考點(diǎn)呈現(xiàn)
例題剖析
考點(diǎn)一 線線垂直
【例1】 (2023·河南）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，，，，平面平面ABCD．
(1)證明：；
(2)若，E為AD的中點(diǎn)，求三棱錐的體積．
【一隅三反】
1． (2023·北京）如圖，在四棱錐中，平面底面，底面為平行四邊形，.
(1)求證：；
(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
2． (2023·吉林·東北師大附中）如圖，四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，，，為等邊三角形，平面平面ABCD.
(1)證明：；
(2)求三棱錐的體積.
3． (2023·四川成都）如圖，四棱錐中，四邊形為直角梯形，，在底面內(nèi)的射影分別為，.求證：
考點(diǎn)二 線面垂直
【例2】 (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐，底面為梯形，且，，等邊三角形所在的平面垂直于底面，.求證：平面；
【一隅三反】
1 (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在四棱錐中，四邊形為菱形，，且平面平面.證明：平面；
2． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平行四邊形中過(guò)點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，.連接交于點(diǎn)，如圖1，將沿折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置.如圖2.證明：直線平面.
3． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，平面平面，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且，，．證明：平面
考點(diǎn)三 面面垂直
【例】 (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在如圖1所示的等腰梯形中，，將它沿著兩條高折疊成如圖2所示的四棱錐（重合），點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn).
(1)證明：平面；
(2)求證：平面平面.
【一隅三反】
1． (2023·四川宜賓）如圖，正方形ABED的邊長(zhǎng)為1，AC＝BC，平面ABED⊥平面ABC，直線CE與平面ABC所成角的正切值為．
(1)若G，F(xiàn)分別是EC，BD的中點(diǎn)，求證：平面ABC；
(2)求證：平面BCD⊥平面ACD．
2． (2023·四川成都）如圖，三棱錐中，等邊三角形的重心為O，，，，E，F(xiàn)，M分別是棱BC，BP，AP的中點(diǎn)，D是線段AM的中點(diǎn).
(1)求證：平面DEF；
(2)求證：平面平面PBC.
3． (2023·河南·信陽(yáng)高中）如圖所示，直三棱柱中，為中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)若三棱柱上下底面為正三角形，，，求證：平面平面．
4． (2023·北京大興）如圖，在四棱錐中，平面，底面為菱形，分別為，的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)求證：平面；
(3)若平面平面，求的大小.
7.2 空間幾何中的垂直（精講）（基礎(chǔ)版）
思維導(dǎo)圖
考點(diǎn)呈現(xiàn)
例題剖析
考點(diǎn)一 線線垂直
【例1】 (2023·河南）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，，，，平面平面ABCD．
(1)證明：；
(2)若，E為AD的中點(diǎn)，求三棱錐的體積．
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】（1）證明:在中，由余弦定理，得，
可得，則，即．
又因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，且平面平面，
所以平面PAC,
又因?yàn)槠矫鍼AC，所以．
(2)由（1）可知，而E為AD的中點(diǎn)，故．
又，所以．又，故平面PEC．
又平面PEC，所以．
又，平面ABCD，故平面ABCD．
因?yàn)槠矫鍭BCD，所以．
因?yàn)?，故?br>在中，，故,
故．
【一隅三反】
1． (2023·北京）如圖，在四棱錐中，平面底面，底面為平行四邊形，.
(1)求證：；
(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見解析(2)存在，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)
【解析】(1)因?yàn)槠矫娴酌?，平面底面?br>平面，所以平面.
又因?yàn)槠矫妫?
(2)解：存在，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).
連接，交于點(diǎn)，連接，如圖所示：
因?yàn)榈酌鏋槠叫兴倪呅?，所以點(diǎn)為的中點(diǎn).
在中，因?yàn)辄c(diǎn)分別為的中點(diǎn).
所以，且.
又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?
2． (2023·吉林·東北師大附中）如圖，四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，，，為等邊三角形，平面平面ABCD.
(1)證明：；
(2)求三棱錐的體積.
【答案】(1)證明見解析；(2).
【解析】(1)取中點(diǎn)，連，
因?yàn)椋?，，?br>所以四邊形為正方形，為等腰直角三角形，則，，

因?yàn)槊婷妫婷?，面?br>所以平面，又平面，所以.
(2)取中點(diǎn)，連，則，且，
因?yàn)槠矫嫫矫?，面面，面?br>所以平面，又面積為，
三棱錐的體積為.
3． (2023·四川成都）如圖，四棱錐中，四邊形為直角梯形，，在底面內(nèi)的射影分別為，.求證：
【答案】證明見解析
【解析】因?yàn)樵诘酌鎯?nèi)的射影為，所以面面，
又因?yàn)椋婷妫?br>所以面，
又因面因此，
同理，
又,面,面
所以面，
又面,所以，
連接，易得，，又，
所以
所以
故，
又,面,面
因此面，
又面
即；
考點(diǎn)二 線面垂直
【例2】 (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐，底面為梯形，且，，等邊三角形所在的平面垂直于底面，.求證：平面；
【答案】證明見解析
【解析】證明：如圖所示，取中點(diǎn)，連接，
是正三角形，為中點(diǎn)，
又平面平面，且平面平面，
平面，
又平面，，
，且，平面，
平面；.
