2024年新高考專用數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義一隅三反基礎(chǔ)版 7.3 空間幾何體積及表面積（精講）（基礎(chǔ)版）（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考點(diǎn)呈現(xiàn)
例題剖析
考點(diǎn)一柱錐臺(tái)表面積
【例1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為120°的扇形，則該圓錐的表面積為（）
A．B．C．D．
【例1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓柱的底面半徑和高都是2，那么圓柱的側(cè)面積是（）
A．B．C．D．
【例1-3】 (2023·河南）如圖，圓臺(tái)的側(cè)面展開圖為半圓環(huán)，圖中線段，為線段的四等分點(diǎn)，則該圓臺(tái)的表面積為（）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)一圓錐的側(cè)面積是其底面積的3倍，則該圓錐的高與母線長的比值為（）
A．B．C．D．
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)）圓臺(tái)上、下底面的圓周都在一個(gè)直徑為10的球面上，其上、下底面的半徑分別為4和5，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為（）
A．B．C．D．
3． (2023·全國·高三專題練習(xí)（理））在邊長為2的菱形中，，垂足為點(diǎn)E，以所在的直線為軸，其余四邊旋轉(zhuǎn)半周形成的面圍成一個(gè)幾何體，則該幾何體的表面積為（）
A．B．C．D．
4． (2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在中，，，是上的高，沿把折起，使，若，則三棱錐的表面積為_______．
考點(diǎn)二柱錐臺(tái)的體積
【例2-1】 (2023·福建）若圓錐的表面積為，圓錐的高與母線長之比，則該圓錐的體積為（）
A．B．C．D．
【例2-2】 (2023·江蘇南京·高三開學(xué)考試）在△ABC中，.則以BC為軸，將△ABC旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為（）
A．B．C．D．
【例2-3】 (2023·湖北·宜城市第二高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試）如圖，何尊是我國西周早期的青銅禮器，其造型渾厚，工藝精美，尊內(nèi)底鑄銘文中的“宅茲中國”為“中國”一詞最早的文字記載，何尊還是第一個(gè)出現(xiàn)“德”字的器物，證明了周王朝以德治國的理念，何尊的形狀可近似看作是圓臺(tái)和圓柱的組合體，組合體的高約為40cm，上口直徑約為28cm，經(jīng)測(cè)量可知圓臺(tái)的高約為16cm，圓柱的底面直徑約為18cm，則該組合體的體積約為（）（其中的值取3）
A．11280cm3B．12380cm3C．12680cm3D．12280cm3
【一隅三反】
1． (2023·全國·高三專題練習(xí)）正四棱臺(tái)的上?下底面的邊長分別為2?4，側(cè)棱長為2，則其體積為（）
A．56B．C．D．
2．（2023·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)一模）若圓錐的母線與底面所成的角為，底面圓的半徑為，則該圓錐的體積為（）
A．B．C．D．
3． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓柱的底面半徑為1，高為2，AB，CD分別為上、下底面圓的直徑，，則四面體ABCD的體積為（）
A．B．C．1D．
4． (2023·上海閔行·二模）如圖，四棱錐的底面為菱形，平面，為棱的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)若，求點(diǎn)到平面的距離.
考點(diǎn)三球的體積與表面積
【例3】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正方體外接球的體積是，那么正方體的體對(duì)角線等于（）
A．B．4C．D．.
【一隅三反】
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則球與圓柱體積比是（）
A．B．C．D．
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)）長方體的長，寬，高分別為3，，1，其頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的體積為（）
A．B．C．D．
考點(diǎn)四空間幾何的截面
【例4】 (2023·貴州貴陽·二模（理））如圖所示的幾何體是一個(gè)正方體挖掉一個(gè)圓錐(圓錐的底面圓與正方體的上底面正方形各邊相切，頂點(diǎn)在下底面上)，用一個(gè)垂直于正方體某個(gè)面的平面截該幾何體，下列圖形中一定不是其截面圖的是（）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1． (2023·全國·高三專題練習(xí)）軸截面為正方形的圓柱內(nèi)接于球，則它們的表面積之比是（）
A．B．C．D．
2．（2022廣西）立體幾何中，用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體得到的平面圖形叫截面.已知正方體的內(nèi)切球的直徑為過球的一條直徑作該正方體的截面，所得的截面面積的最大值為（）
A．B．C．D．
3． (2023·河南·二模（理））如圖所示，在長方中，，點(diǎn)E是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面交棱于點(diǎn)F，則四棱錐的體積為___________，截面四邊形的周長的最小值為___________.
