新高考數學一輪復習微專題專練29數列的概念（含詳解）-試卷下載-教習網

一、選擇題
1．下列數列中，既是遞增數列又是無窮數列的是( )
A．－1，－2，－3，－4，…
B．－1，－ eq \f(1,2) ，－ eq \f(1,3) ，－ eq \f(1,4) ，…
C．－1，－2，－4，－8，…
D．1， eq \r(2) ， eq \r(3) ， eq \r(4) ，…， eq \r(10)
2．已知an＝ eq \f(n－1,n＋1) ，那么數列{an}是( )
A．遞減數列 B．遞增數列
C．常數列 D．擺動數列
3．在數列1，2， eq \r(7) ， eq \r(10) ， eq \r(13) ，…中，2 eq \r(19) 是這個數列的第( )
A．16項 B．24項
C．26項 D．28項
4．已知數列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an＋3，an為奇數，,2an＋1，an為偶數，)) 則a6＝( )
A．16 B．25
C．28 D．33
5．已知數列{an}，an＝－2n2＋λn.若該數列是遞減數列，則實數λ的取值范圍是( )
A．(－∞，6) B．(－∞，4]
C．(－∞，5) D．(－∞，3]
6．已知數列{an}滿足a1＝2，an＋1＝ eq \f(1＋an,1－an) (n∈N*)，則a2021＝( )
A．2 B．－3
C．－ eq \f(1,2) D． eq \f(1,3)
7．設數列{an}滿足a1＝a，an＋1＝ eq \f(a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) －2,an＋1) (n∈N*)，若數列{an}是常數列，則a＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．(－1)n

8．在數列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,n))) ，則an＝( )
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋n ln n D．1＋n＋ln n
9．(多選)下面四個說法中錯誤的是( )
A．數列{ eq \f(n＋1,n) }的第k項為1＋ eq \f(1,k)
B．數列的項數是無限的
C．數列的通項公式的表達式是唯一的
D．數列1，3，5，7可以表示為{1，3，5，7}
二、填空題
10．數列{an}滿足a1＝17，an＝an－1＋2n－1(n≥2，n∈N*)，則 eq \f(an,n) 的最小值是________．
11．設數列{an}滿足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，則數列{an}的通項公式為an＝________．
[能力提升]
12．數列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，則其通項公式為________．
專練29 數列的概念
1．B A，B，C中的數列都是無窮數列，但是A，C中的數列是遞減數列，故選B.
2．B ∵an＋1－an＝ eq \f(n,n＋2) － eq \f(n－1,n＋1)
＝ eq \f(n（n＋1）－（n－1）（n＋2）,（n＋1）（n＋2）) ＝ eq \f(2,（n＋1）（n＋2）) ，又n∈N*，
∴ eq \f(2,（n＋1）（n＋2）) ＞0，
即：an＋1－an＞0，∴an＋1＞an，∴{an}為遞增數列．
3．C 數列可化為 eq \r(1) ， eq \r(3×1＋1) ， eq \r(3×2＋1) ， eq \r(3×3＋1) ， eq \r(3×4＋1) ，…，
∴an＝ eq \r(3（n－1）＋1) ＝ eq \r(3n－2) ，
由 eq \r(3n－2) ＝2 eq \r(19) ＝ eq \r(76) ，得n＝26.
4．C 當n＝1時，a2＝1＋3＝4；當n＝2時，a3＝2×4＋1＝9；當n＝3時，a4＝9＋3＝12；當n＝4時，a5＝2×12＋1＝25；當n＝5時，a6＝25＋3＝28.故選C.
5．A 由題意得an＋1－an＝－2(n＋1)2＋λ(n＋1)＋2n2－λn＝－4n－2＋λ＜0恒成立，∴－4－2＋λ＜0，∴λ＜6.
6．A ∵a1＝2，∴a2＝ eq \f(1＋2,1－2) ＝－3，a3＝ eq \f(1－3,1－（－3）) ＝－ eq \f(1,2) ，a4＝ eq \f(1－\f(1,2),1＋\f(1,2)) ＝ eq \f(1,3) ，a5＝ eq \f(1＋\f(1,3),1－\f(1,3)) ＝2＝a1，…
∴{an}為周期數列，且周期T＝4，∴a2021＝a1＝2.
7．A 因為數列{an}是常數列，所以a＝a2＝ eq \f(a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －2,a1＋1) ＝ eq \f(a2－2,a＋1) ，即a(a＋1)＝a2－2，解得a＝－2，故選A.
8．A 由an＋1＝an＋ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,n))) 得
an＋1－an＝ln eq \f(n＋1,n) ＝ln (n＋1)－ln n，
∴當n≥2時，a2－a1＝ln 2－ln 1，a3－a2＝ln 3－ln 2，…，an－an－1＝ln n－ln (n－1)，
∴an－a1＝ln n，∴an＝ln n＋a1＝2＋ln n，
又當n＝1時，a1＝2＝2＋ln 1符合上式．
∴an＝2＋ln n．
9．BCD 根據數列的表示方法可知，求數列的第k項就是將k代入通項公式，經驗證知A正確；數列的項數可能是有限的，也可能是無限的，并且數列的通項公式的表達式不是唯一的，故B，C不正確；集合中的元素具有無序性，而數列中每一個數的位置都是確定的，故D不正確．故選BCD.
10．8
解析：∵a1＝17，an＝an－1＋2n－1(n≥2，n∈N*)，
∴an－an－1＝2n－1，
∴a2－a1＝3，a3－a2＝5，a4－a3＝7，…，
an－an－1＝2n－1(n≥2，n∈N*)
以上各式相加得，an－a1＝3＋5＋7＋…＋2n－1，
整理得，an＝17＋ eq \f(（n－1）（2n＋2）,2) ＝n2＋16(n≥2，n∈N*).
又當n＝1時，a1＝17也適合上式，∴an＝n2＋16，
∴ eq \f(an,n) ＝n＋ eq \f(16,n) ≥2 eq \r(n·\f(16,n)) ＝8(當且僅當n＝4時取“＝”).
11. eq \f(n2＋n,2)
解析：由an＋1－an＝n＋1，∴當n≥2時，a2－a1＝1＋1＝2，
a3－a2＝2＋1＝3，a4－a3＝3＋1＝4，…，an－an－1＝n－1＋1＝n，
∵an－a1＝ eq \f(（2＋n）（n－1）,2) ，∴an＝ eq \f(n2＋n,2) (n≥2)，
又當n＝1時a1＝1也適合上式，∴an＝ eq \f(n2＋n,2) .
12．an＝2n－1
解析：由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)，
∴ eq \f(an＋1＋1,an＋1) ＝2，∴{an＋1}是以2為首項，2為公比的等比數列，
∴an＋1＝(a1＋1)·2n－1＝2n，
∴an＝2n－1.