高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修第二冊第六章立體幾何初步5 垂直關(guān)系5.1 直線與平面垂直備課ppt課件-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

一、直線與平面垂直的定義【問題思考】1.如圖6-5-1,陽光下直立于地面的旗桿AB與它在地面上的影子BC的位置關(guān)系是什么?隨著太陽的移動(dòng),旗桿AB與它的影子所在直線所成的角度會(huì)發(fā)生改變嗎?提示:垂直關(guān)系.所成的角度不變,都為90°.
2.旗桿AB與地面上任意一條不過旗桿底部B的直線如B'C'(如問題1的圖)的位置關(guān)系又是什么?依據(jù)是什么?由此得到什么結(jié)論?提示:垂直關(guān)系.依據(jù)是異面直線所成角的定義.得到的結(jié)論是:如果一條直線與平面垂直,那么這條直線垂直于該平面內(nèi)的任意一條直線.
3.一般地,如圖6-5-2,如果直線l與平面α內(nèi)的任何一條直線都垂直,那么稱直線l與平面α垂直,記作l⊥α.直線l稱為平面α的垂線,平面α稱為直線l的垂面,它們唯一的公共點(diǎn)P稱為垂足.過一點(diǎn)有且只有一條直線與一個(gè)平面垂直,過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與一條直線垂直.
4.在正方體ABCD-A1B1C1D1的六個(gè)面中,與AA1垂直的平面的個(gè)數(shù)是(　　).A.1B.2C.3D.6解析:在正方體ABCD-A1B1C1D1的六個(gè)面中與AA1垂直的平面是平面ABCD與平面A1B1C1D1.答案:B
二、直線與平面垂直的性質(zhì)與判定【問題思考】1.下圖6-5-3是我們常見的旗桿,這排旗桿都與地面垂直.(1)若一條直線與一個(gè)平面垂直,可得到什么結(jié)論?若兩條直線與同一個(gè)平面垂直呢?(2)兩根旗桿所在的直線是什么位置關(guān)系?提示:(1)這條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線;這兩條直線平行.(2)平行.
2.直線與平面垂直的性質(zhì)定理表6-5-1
3.直線與平面垂直的判定定理表6-5-2
4.直線l⊥平面α,直線m?α,則l與m的位置關(guān)系不可能(　　).A.平行B.相交C.異面D.垂直解析:由直線與平面垂直的定義可知,l⊥m,l與m可能相交,也可能異面,但不可能平行.答案:A
三、距離及直線與平面所成的角【問題思考】1.如圖6-5-4,斜拉橋主要由索塔、主梁、斜拉索組成.(1)上圖中拉索所在直線與橋面都是相交的關(guān)系,其傾斜程度相同嗎?能用角來表示這種傾斜程度嗎?(2)直線與平面所成的角是空間角,能否像異面直線所成的角那樣把空間角轉(zhuǎn)化為平面角?提示:(1)不同.能. (2)能.
2.距離及直線與平面所成的角(1)距離①點(diǎn)到平面的距離從平面外一點(diǎn)引平面的垂線,這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離,叫作這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.②直線到平面的距離如果一條直線與平面平行,那么這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離就是這條直線到這個(gè)平面的距離.
(2)直線與平面所成的角如圖6-5-5,一條直線與一個(gè)平面α相交,但不與這個(gè)平面垂直,這條直線稱為這個(gè)平面的斜線,斜線與平面的交點(diǎn)A稱為斜足.過斜線上斜足以外的一點(diǎn)P向平面作垂線,過垂足O和斜足A的直線AO稱為斜線在這個(gè)平面上的投影.平面的一條斜線與它在平面上的投影所成的銳角,叫作這條直線與這個(gè)平面所成的角.一條直線垂直于平面,我們說它們所成的角是直角;一條直線與平面平行,或在平面內(nèi),就說它們所成的角是0°的角.
3.(1)如圖6-5-6,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=1,則點(diǎn)C到平面B1BDD1的距離為　　　　　,AB到平面A1B1CD的距離為　　　　　.?(2)如圖6-5-7,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,則直線PB與平面ABC所成的角等于　　　　　.?
解析:(1)連接AC,則AC⊥BD.又BB1⊥AC,BD∩BB1=B,所以AC⊥平面B1BDD1.
(2)因?yàn)镻A⊥平面ABC,所以斜線PB在平面ABC上的投影為AB.所以∠PBA即為直線PB與平面ABC所成的角.在△PAB中,∠BAP=90°,PA=AB,所以∠PBA=45°,即直線PB與平面ABC所成的角等于45°.
【例1】如圖6-5-8,Rt△ABC所在的平面外一點(diǎn)S,SA=SB=SC,點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn).求證:直線SD⊥平面ABC.
證明:∵SA=SC,D為AC的中點(diǎn),∴SD⊥AC.如答圖6-5-1,連接BD,則在Rt△ABC中,AD=DC=BD.又SA=SB,SD=SD,∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.又AC∩BD=D,AC,BD?平面ABC,∴SD⊥平面ABC.
1.在本例中,若AB=BC,其他條件不變,求BD與平面SAC的位置關(guān)系.解:∵AB=BC,D為斜邊AC的中點(diǎn),∴BD⊥AC.又由例1知SD⊥平面ABC,且BD?平面ABC,∴SD⊥BD.于是BD垂直于平面SAC內(nèi)的兩條相交直線,故BD⊥平面SAC.
2.將本例改為:已知四棱錐P-ABCD的底面是菱形,且PA=PC,PB=PD.若O是AC與BD的交點(diǎn),求證:PO⊥平面ABCD.證明:如答圖6-5-2,∵四邊形ABCD是菱形,∴O是AC,BD的中點(diǎn).在△PBD中,∵PB=PD,O為BD的中點(diǎn),∴PO⊥BD.在△PAC中,∵PA=PC,O為AC的中點(diǎn),∴PO⊥AC.又AC∩BD=O,AC,BD?平面ABCD,∴PO⊥平面ABCD.
反思感悟 1.用線面垂直的判定定理判斷一條直線與此平面垂直時(shí),需在平面內(nèi)找兩條相交直線,證明一條直線同時(shí)垂直于這兩條相交直線,這是證明線面垂直的一個(gè)常用方法.2.線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化關(guān)系線線垂直線面垂直
【例2】如圖6-5-9,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為矩形, AB⊥平面PAD,AD=AP,E為PD的中點(diǎn),點(diǎn)M,N分別在AB,PC上,且MN⊥AB,MN⊥PC.求證:AE∥MN.
證明:∵AB⊥平面PAD,AE?平面PAD,∴AE⊥AB.又AB∥CD,∴AE⊥CD.∵AD=AP,E為PD的中點(diǎn),∴AE⊥PD.又CD∩PD=D,CD,PD?平面PCD,∴AE⊥平面PCD.∵M(jìn)N⊥AB,AB∥CD,∴MN⊥CD.又MN⊥PC,PC∩CD=C,PC,CD?平面PCD,∴MN⊥平面PCD,∴AE∥MN.
反思感悟證明線線平行常用的方法(1)利用線線平行定義:證共面且無公共點(diǎn).(2)利用基本事實(shí)4:證兩直線同時(shí)平行于第三條直線.(3)利用線面平行的性質(zhì)定理:把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行.(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理:把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直.(5)利用面面平行的性質(zhì)定理:把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行.
【例3】如圖6-5-10,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,(1)求直線A1C與平面ABCD所成的角的正切值;(2)求直線A1B與平面BDD1B1所成的角.

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