7.3 空間幾何體積及表面積（精講）（基礎(chǔ)版）
思維導(dǎo)圖
考點(diǎn)呈現(xiàn)
例題剖析
考點(diǎn)一柱錐臺(tái)表面積
【例1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為120°的扇形，則該圓錐的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)圓錐的母線長為，則，解得，則該圓錐的表面積為.
故選：C.
【例1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓柱的底面半徑和高都是2，那么圓柱的側(cè)面積是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)閳A柱的底面半徑和高都是，所以圓柱的側(cè)面積.故選：B.
【例1-3】 (2023·河南）如圖，圓臺(tái)的側(cè)面展開圖為半圓環(huán)，圖中線段，為線段的四等分點(diǎn)，則該圓臺(tái)的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)圓臺(tái)上底面半徑為，下底面半徑為，
則，，解得：，，
圓臺(tái)上、下底面面積分別為：，，
又圓臺(tái)的側(cè)面積，圓臺(tái)的表面積.故選：A.
【一隅三反】
1． (2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)一圓錐的側(cè)面積是其底面積的3倍，則該圓錐的高與母線長的比值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，高為h，由題意得，
解得，又，則，．故選：B.
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)）圓臺(tái)上、下底面的圓周都在一個(gè)直徑為10的球面上，其上、下底面的半徑分別為4和5，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)閳A臺(tái)下底面半徑為5，球的直徑為，
所以圓臺(tái)下底面圓心與球心重合，底面圓的半徑為，畫出軸截面如圖，

設(shè)圓臺(tái)上底面圓的半徑，則
所以球心到上底面的距離，即圓臺(tái)的高為3，
所以母線長，
所以，故選：C.
3． (2023·全國·高三專題練習(xí)（理））在邊長為2的菱形中，，垂足為點(diǎn)E，以所在的直線為軸，其余四邊旋轉(zhuǎn)半周形成的面圍成一個(gè)幾何體，則該幾何體的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題設(shè)，，如下圖示：
繞所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)半周，則與重合，
所得旋轉(zhuǎn)體為底面直徑、母線為2的半圓錐和上下底面直徑分別為2、4，母線為2的半圓臺(tái)組合而成，如下圖示：

所以圓錐表面積為，圓臺(tái)表面積為，
則幾何體的表面積.故選：C
4． (2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在中，，，是上的高，沿把折起，使，若，則三棱錐的表面積為_______．
【答案】
【解析】由題意，折起前是邊上的高，
當(dāng)折起后，可得，，
因?yàn)?，，所以?br>從而，
所以三棱錐的表面積.
故答案為：.
考點(diǎn)二柱錐臺(tái)的體積
【例2-1】 (2023·福建）若圓錐的表面積為，圓錐的高與母線長之比，則該圓錐的體積為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意可知母線與圓錐底面的夾角的正弦值為，故母線與圓錐底面的夾角為，
設(shè)底面半徑為r，圓錐的高為h，母線長為l，則① ，
則圓錐的表面積為，將①代入，解得，
圓錐的體積為；故選：A.
【例2-2】 (2023·江蘇南京·高三開學(xué)考試）在△ABC中，.則以BC為軸，將△ABC旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】過A作交于點(diǎn)，則題中旋轉(zhuǎn)體是以繞直角邊所在直線BC旋轉(zhuǎn)所成的兩個(gè)圓錐的組合體.因?yàn)椋?br>所以，所以△ABC的面積為：
，解得：.
所以將△ABC旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為：
故選：C.
【例2-3】 (2023·湖北·宜城市第二高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試）如圖，何尊是我國西周早期的青銅禮器，其造型渾厚，工藝精美，尊內(nèi)底鑄銘文中的“宅茲中國”為“中國”一詞最早的文字記載，何尊還是第一個(gè)出現(xiàn)“德”字的器物，證明了周王朝以德治國的理念，何尊的形狀可近似看作是圓臺(tái)和圓柱的組合體，組合體的高約為40cm，上口直徑約為28cm，經(jīng)測(cè)量可知圓臺(tái)的高約為16cm，圓柱的底面直徑約為18cm，則該組合體的體積約為（）（其中的值取3）
A．11280cm3B．12380cm3C．12680cm3D．12280cm3
【答案】D
【解析】由題意得圓柱的高約為（cm），
則何尊的體積（cm3）故選：D．
【一隅三反】
1． (2023·全國·高三專題練習(xí)）正四棱臺(tái)的上?下底面的邊長分別為2?4，側(cè)棱長為2，則其體積為（）
A．56B．C．D．
【答案】B
【解析】如圖所示，
在正四棱臺(tái)中，點(diǎn)分別為上、下底面的中心，連接，則由題意可知底面，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則底面，四邊形為矩形，，所以，因?yàn)椋裕?br>即正四棱臺(tái)的高為，所以正四棱臺(tái)的體積為.
