1,1＋2＋3) ，…， eq \f(1,1＋2＋3＋…＋n) ，…的前n項(xiàng)和為( )
A． eq \f(n,n＋1) B． eq \f(2n,n＋1)
C． eq \f(4n,n＋1) D． eq \f(n,2（n＋1）)
4．?dāng)?shù)列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(n＋1)＋\r(n)))) 的前2 018項(xiàng)的和為( )
A． eq \r(2 018) ＋1 B． eq \r(2 018) －1
C． eq \r(2 019) ＋1 D． eq \r(2 019) －1
5．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an＋1＋(－1)n＋1an＝2，則其前100項(xiàng)和為( )
A．250 B．200
C．150 D．100
6．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足：an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝1，a2＝2，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S2018＝( )
A．3 B．2
C．1 D．0
7．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋1，令bn＝ eq \f(1,a1＋a2＋…＋an) ，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn為( )
A． eq \f(n＋1,2（n＋2）)
B． eq \f(3,4) － eq \f(2n＋3,2（n＋1）（n＋2）)
C． eq \f(n－1,n＋2)
D． eq \f(3,4) － eq \f(2n＋3,（n＋1）（n＋2）)
8．已知數(shù)列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an＋2，n是奇數(shù)，,2an，n是偶數(shù)，)) 則數(shù)列{an}的前20項(xiàng)和為( )
A．1 121 B．1 122
C．1 123 D．1 124
9．(多選)[2023·河北省六校聯(lián)考]等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，若a1＞0，S10＝S20，則( )
A．公差d＜0
B．a(chǎn)16＜0
C．Sn≤S15
D．當(dāng)且僅當(dāng)Sn＜0時(shí)n≥32
二、填空題
10．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＋a3＋a11＝6，則S9＝________．
11．設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，則數(shù)列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an))) 的前10項(xiàng)的和為_(kāi)_______．
12．在等差數(shù)列{an}中，已知a1＋a3＝0，a2＋a4＝－2，則數(shù)列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,2n－1))) 的前10項(xiàng)和是________．
[能力提升]
13．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N)，且a1＝1，a5＝9，bn＝C eq \\al(\s\up1(n－1),\s\d1(99)) ·an，則數(shù)列{bn}的前100項(xiàng)的和為( )
A．100×299 B．100×2100
C．50×299 D．50×2101
14．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足2a1＋22a2＋…＋2nan＝n(n∈N*)，數(shù)列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,lg2anlg2an＋1))) 的前n項(xiàng)和為Sn，則S1·S2·S3·…·S10＝( )
A． eq \f(1,10) B． eq \f(1,5)
C． eq \f(1,11) D． eq \f(2,11)
15．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝________．
16．把一個(gè)等腰直角三角形對(duì)折一次后再展開(kāi)得到的圖形如圖所示，則圖中等腰直角三角形(折痕所在的線段也可作為三角形的邊)有3個(gè)，分別為△ABC，△ABD，△ACD，若連續(xù)對(duì)折n次后再全部展開(kāi)，得到的圖形中等腰直角三角形(折痕所在的線段也可作為三角形的邊)的個(gè)數(shù)記為an，則a4＝________，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為_(kāi)_______．
專(zhuān)練32 數(shù)列求和
1．C Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1)＝ eq \f(2（1－2n）,1－2) ＋ eq \f(（1＋2n－1）n,2) ＝2n＋1－2＋n2.
2．A ∵a2，a4，a8成等比數(shù)列，∴a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＝a2a8，
∴(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，得a1＝d＝2，
∴Sn＝na1＋ eq \f(n（n－1）,2) d＝n(n＋1).
3．B ∵ eq \f(1,1＋2＋3＋…＋n) ＝ eq \f(2,（1＋n）n) ＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋1))) ，
∴Sn＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,n)－\f(1,n＋1)))
＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,n＋1))) ＝ eq \f(2n,n＋1) .
4．D ∵ eq \f(1,\r(n＋1)＋\r(n)) ＝ eq \r(n＋1) － eq \r(n) ，
∴S2 018＝ eq \r(2) －1＋ eq \r(3) － eq \r(2) ＋…＋ eq \r(2 019) － eq \r(2 018) ＝ eq \r(2 019) －1．
5．D 當(dāng)n＝2k－1時(shí)，a2k＋a2k－1＝2，∴{an}的前100項(xiàng)和S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝50×2＝100，故選D.
6．A ∵an＋1＝an－an－1，a1＝1，a2＝2，
∴a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，…，故數(shù)列{an}是周期為6的周期數(shù)列，且每連續(xù)6項(xiàng)的和為0，故S2018＝336×0＋a2017＋a2018＝a1＋a2＝3.故選A.
7．B 因?yàn)閍1＋a2＋…＋an＝ eq \f(n（3＋2n＋1）,2) ＝n(n＋2)，所以bn＝ eq \f(1,n（n＋2）) ＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))) ，故Tn＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2)－\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2))) ＝ eq \f(3,4) － eq \f(2n＋3,2（n＋1）（n＋2）) ，故選B.
