2． (2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，且平面底面，，＝＝，證明：
3． (2023·全國·高三專題練習(xí)）在四棱錐中，底面．證明：
4． (2023·上海松江·二模）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，， 是的中點，點在棱上．
(1)求四棱錐的全面積；
(2)求證：．
5． (2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，，側(cè)面底面ABC．
(1)若D是BC的中點，求證：；
(2)過側(cè)面的對角線的平面交側(cè)棱于M，若，求證：截面?zhèn)让妫?br>6． (2023·江蘇·南京市第一中學(xué)高三開學(xué)考試）已知四棱錐中，平面平面，底面為矩形，點E在AD上，且，，為的中點，，．

(1)證明：；
(2)求點到平面的距離．
7． (2023·河南安陽）如圖，在三棱錐中，底面ABC是直角三角形，，，D為AB的中點．
(1)證明：；
(2)若，，求點A到平面PDC的距離．
8． (2023·四川成都）如圖，四棱錐中，四邊形為直角梯形，在底面內(nèi)的射影分別為，．
(1)求證：；
(2)求到平面的距離．
題組二 線面垂直
1． (2023·廣東珠海）如圖，在三棱柱中，，點是的中點.
(1)求證：平面；
(2)若側(cè)面為菱形，求證：平面.
2． (2023·山東省萊西市第一中學(xué)）如圖，和都垂直于平面，且，，是的中點．
(1)求證：平面；
(2)求證：平面．
3． (2023·山東菏澤）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是梯形，，且，，.
(1)若F為PA的中點，求證平面PCD
(2)求證平面PCD.
4． (2023·北京平谷）如圖，在三棱錐中，底面，，分別為，的中點.設(shè)平面與平面交于直線
(1)求證：平面；
(2)求證：∥.
5． (2023·北京通州）如圖，在三棱維中，，平面平面.
(1)求證：；
(2)求證：平面.
6． (2023·廣西欽州）如圖，在三棱錐V—ABC中，M，N分別為的棱VA，VB的中點，，，△ABC和△ACV都是等腰直角三角形，平面VAC⊥平面ABC．
(1)求證：AB//平面CMN；
(2)求證：AB⊥平面VBC．
7． (2023·廣東江門）如圖，四棱錐的底面是矩形，E為側(cè)棱的中點，側(cè)面是正三角形，且側(cè)面底面．
(1)求證：平面；
(2)當(dāng)為何值時，使得？
8． (2023·湖北·鄂州市教學(xué)研究室）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面PAB，E，F(xiàn)分別是線段AD，PB的中點，.證明：
(1)平面PDC；
(2)PB⊥平面DEF.
9． (2023·河南·新蔡縣第一高級中學(xué)）如圖，矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直，M是上異于C，D的點.
(1)證明：平面；
(2)在線段上是否存在點P，使得平面？說明理由.
10． (2023·北京豐臺）如圖，在直角梯形中，，，，并將直角梯形繞AB邊旋轉(zhuǎn)至ABEF．
(1)求證：直線平面ADF；
(2)求證：直線平面ADF；
(3)當(dāng)平面平面ABEF時，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使平面ADE與平面BCE垂直．并證明你的結(jié)論．
條件①：；
條件②：；
條件③：．
題組三 面面垂直
1． (2023·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)）如圖，底面是邊長為2的菱形，平面，，與平面所成的角為.
(1)求證：平面平面；
(2)求幾何體的體積
2． (2023·湖北武漢·高三開學(xué)考試）在直三棱柱中，已知側(cè)面為正方形，，D，E，F(xiàn)分別為AC，BC，的中點，，證明：平面⊥平面；
3 (2023·全國·高三專題練習(xí)（文））如圖，四面體中，，E為AC的中點．
(1)證明：平面平面ACD；
(2)設(shè)，點F在BD上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求三棱錐的體積．
4． (2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，，．
(1)證明：平面平面．
(2)設(shè)P是棱上一點，且，求三棱錐體積．
5． (2023·福建龍巖）如圖，平行四邊形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點，為線段的中點，，，.
(1)證明：平面；
(2)證明：平面平面.
6． (2023·遼寧）如圖，在直四棱柱中，四邊形為菱形，且為棱上的一個動點.已知.
(1)當(dāng)點為的中點時，證明：平面；
(2)若平面平面，求的長.
7.2 空間幾何中的垂直（精練）（基礎(chǔ)版）
題組一 線線垂直
1． (2023·云南師大附中高三階段練習(xí)）如圖，是邊長為的等邊三角形，E，F(xiàn)分別是的中點，G是的重心，將沿折起，使點A到達點P的位置，點P在平面的射影為點G．證明：
【答案】證明見解析；
【解析】連接，因是等邊三角形，是的中點，是的重心，所以在上，，
又點在平面的射影為點，即平面，平面，所以，
又，所以平面，又平面，所以.
