一、選擇題
1．拋物線y＝ eq \f(1,4) x2的焦點到其準(zhǔn)線的距離為( )
A．1 B．2
C． eq \f(1,2) D． eq \f(1,8)
2．已知拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過點(－1，1)，則該拋物線的焦點坐標(biāo)為( )
A．(－1，0) B．(1，0)
C．(0，－1) D．(0，1)
3．動點M到點F(2，1)的距離和到直線l：3x＋4y－10＝0的距離相等，則動點M的軌跡為( )
A．拋物線 B．直線
C．線段 D．射線
4．若拋物線y2＝2px的焦點與雙曲線 eq \f(x2,3) －y2＝1的右焦點重合，則p的值為( )
A．－4 B．4
C．－2 D．2
5．[2022·全國乙卷(文)，6] 設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點，點A在C上，點B(3，0)，若|AF|＝|BF|，則|AB|＝( )
A.2 B．2 eq \r(2)
C．3 D．3 eq \r(2)
6．若拋物線y2＝2px(p>0)的焦點是橢圓 eq \f(x2,3p) ＋ eq \f(y2,p) ＝1的一個焦點，則p＝( )
A．2 B．3
C．4 D．8
7.
如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，則拋物線的方程為( )
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝x
8．設(shè)坐標(biāo)原點為O，拋物線y2＝2x與過焦點的直線交于A，B兩點，則 eq \(OA,\s\up6(→)) · eq \(OB,\s\up6(→)) 等于( )
A． eq \f(3,4) B．－ eq \f(3,4)
C．3 D．－3
9．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，準(zhǔn)線為l，過點F的直線交拋物線于A，B兩點，過點A作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為E，當(dāng)A點坐標(biāo)為(3，y0)時，△AEF為正三角形，則此時△OAB的面積為( )
A． eq \f(4\r(3),3) B． eq \r(3)
C． eq \f(2\r(3),3) D． eq \f(\r(3),3)
二、填空題
10．[2021·新高考Ⅰ卷]已知O為坐標(biāo)原點，拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，P為C上一點，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點，且PQ⊥OP，若|FQ|＝6，則C的準(zhǔn)線方程為________．
11．[2023·全國乙卷(理)]已知點A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\r(5))) 在拋物線C：y2＝2px上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為________．
12．已知直線y＝kx＋2與拋物線y2＝8x有且只有一個公共點，則k的值為________．
[能力提升]
13．(多選)[2023·新課標(biāo)Ⅱ卷]設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線y＝－ eq \r(3) (x－1)過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準(zhǔn)線，則( )
A．p＝2
B．|MN|＝ eq \f(8,3)
C．以MN為直徑的圓與l相切
D．△OMN為等腰三角形
14．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線y2＝4x的焦點為F，一條平行于x軸的光線從點M(3，1)射出，經(jīng)過拋物線上的點A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點B射出，則△ABM的周長為( )
A． eq \f(71,12) ＋ eq \r(26) B．9＋ eq \r(26)
C．9＋ eq \r(10) D． eq \f(83,12) ＋ eq \r(26)
15．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，準(zhǔn)線為l，拋物線C有一點P，過點P作PM⊥l，垂足為M，若等邊△PMF的面積為4 eq \r(3) ，則p＝________．
16．過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F作傾斜角為60°的直線，與拋物線分別交于A，B兩點(點A在x軸上方)，則 eq \f(|AF|,|BF|) ＝________.
專練47 拋物線
1．B y＝ eq \f(1,4) x2可化為x2＝4y，則焦點到準(zhǔn)線的距離為 eq \f(1,2) ×4＝2.
2．B ∵y2＝2px的準(zhǔn)線為x＝－ eq \f(p,2) ，又準(zhǔn)線過點(－1，1)，∴－ eq \f(p,2) ＝－1，∴p＝2，故其焦點坐標(biāo)為(1，0).
3．B ∵F(2，1)在直線l：3x＋4y－10＝0上，∴動點M的軌跡為過點F且與直線l垂直的直線．
4．B ∵ eq \f(x2,3) －y2＝1的右焦點為(2，0)，∴ eq \f(p,2) ＝2，p＝4.
5．B 由已知條件，易知拋物線y2＝4x的焦點為F(1，0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.又B(3，0)，則|AF|＝|BF|＝2.不妨設(shè)點A在第一象限，則A(x0，2 eq \r(x0) ).根據(jù)拋物線的定義可知x0－(－1)＝2，所以x0＝1，所以A(1，2)，所以|AB|＝ eq \r(（1－3）2＋（2－0）2) ＝2 eq \r(2) .故選B.