故選：B.
2．（2023·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)一模）若圓錐的母線與底面所成的角為，底面圓的半徑為，則該圓錐的體積為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)圓錐的高為h，因?yàn)槟妇€與底面所成的角為，所以，解得．
圓錐的體積．故選：B
3． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓柱的底面半徑為1，高為2，AB，CD分別為上、下底面圓的直徑，，則四面體ABCD的體積為（）
A．B．C．1D．
【答案】D
【解析】如圖所示：
連接，因?yàn)椋?，且，所以平面?br>所以，，故選：D
4． (2023·上海閔行·二模）如圖，四棱錐的底面為菱形，平面，為棱的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)若，求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】(1)證明過程見解析；(2)
【解析】(1)證明：因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，
因?yàn)樗睦忮F的底面為菱形，，
所以為等邊三角形，
因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)
所以BC，
因?yàn)锳D∥BC，
所以DE⊥AD，
因?yàn)椋?br>所以平面PAD，
(2)連接PE，因?yàn)?，從而?br>，
所以，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為h，
其中由勾股定理得：，
由三線合一知：，所以，
而，解得：，
所以點(diǎn)到平面的距離為.
考點(diǎn)三球的體積與表面積
【例3】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正方體外接球的體積是，那么正方體的體對(duì)角線等于（）
A．B．4C．D．.
【答案】B
【解析】正方體外接球的直徑即為正方體的體對(duì)角線，設(shè)外接球的半徑為，
則，解得，所以正方體的體對(duì)角線等于；故選：B
【一隅三反】
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則球與圓柱體積比是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，高為，
因?yàn)椋?br>所以．
故選：A
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)）長方體的長，寬，高分別為3，，1，其頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的體積為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】球O的半徑為，∴體積．故選：A
考點(diǎn)四空間幾何的截面
【例4】 (2023·貴州貴陽·二模（理））如圖所示的幾何體是一個(gè)正方體挖掉一個(gè)圓錐(圓錐的底面圓與正方體的上底面正方形各邊相切，頂點(diǎn)在下底面上)，用一個(gè)垂直于正方體某個(gè)面的平面截該幾何體，下列圖形中一定不是其截面圖的是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】用過圓錐的軸且與上底面一組對(duì)棱垂直的平面截該兒何體可得A圖，用平行于圓錐底面的平面截該幾何體可得C圖，用垂直于圓錐底面且不過圓錐的軸的平面截該幾何體可得D圖，而B圖用垂直于正方體的任何面的平面截都無法得到.故選：B
【一隅三反】
1． (2023·全國·高三專題練習(xí)）軸截面為正方形的圓柱內(nèi)接于球，則它們的表面積之比是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】軸截面如下圖，ABCD為正方形，設(shè)圓柱底面圓直徑，則球直徑，故圓柱表面積為，球表面積為，故它們的表面積之比為，
故選：C
2．（2022廣西）立體幾何中，用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體得到的平面圖形叫截面.已知正方體的內(nèi)切球的直徑為過球的一條直徑作該正方體的截面，所得的截面面積的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】當(dāng)截面為正方體的對(duì)角面時(shí)，截面面積最大，
由已知得正方體棱長為截面面積的最大值為故選：D
3． (2023·河南·二模（理））如圖所示，在長方中，，點(diǎn)E是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面交棱于點(diǎn)F，則四棱錐的體積為___________，截面四邊形的周長的最小值為___________.
【答案】 20
【解析】由題意可得，
利用切割法可得
；
將長方體展開，如圖所示，
當(dāng)點(diǎn)為與的交點(diǎn)、點(diǎn)為與的交點(diǎn)時(shí)，截面周長最小，
此時(shí)截面的周長為，
而在中，，
所以截面周長的最小值為.
故答案為：20；.

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