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，且平面底面，，＝＝，證明：
【答案】證明見解析
【解析】證明：取的中點，連，，
∵為等邊三角形，且是邊的中點，
∴，
∵平面底面，且它們的交線為，
∴平面，則，
∵，且
∴平面，
∴；
3． (2023·全國·高三專題練習(xí)）在四棱錐中，底面．證明：
【答案】證明見解析；
【解析】證明：在四邊形中，作于，于，
因為，
所以四邊形為等腰梯形，
所以，
故，，
所以，
所以，
因為平面，平面，
所以，
又，
所以平面，
又因為平面，
所以；
4． (2023·上海松江·二模）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，， 是的中點，點在棱上．
(1)求四棱錐的全面積；
(2)求證：．
【答案】(1)；(2)證明見解析.
【解析】(1)∵BC//AD，AD⊥平面ABP，∴BC⊥平面ABP，
∴BC⊥BP，∴,
同理可得,
∴
.
(2)∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA．
又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD．
∵AF?平面PAD，∴AF⊥CD．
∵PA＝AD，點F是PD的中點，∴AF⊥PD．
又CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PDC．
∵PE?平面PDC，∴PE⊥AF．
5． (2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，，側(cè)面底面ABC．
(1)若D是BC的中點，求證：；
(2)過側(cè)面的對角線的平面交側(cè)棱于M，若，求證：截面?zhèn)让妫?br>【答案】(1)見解析(2)見解析
【解析】(1)證明：∵，D是BC中點，∴，
∵底面?zhèn)让妫痪€為BC，
∴側(cè)面，
又∵側(cè)面，
∴；
(2)證明：取中點E，連接DE，ME，
在中，D，E分別是BC，的中點，∴且
又且，∴且，
∵，
∴且，
∴四邊形AMED是平行四邊形，
∴，
由（1）知面，∴側(cè)面，
又∵面，
∴面?zhèn)让妫?br>6． (2023·江蘇·南京市第一中學(xué)高三開學(xué)考試）已知四棱錐中，平面平面，底面為矩形，點E在AD上，且，，為的中點，，．

(1)證明：；
(2)求點到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】（1）證明：如圖所示，連接，因為平面平面，且，為AB的中點，所以，所以平面，因為平面，所以，因為四邊形為矩形，，所以，，且，所以，所以，又因為且平面，所以平面，因為平面，所以.
（2）解：設(shè)，點到平面的距離為，由（1）知平面，所以，所以 ，因為，即，所以，解得，即點到平面的距離為.
7． (2023·河南安陽）如圖，在三棱錐中，底面ABC是直角三角形，，，D為AB的中點．
(1)證明：；
(2)若，，求點A到平面PDC的距離．
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】(1)證明：取中點，連接，，
因為底面是直角三角形，，所以，
因為D為AB的中點，所以，所以，
又，所以，
因為，平面，，所以平面，
因為平面，所以.
(2)連接，，
由（1），因為，，，所以，
因為，所以，
又，所以，即，
因為，，，平面，
所以平面，
所以，
因為是的中點，所以，
因為直角三角形，所以，
因為平面，平面，所以，
又，所以，
所以在等腰中，邊上的高為，
所以，
設(shè)點A到平面PDC的距離為，因為，
所以，則，
所以點A到平面PDC的距離為.
8． (2023·四川成都）如圖，四棱錐中，四邊形為直角梯形，在底面內(nèi)的射影分別為，．
(1)求證：；
(2)求到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】(1)因為在底面內(nèi)的射影為，所以面面，
又因為，面面，面
所以面，
又因面因此，
同理，
又,面,面
所以面，
又面,所以，
連接，易得，，又，
故，
又,面,面
因此面，
又面
即；
(2)
在中.
在中.
把到平面的距離看作三棱錐的高h，
由等體積法得，，
故，即，
故到平面的距離為．
題組二 線面垂直
1． (2023·廣東珠海）如圖，在三棱柱中，，點是的中點.
(1)求證：平面；
(2)若側(cè)面為菱形，求證：平面.
【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.
【解析】（1）連接交于，連接，由為三棱柱，則為平行四邊形，所以是中點，又是的中點，故在△中，面，面，所以平面.
由，而，面，所以面，又面，則，由側(cè)面為菱形，故，又，面，故平面.
2． (2023·山東省萊西市第一中學(xué)）如圖，和都垂直于平面，且，，是的中點．
(1)求證：平面；
(2)求證：平面．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【解析】(1)證明：（1）取的中點，連接，，
∵是的中點，∴，，
∵和都垂直于平面，∴，
∵，∴，，
∴四邊形為平行四邊形，從而，
∵平面，平面，∴平面．
(2)證明∵垂直于平面，平面，∴，
∵，∴，
∵，平面，∴平面，
由（1）可知：，∴平面．
3． (2023·山東菏澤）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是梯形，，且，，.
