5.5　垂直關(guān)系5.5.1　直線與平面垂直新課程標準學(xué)業(yè)水平要求1.借助生活中的實物之間的位置關(guān)系，理解空間中直線與平面垂直的位置關(guān)系．2．掌握用幾何圖形、數(shù)學(xué)符號表示空間直線與平面垂直的位置關(guān)系.1.理解并掌握直線與平面垂直的定義，明確定義中“任何”兩字的重要性．(直觀想象、邏輯推理)2．理解直線和平面垂直的性質(zhì)定理，并能用文字、符號和圖形語言描述定理．(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)3．理解直線和平面垂直的判定定理，并能用文字、符號和圖形語言描述定理．(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)4．了解直線與平面所成的角的含義，并知道其求法．(直觀想象、邏輯推理) 課前篇·自主學(xué)習(xí)預(yù)案1.直線與平面垂直(1)文字敘述：如果直線l與平面α內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱直線l與平面α垂直，記作l⊥α.直線l稱為平面α的垂線，平面α稱為直線l的垂面，它們唯一的公共點P稱為垂足．(2)符號表示：任意a?α，都有l⊥a?l⊥α.(3)圖形表示：2.直線與平面垂直的性質(zhì)定理(1)文字敘述：垂直于同一個平面的兩條直線________．(2)符號表示：a⊥α，b⊥α?a∥b.(3)圖形表示：3.直線到平面的距離如果一條直線與平面平行，那么這條直線上________到平面的距離就是這條直線到這個平面的距離．4.直線與平面所成的角(1)定義：一條直線與一個平面α相交，但不與這個平面垂直，這條直線稱為這個平面的斜線，斜線與平面的交點A稱為斜足．過斜線上斜足以外的一點P向平面作垂線，過垂足O和斜足A的直線AO稱為斜線在這個平面上的投影．平面的一條斜線與它在平面上的投影所成的銳角，叫做這條直線與這個平面所成的角．如圖，∠PAO就是斜線AP與平面α所成的角．(2)當(dāng)直線AP與平面垂直時，它們所成的角是90°.(3)當(dāng)直線與平面平行或在平面內(nèi)時，它們所成的角是0°.5.直線與平面垂直的判定定理(1)文字敘述：如果一條直線與一個平面內(nèi)的________垂直，那么該直線與此平面垂直．(2)圖形表示：(3)符號表示：a?α，b?α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝A?l⊥α.答案：2.(1)平行3.任意一點5.(1)兩條相交直線課堂篇·研習(xí)討論導(dǎo)案研習(xí)1  直線與平面垂直的正確理解(直觀想象、數(shù)學(xué)抽象)[典例1]　1.設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的是(　　)A．若l⊥m，m?α，則l⊥αB．若l⊥α，l∥m，則m⊥αC．若l∥α，m?α，則l∥mD．若l∥α，m∥α，則l∥m2.從圓柱的一個底面上任取一點(該點不在底面圓周上)，過該點作另一個底面的垂線，則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關(guān)系是(　　)A．相交   B．平行C．異面   D．相交或平行3.下列命題中，正確的序號是________．①若直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則l⊥α；②若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α；③若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)沒有與l垂直的直線；④若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直；⑤過一點和已知平面垂直的直線有且只有一條．[自主記]1.[答案]　B　2.[答案]　B　3.[答案]　④⑤[巧歸納]　直線與平面垂直定義的“雙向”作用(1)證明線面垂直若一條直線與一個平面內(nèi)任意一條直線都垂直，則該直線與已知平面垂直．即線線垂直?線面垂直．(2)證明線線垂直若一條直線與一個平面垂直，則該直線與平面內(nèi)任意一條直線垂直．即線面垂直?線線垂直. 研習(xí)2  直線與平面垂直的性質(zhì)定理和判定定理的應(yīng)用(直觀想象、邏輯推理)[典例2]　如圖所示，直角△ABC所在的平面外一點S，SA＝SB＝SC，點D為斜邊AC的中點．求證：直線SD⊥平面ABC．四步內(nèi)容理解題意條件：直角△ABC所在的平面外一點S，SA＝SB＝SC，點D為斜邊AC的中點．結(jié)論：直線SD⊥平面ABC．