【一隅三反】
1 (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在四棱錐中，四邊形為菱形，，且平面平面.證明：平面；
【答案】證明見解析.
【解析】連接BD交AC于O，如圖，
四邊形為菱形，所以，
平面平面，平面平面平面，
所以平面，因?yàn)槠矫?，所以?br>，故，
又平面，所以平面.
2． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平行四邊形中過(guò)點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，.連接交于點(diǎn)，如圖1，將沿折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置.如圖2.證明：直線平面.
【答案】證明見解析
【解析】證明：圖1中，在中，所以.所以
也是直角三角形，
，
在圖2中，所以平面.
3． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，平面平面，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且，，．證明：平面
【答案】證明見解析
【解析】證明：如圖，
連接AF，
由題意知為等腰三角形，
而為的中點(diǎn)，所以．
又因?yàn)槠矫嫫矫?，且，平面平面，平面?br>所以平面．
而平面，所以．
而，平面，所以平面．
連接，則，，
而，，所以且，
所以是平行四邊形，
因此，故平面．
考點(diǎn)三 面面垂直
【例】 (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在如圖1所示的等腰梯形中，，將它沿著兩條高折疊成如圖2所示的四棱錐（重合），點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn).
(1)證明：平面；
(2)求證：平面平面.
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析
【解析】(1)證明：取EC的中點(diǎn)G，連接NG，BG，
因?yàn)辄c(diǎn)分別為線段的中點(diǎn).所以，
又，所以，所以四邊形MBGN是平行四邊形，所以，
又平面，平面，所以平面；
(2)證明：因?yàn)榈妊菪沃?，，所以?br>所以在中滿足，所以，
又，所以平面，所以，
又，所以平面，
又平面，所以平面平面.
【一隅三反】
1． (2023·四川宜賓）如圖，正方形ABED的邊長(zhǎng)為1，AC＝BC，平面ABED⊥平面ABC，直線CE與平面ABC所成角的正切值為．
(1)若G，F(xiàn)分別是EC，BD的中點(diǎn)，求證：平面ABC；
(2)求證：平面BCD⊥平面ACD．
【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.
【解析】（1）如圖，連接AE，因F是正方形ABED對(duì)角線BD的中點(diǎn)，則F是AE的中點(diǎn)，而G是CE的中點(diǎn)，則，又平面，平面，所以平面.
（2）在正方形中，，因平面ABED⊥平面ABC，平面平面，平面，則平面，即是與平面所成的角，有，解得，即有，則，即，而，則有平面，又平面，于是得，因，平面，則平面，平面，所以平面平面.
2． (2023·四川成都）如圖，三棱錐中，等邊三角形的重心為O，，，，E，F(xiàn)，M分別是棱BC，BP，AP的中點(diǎn)，D是線段AM的中點(diǎn).
(1)求證：平面DEF；
(2)求證：平面平面PBC.
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析
【解析】(1)連接PE，因?yàn)闉榈冗吶切?，且O為重心，所以P、O、E三點(diǎn)共線，且，
因?yàn)镸為PA中點(diǎn)，D是線段AM的中點(diǎn)，所以，所以，所以，
因?yàn)槠矫鍰EF，平面DEF，所以平面DEF
(2)連接AE、BD，如圖所示
因?yàn)闉榈冗吶切?，E為BC中點(diǎn)，
所以，
因?yàn)?，，E為BC中點(diǎn)，
所以，
因?yàn)槠矫鍼AE，
所以平面PAE，
因?yàn)槠矫鍼AE，
所以，
在中，，，，
所以，即，
所以，
在中，，
由余弦定理得，
在中，，，
所以，
在中，，，
所以，即，
因?yàn)槠矫鍼BC，
所以平面PBC，
因?yàn)槠矫鍰EF，
所以平面平面PBC
3． (2023·河南·信陽(yáng)高中）如圖所示，直三棱柱中，為中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)若三棱柱上下底面為正三角形，，，求證：平面平面．
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析
【解析】(1)連接，與相交于點(diǎn)F，連接MF，則為的中點(diǎn)，
因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以MF是的中位線，所以，
因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?br>(2)因?yàn)橹比庵舷碌酌鏋檎切?，，?br>所以，
所以，
所以，即，
由三線合一可得：，
又因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，
所以，
因?yàn)椋?br>所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以
因?yàn)?br>所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以平面平面
4． (2023·北京大興）如圖，在四棱錐中，平面，底面為菱形，分別為，的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)求證：平面；
(3)若平面平面，求的大小.
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)
【解析】(1)因?yàn)槠矫?，平面，所?
又因?yàn)榈酌鏋榱庑?，所?
又因?yàn)椋云矫?
(2)
取為的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié).
在中，分別為的中點(diǎn)，
所以.
因?yàn)榈酌鏋榱庑?，且為的中點(diǎn)，
所以.
所以.
所以四邊形為平行四邊形.
所以.
因?yàn)槠矫嫫矫?
所以平面.
(3)因?yàn)槠矫妫矫?，所?
因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫嫫矫?，所以平?
所以.
因?yàn)榈酌鏋榱庑?，且為的中點(diǎn)，所以.所以
則是等邊三角形.所以.

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