(1)若F為PA的中點，求證平面PCD
(2)求證平面PCD.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【解析】(1)取PD中點E，連接EF、EC，如圖所示
因為E、F分別為PD、PA中點，
所以，且，
又因為，且，
所以且，
所以四邊形EFBC為平行四邊形，
所以，
因為平面PCD，平面PCD，
所以平面PCD
(2)因為，F(xiàn)為PA中點，
所以，則，
因為，平面PCD，
所以平面PCD.
4． (2023·北京平谷）如圖，在三棱錐中，底面，，分別為，的中點.設(shè)平面與平面交于直線
(1)求證：平面；
(2)求證：∥.
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析.
【解析】(1)因為 平面， 平面， 所以 .
因為 ，， 所以 平面.
(2)在中，因為 ，分別為，的中點，所以 .
因為 平面，平面，所以 平面.
因為平面與平面交于直線，所以∥.
5． (2023·北京通州）如圖，在三棱維中，，平面平面.
(1)求證：；
(2)求證：平面.
【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.
【解析】(1)在三棱維中，因，，平面，
于是得平面，而平面，
所以.
(2)在平面內(nèi)過點A作于，如圖，
因平面平面，平面平面，則有平面，而平面，
于是得，由（1）知，，平面，
所以平面.
6． (2023·廣西欽州）如圖，在三棱錐V—ABC中，M，N分別為的棱VA，VB的中點，，，△ABC和△ACV都是等腰直角三角形，平面VAC⊥平面ABC．
(1)求證：AB//平面CMN；
(2)求證：AB⊥平面VBC．
【答案】(1)見解析(2)見解析
【解析】(1)證明：因為M，N分別為的棱VA，VB的中點，
所以，
又平面CMN，平面CMN，
所以AB//平面CMN；
(2)證明：因為，，△ABC和△ACV都是等腰直角三角形，
所以，
因為平面VAC⊥平面ABC，平面VAC平面ABC，平面VAC，
所以平面，
又平面，所以，
因為，
所以平面.
7． (2023·廣東江門）如圖，四棱錐的底面是矩形，E為側(cè)棱的中點，側(cè)面是正三角形，且側(cè)面底面．
(1)求證：平面；
(2)當(dāng)為何值時，使得？
【答案】(1)證明見解析；(2)
【解析】(1)因為平面平面，平面平面，
，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
又側(cè)面是正三角形，E為側(cè)棱的中點，
所以，
因為，，，
所以平面；
(2)設(shè)的中點為，連接，
則，
又平面平面，平面平面，
所以平面，
所以是在平面上的射影，
要使得，只需要，
在矩形中，設(shè)，
由，可知，
又，
所以，
所以，
所以，即，
所以，
所以，
所以當(dāng)為何值時，使得
8． (2023·湖北·鄂州市教學(xué)研究室）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面PAB，E，F(xiàn)分別是線段AD，PB的中點，.證明：
(1)平面PDC；
(2)PB⊥平面DEF.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【解析】(1)取PC的中點M，連接DM，MF.
∵M，F(xiàn)分別是PC，PB的中點，
∴，.
∵E為DA的中點，四邊形ABCD為正方形，
∴，，
∴，，
∴四邊形DEFM為平行四邊形.
∴，
∵平面PDC，平面PDC.
∴平面PDC.
(2)
∵ 四邊形ABCD為正方形，∴.
又平面ABCD⊥平面PAB，平面平面，平面ABCD，
∴ AD⊥平面PAB.
∵平面PAB，∴.
連接AF，∵，F(xiàn)為PB中點，∴.
又，AD，平面DEF，
∴ PB⊥平面DEF.
9． (2023·河南·新蔡縣第一高級中學(xué)）如圖，矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直，M是上異于C，D的點.
(1)證明：平面；
(2)在線段上是否存在點P，使得平面？說明理由.
【答案】(1)證明見解析；(2)存在，P為的中點，理由見解析.
【解析】(1)由題知，平面平面，且交線為，
因為平面，所以平面，
又平面，故，
因為M為半圓弧上異于C，D的點，且為直徑，所以，
又，且、平面，所以平面；
(2)當(dāng)P為的中點時，平面，證明如下：
連接和交于O，因為為矩形，所以O(shè)為中點，
連接，因為P為中點，所，
又平面，平面，所以平面.