8．C 由題意可知，數(shù)列{a2n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列{a2n－1}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，故數(shù)列{an}的前20項(xiàng)和為 eq \f(1×（1－210）,1－2) ＋10×1＋ eq \f(10×9,2) ×2＝1 123.選C.
9．ABC 因?yàn)?S10＝S20，所以a11＋a12＋…＋a19＋a20＝5(a15＋a16)＝0，又a1＞0，所以a15＞0，a16＜0，所以d＜0，Sn≤S15，故ABC正確；因?yàn)镾31＝ eq \f(31（a1＋a31）,2) ＝31a16＜0，故D錯(cuò)誤．故選ABC.
10．18
解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.∵a1＋a3＋a11＝6，
∴3a1＋12d＝6，即a1＋4d＝2，∴a5＝2，∴S9＝ eq \f(（a1＋a9）×9,2) ＝ eq \f(2a5×9,2) ＝18.
11. eq \f(20,11)
解析：∵an＋1－an＝n＋1，∴當(dāng)n≥2時(shí)，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n，
∴an－a1＝ eq \f(（2＋n）（n－1）,2) ，∴an＝1＋ eq \f(（n＋2）（n－1）,2) ＝ eq \f(n2＋n,2) (n≥2)
又當(dāng)n＝1時(shí)a1＝1符合上式，
∴an＝ eq \f(n2＋n,2)
∴ eq \f(1,an) ＝ eq \f(2,n2＋n) ＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋1))) ，
∴S10＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,10)－\f(1,11))) ＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,11))) ＝ eq \f(20,11) .
12. eq \f(5,256)
解析：∵{an}為等差數(shù)列，∴a1＋a3＝2a2＝0，
∴a2＝0，a2＋a4＝2a3＝－2，
∴a3＝－1，∴d＝a3－a2＝－1，∴an＝a2＋(n－2)d＝2－n，
∴Sn＝ eq \f(1,20) ＋ eq \f(0,21) ＋…＋ eq \f(2－n,2n－1) ，
∴ eq \f(1,2) Sn＝ eq \f(1,21) ＋ eq \f(0,22) ＋…＋ eq \f(3－n,2n－1) ＋ eq \f(2－n,2n) ，
∴ eq \f(1,2) Sn＝ eq \f(1,20) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－1,21)＋\f(－1,22)＋…＋\f(－1,2n－1))) － eq \f(2－n,2n) ＝ eq \f(n,2n) ，
∴Sn＝ eq \f(n,2n－1) ，S10＝ eq \f(10,29) ＝ eq \f(5,256) .
13．A 由2an＝an＋1＋an－1知{an}為等差數(shù)列，又a1＝1，a5＝a1＋4d，∴d＝2，｀∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
∴{bn}的前100項(xiàng)的和S100滿(mǎn)足：
S100＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(99)) a1＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(99)) a2＋…＋C eq \\al(\s\up1(99),\s\d1(99)) a100，
∴S100＝C eq \\al(\s\up1(99),\s\d1(99)) a100＋C eq \\al(\s\up1(98),\s\d1(99)) a99＋…＋C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(99)) a1＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(99)) a100＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(99)) a99＋…＋C eq \\al(\s\up1(99),\s\d1(99)) a1，
∴2S100＝(a1＋a100)(C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(99)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(99)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(99)) ＋…＋C eq \\al(\s\up1(99),\s\d1(99)) )＝200×299，
∴S100＝100×299.
14．C ∵2a1＋22a2＋…＋2nan＝n(n∈N*)，
∴2a1＋22a2＋…＋2n－1an－1＝n－1(n≥2)，
∴2nan＝1(n≥2)，當(dāng)n＝1時(shí)也滿(mǎn)足，故an＝ eq \f(1,2n) ，故 eq \f(1,lg2anlg2an＋1) ＝ eq \f(1,lg22－nlg22－（n＋1）) ＝ eq \f(1,n（n＋1）) ＝ eq \f(1,n) － eq \f(1,n＋1) ，Sn＝1－ eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,2) － eq \f(1,3) ＋…＋ eq \f(1,n) － eq \f(1,n＋1) ＝1－ eq \f(1,n＋1) ＝ eq \f(n,n＋1) ，
∴S1·S2·S3·…·S10＝ eq \f(1,2) × eq \f(2,3) × eq \f(3,4) ×…× eq \f(9,10) × eq \f(10,11) ＝ eq \f(1,11) ，選C.
15．－ eq \f(1,n)
解析：∵an＋1＝SnSn＋1＝Sn＋1－Sn，
∴ eq \f(1,Sn＋1) － eq \f(1,Sn) ＝－1，
∴數(shù)列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,Sn))) 為等差數(shù)列，
∴ eq \f(1,Sn) ＝ eq \f(1,S1) ＋(n－1)×(－1)＝－n.
∴Sn＝－ eq \f(1,n) .
16．31 2n＋2－4－n
解析：由題意得a1＝22－1，a2＝23－1，a3＝24－1，a4＝25－1＝31，所以an＝2n＋1－1，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為22－1＋23－1＋24－1＋…＋2n＋1－1＝22＋23＋24＋…＋2n＋1－n＝ eq \f(22（1－2n）,1－2) －n＝2n＋2－4－n.

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