6．D 由題意，知拋物線的焦點坐標(biāo)為 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0)) ，橢圓的焦點坐標(biāo)為(± eq \r(2p) ，0)，所以 eq \f(p,2) ＝ eq \r(2p) ，解得p＝8，故選D.
7．B
如圖，分別過點A，B作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于點E，D，設(shè)準(zhǔn)線與x軸交于點G，設(shè)|BF|＝a，則由已知得|BC|＝2a，由定義得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中，
∵|AF|＝4，|AC|＝4＋3a，
∴2|AE|＝|AC|，∴4＋3a＝8，從而得a＝ eq \f(4,3) ，∵AE∥FG，∴ eq \f(FG,AE) ＝ eq \f(CF,AC) ，即 eq \f(p,4) ＝ eq \f(4,8) ，得p＝2.∴拋物線方程為y2＝4x.故選B.
8．B 當(dāng)AB與x軸垂直時，A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) ，B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－1)) ， eq \(OA,\s\up6(→)) · eq \(OB,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) × eq \f(1,2) ＋1×(－1)＝－ eq \f(3,4) ；
當(dāng)AB與x軸不垂直時，
設(shè)l：y＝k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2))) ，
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，,y2＝2x，)) 得k2x2－(k2＋2)x＋ eq \f(k2,4) ＝0
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)
由韋達定理得x1＋x2＝ eq \f(k2＋2,k2) ，x1x2＝ eq \f(1,4) ，
∴ eq \(OA,\s\up6(→)) · eq \(OB,\s\up6(→)) ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－\f(1,2))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(1,2)))
＝(1＋k2)x1x2－ eq \f(1,2) k2(x1＋x2)＋ eq \f(k2,4) ＝－ eq \f(3,4) .
9．A 不妨設(shè)點A在第一象限，
如圖所示，過點F作AE的垂線，垂足為H，由題知當(dāng)A的坐標(biāo)為(3，y0)時△AEF為正三角形，此時H為AE的中點，|AE|＝3＋ eq \f(p,2) ，|EH|＝p，∴2p＝3＋ eq \f(p,2) ，解得p＝2，∴y2＝4x，A(3，2 eq \r(3) )，F(xiàn)(1，0)，∴kAF＝ eq \r(3) ，直線AF的方程為y＝ eq \r(3) (x－1)，代入拋物線方程得3(x－1)2＝4x.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，解得x1＝3，x2＝ eq \f(1,3) ，此時y1＝2 eq \r(3) ，y2＝－ eq \f(2\r(3),3) ，∴S△AOB＝S△OFB＋S△OFA＝ eq \f(1,2) ×1× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)＋2\r(3))) ＝ eq \f(4\r(3),3) ，故選A.
10．x＝－ eq \f(3,2)
解析：拋物線C：y2＝2px (p>0)的焦點F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0)) ，
∵P為C上一點，PF與x軸垂直，
所以P的橫坐標(biāo)為 eq \f(p,2) ，代入拋物線方程求得P的縱坐標(biāo)為±p，
不妨設(shè)P( eq \f(p,2) ，p)，
因為Q為x軸上一點，且PQ⊥OP，所以Q在F的右側(cè)，
又∵|FQ|＝6，
∴Q(6＋ eq \f(p,2) ，0)，∴ eq \(PQ,\s\up6(→)) ＝(6，－p)
因為PQ⊥OP，所以 eq \(PQ,\s\up6(→)) · eq \(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(p,2) ×6－p2＝0，
∵p>0，∴p＝3，
所以C的準(zhǔn)線方程為x＝－ eq \f(3,2) .
11. eq \f(9,4)
解析：將點A的坐標(biāo)代入拋物線方程，得5＝2p，于是y2＝5x，則拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－ eq \f(5,4) ，所以A到準(zhǔn)線的距離為1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,4))) ＝ eq \f(9,4) .
12．0或1
解析：由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2，,y2＝8x，)) 得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，
若k＝0，滿足題意；若k≠0，則Δ＝(4k－8)2－4×4k2＝0，得k＝1.綜上得k＝0或k＝1.
13．AC 由題意，易知直線y＝－ eq \r(3) (x－1)過點(1，0).
對于A，因為直線經(jīng)過拋物線C的焦點，所以易知焦點坐標(biāo)為(1，0)，所以 eq \f(p,2) ＝1，即p＝2，所以A選項正確．
對于B，不妨設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1

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