10． (2023·北京豐臺）如圖，在直角梯形中，，，，并將直角梯形繞AB邊旋轉(zhuǎn)至ABEF．
(1)求證：直線平面ADF；
(2)求證：直線平面ADF；
(3)當(dāng)平面平面ABEF時，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使平面ADE與平面BCE垂直．并證明你的結(jié)論．
條件①：；
條件②：；
條件③：．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)答案見解析
【解析】(1)證明：在直角梯形中，，，將直角梯形繞邊旋轉(zhuǎn)至，
所以，
又，平面，
所以平面；
(2)證明：依題意可得且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，平面，平面，
所以平面；
(3)證明：因為平面平面，，平面平面，平面，
所以平面，平面，所以，
過點作，交于點，
若選①，，，所以，
所以，此時，
所以
如圖過點作交的延長線于點，
因為平面，平面，所以，
，平面，所以平面，
又平面，
所以平面平面，顯然平面與平面不垂直；
若選②：，則，所以，，
所以，即，
又，平面，所以平面，
又平面，
所以平面平面；
若選③：，又，，平面，所以平面，
又平面，
所以平面平面；
題組三 面面垂直
1． (2023·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)）如圖，底面是邊長為2的菱形，平面，，與平面所成的角為.
(1)求證：平面平面；
(2)求幾何體的體積
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】（1）證明：因為是邊長為2的菱形，，所以和都是邊長為2的正三角形，因為平面，所以、，又因為與平面所成的角為，所以，所以，取中點，連接、，又因為，，所以四邊形為矩形，于是平面，，，又因為，取中點，連接、，因為，所以，因為，所以，所以為平面與平面構(gòu)成二面角的平面角，又因為，，，所以，所以，所以平面平面．
解：因為平面平面所以平面平面設(shè)的中點，連接，有因為平面平面所以面，即是四棱錐B-CDEF的高易求 所以
2． (2023·湖北武漢·高三開學(xué)考試）在直三棱柱中，已知側(cè)面為正方形，，D，E，F(xiàn)分別為AC，BC，的中點，，證明：平面⊥平面；
【答案】證明見解析
【解析】由題設(shè)條件可知，∵ 四邊形為正方形∴∵ E，F(xiàn)分別為BC，的中點∴ ∴又∵ ∴∴，又∵且∴平面，又BF平面，∴平面⊥平面.
3 (2023·全國·高三專題練習(xí)（文））如圖，四面體中，，E為AC的中點．
(1)證明：平面平面ACD；
(2)設(shè)，點F在BD上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求三棱錐的體積．
【答案】(1)證明詳見解析(2)
【解析】(1)由于，是的中點，所以.
由于，所以，
所以，故，
由于，平面，
所以平面，
由于平面，所以平面平面.
(2)依題意，，三角形是等邊三角形，
所以，
由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.
，所以，
由于，平面，所以平面.
由于，所以，
由于，所以，
所以，所以，
由于，所以當(dāng)最短時，三角形的面積最小值.
過作，垂足為，
在中，，解得，
所以，
所以.
過作，垂足為，則，所以平面，且，
所以,
所以.
4． (2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，，．
(1)證明：平面平面．
(2)設(shè)P是棱上一點，且，求三棱錐體積．
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】（1）連接.三棱柱中，，．則，則，則，∴，又∵，∴，又，∴平面，∵平面，∴平面平面．
（2）取AB的中點D，連接CD，∵ ，∴ ，又由（1）知平面平面，平面平面則平面，且．則三棱錐的體積為，則三棱柱的體積為6，∵，∴在四邊形中，，又∵四棱錐的體積為，∴三棱錐的體積為．
5． (2023·福建龍巖）如圖，平行四邊形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點，為線段的中點，，，.
(1)證明：平面；
(2)證明：平面平面.
【答案】(1)見解析；(2)見解析
【解析】(1)連接交于，連接，易得為中點，又為線段的中點，則，
又平面，平面，則平面；
(2)由余弦定理得：，即，則，則，
平行四邊形為矩形，則，又平面平面，平面平面，平面，
則平面，又平面，則，又是半圓弧上的點，則，又，平面，則平面，又平面，則平面平面.
6． (2023·遼寧）如圖，在直四棱柱中，四邊形為菱形，且為棱上的一個動點.已知.
(1)當(dāng)點為的中點時，證明：平面；
(2)若平面平面，求的長.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】(1)連接，交于點，連接，
在菱形中，為的中點，又點為的中點，
所以，因為平面平面，
所以平面；
(2)連接,在直三棱柱中，平面，又平面，
所以，
由勾股定理可知，，
在菱形中，為中點，且，所以，
且，
因為平面平面，平面平面平面，
所以平面，因為平面，所以，
由于共面， 則 ,而，
故,故 ,
所以，
因為，所以.

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備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（一隅三反基礎(chǔ)版新高考專用）7-2 空間幾何中的垂直（精練）（基礎(chǔ)版）（原卷版）

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