思路探求證明直線和平面垂直，必須在平面內(nèi)找到兩條相交直線和此直線垂直． 書寫表達【證明】因為SA＝SC，點D為斜邊AC的中點，所以SD⊥AC．如圖，連接BD，在Rt△ABC中，則AD＝DC＝BD，所以△ADS≌△BDS，所以∠ADS＝∠BDS，所以SD⊥BD．又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC．注意書寫的規(guī)范性：立體幾何中的證明問題，需要特別注意符號語言的規(guī)范性，證明線面垂直，條件一定要寫全，不能有遺漏，特別是相交這個條件． 題后反思證明線面垂直的關(guān)鍵是找到線線垂直，還要注意“相交”． [巧歸納]　線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化[練習(xí)1]　如圖，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中點，求證：DF∥平面ABC．證明：取AB的中點G，連接FG，CG，可得FG∥AE，FG＝AE.因為CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，所以CD∥AE.又因為CD＝AE.所以FG∥CD，FG＝CD．所以四邊形CDFG是平行四邊形，所以DF∥CG.又因為CG?平面ABC，DF?平面ABC，所以DF∥平面ABC．研習(xí)3  線面垂直中的計算問題(直觀想象、數(shù)學(xué)運算)角度1　求距離[典例3]　已知△ABC，AC＝BC＝1，AB＝，S是△ABC所在平面外一點，SA＝SB＝2，SC＝，點P是SC的中點，求點P到平面ABC的距離．[自主記][解]　如圖所示，連接PA，PB．易知△SAC，△ACB是直角三角形，所以SA⊥AC，BC⊥AC．取AB，AC的中點E，F，連接PF，EF，PE，則EF∥BC，PF∥SA．所以EF⊥AC，PF⊥AC．因為PF∩EF＝F，所以AC⊥平面PEF.又PE?平面PEF，所以PE⊥AC．易證△SAC≌△SBC．因為P是SC的中點，所以PA＝PB．而E是AB的中點，所以PE⊥AB．因為AB∩AC＝A，所以PE⊥平面ABC．從而PE的長就是點P到平面ABC的距離．在Rt△AEP中，AP＝SC＝，AE＝AB＝，所以PE＝＝＝，即點P到平面ABC的距離為.[變式探究]在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，BB1＝2.(1)求異面直線B1C1與A1C所成角的正切值；(2)求直線B1C1與平面A1BC的距離．解：(1)因為B1C1∥BC，所以∠A1CB(或其補角)是異直線B1C1與A1C所成角．因為BC⊥AB，BC⊥BB1，AB∩BB1＝B，所以BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥A1B．在Rt△A1BC中，tan∠A1CB＝＝＝，所以異面直線B1C1與A1C所成角的正切值為.(2)因為B1C1∥平面A1BC，所以B1C1到平面A1BC的距離等于B1到平面A1BC的距離，設(shè)B1到平面A1BC的距離為d，因為VB1－A1BC＝VC－A1BB1，所以S△A1BC×d＝S△A1BB1×BC，可得d＝，直線B1C1與平面A1BC的距離為.角度2　求直線與平面所成的角[典例4]　如圖所示，在Rt△BMC中，斜邊BM＝5，它在平面ABC上的射影AB長為4，∠MBC＝60°，求MC與平面CAB所成角的正弦值．[解]　由題意知，AB是MB在平面ABC內(nèi)的射影，所以MA⊥平面ABC，所以MC在平面CAB內(nèi)的射影為AC．所以∠MCA即為直線MC與平面CAB所成的角．又因為在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，所以MC＝BMsin∠MBC＝5sin 60°＝5×＝.在Rt△MAB中，MA＝＝＝3.在Rt△MAC中，sin∠MCA＝＝＝.即MC與平面CAB所成角的正弦值為.[解題策略]　求直線與平面所成角的一般步驟(1)尋找過斜線上一點與平面垂直的直線．(2)連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角．(3)把該角歸結(jié)在某個三角形中，通過解三角形，求出該角.[練習(xí)2]　1.如圖所示，若斜線段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，則AB與平面α所成的角是(　　)A．60°    B．45°  C．30°   D．120°答案：A2.如圖所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，則EF＝________.答案：6　解析：因為AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE.又因為AF＝DE，所以四邊形ADEF是平行四邊形．所以EF＝AD＝6.3.三棱錐S－ABC的所有棱長都相等且為a，求．SA與底面ABC所成角的余弦值．解：如圖，過S作SO⊥平面ABC于點O，連接AO，BO，CO，則SO⊥AO，SO⊥BO，SO⊥CO.因為SA＝SB＝SC＝a，所以△SOA≌△SOB≌△SOC，所以AO＝BO＝CO，所以O為△ABC的外心．因為△ABC為正三角形，所以O為△ABC的中心．因為SO⊥平面ABC，所以∠SAO即為SA與平面ABC所成的角．在Rt△SAO中，SA＝a，AO＝×a＝a，所以cos∠SAO＝＝，所以SA與底面ABC所成角的余弦值為.達標篇·課堂速測演習(xí)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1.直線l⊥平面α，直線m?α，則l與m不可能(　　)A．平行   B．相交  C．異面   D．垂直答案：A　2.在正三棱錐P－ABC中，三條側(cè)棱兩兩互相垂直，側(cè)棱長為a，則點P到平面ABC的距離為(　　)A．a   B．a  C．a   D．a答案：C　3.(教材二次開發(fā)：練習(xí)改編)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則直線l與平面α的關(guān)系是(　　)A．l和平面α平行   B．l和平面α垂直C．l在平面α內(nèi)   D．不能確定答案：D4.直線l與平面α所成的角為70°，直線l∥m，則m與α所成的角等于________．答案：70°　解析：因為l∥m，所以直線l與平面α所成的角等于m與α所成的角，又直線l與平面α所成的角為70°，所以m與α所成的角為70°.5.如圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，D是側(cè)面PBC上的一點，過D作平面ABC的垂線DE，其中D?PC，證明：DE∥平面PAC．證明：因為DE⊥平面ABC，PA⊥平面ABC，所以DE∥PA．又DE?平面PAC，PA?平面PAC，所以DE∥平面PAC． [方法技巧]　分類討論思想的應(yīng)用[示例]　如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，問BC邊上是否存在點Q，使得PQ⊥QD，并說明理由．[思路分析]　先證AQ⊥QD，由于BC邊的長度是不確定的，在BC邊上是否存在點Q，使AQ⊥QD與a有關(guān)，應(yīng)對a進行分類討論．[解析]　解法一：連接AQ，因為PA⊥平面AC，QD?平面AC，所以PA⊥QD．又因為PQ⊥QD，PA∩PQ＝P，所以QD⊥平面PAQ.所以AQ⊥QD．(1)當(dāng)0<a<2時，由四邊形ABCD是矩形且AB＝1知，以AD為直徑的圓與BC無交點，即對BC上任一點Q，都有∠AQD<90°，此時BC邊上不存在點Q，使PQ⊥QD．(2)當(dāng)a＝2時，以AD為直徑的圓與BC相切于BC的中點Q，此時∠AQD＝90°，所以BC邊上存在一點Q，使PQ⊥ QD．(3)當(dāng)a>2時，以AD為直徑的圓與BC相交于點Q1，Q2，此時∠AQ1D＝∠AQ2D＝90°，故BC邊上存在兩點滿足題意．解法二：如圖所示，假如存在點Q，使PQ⊥QD．連接AQ，PA⊥平面AC，∴PA⊥QD，又QD⊥PQ，PQ∩PA＝P，∴QD⊥平面PAQ，∴QD⊥AQ.不妨設(shè)AQ＝x(x>0)，則AQ2＝x2，QD2＝QC2＋CD2＝(a－)2＋1，AD2＝a2，在Rt△AQD中，由勾股定理得x2＋(a－)2＋1＝a2.即x4－a2x2＋a2＝0.令t＝x2，則t2－a2t＋a2＝0，(*)∵a>0，∴t1t2＝a2>0，t1＋t2＝a2>0.方程(*)的判別式Δ＝a2(a2－4)．①當(dāng)0<a<2時，Δ<0，方程(*)無正實根．②當(dāng)a>2時，Δ>0，方程(*)有兩個相異正實根．③當(dāng)a＝2時，Δ＝0，方程(*)有兩個相等的正實根．綜上知，當(dāng)0<a<2時，BC邊上不存在點Q，使PQ⊥QD；當(dāng)a＝2時，BC邊上存在一點Q(即BC的中點)，使PQ⊥QD；當(dāng)a>2時，BC邊上存在兩個點滿足題意．[題后反思]　本題的解法一用到了分類討論思想，借助以AD為直徑的圓與BC的交點的個數(shù)推斷點Q的存在，解法二則是從代數(shù)的角度來解決立體幾何問題，是較好的題材．  

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第二冊電子課本

5.1 直線與平面垂直

版本： 北師大版 (2019)

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