第2課時(shí)　直線與平面垂直的判定學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.掌握直線與平面垂直的判定定理．(重點(diǎn))2．會(huì)用直線和平面垂直的判定定理解決相關(guān)的問題．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1.通過對(duì)直線與平面垂直的判定定理的發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．通過利用直線與平面判定定理證明線面垂直，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng).直線與平面垂直的判定定理  文字語言如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直符號(hào)語言a?α，b?α，l⊥a，l⊥b, a∩b＝Al⊥α圖形語言思考：1.若把定理中“兩條相交直線”改為“兩條直線”，直線與平面一定垂直嗎？提示：當(dāng)這兩條直線平行時(shí)，直線可與平面相交，但不一定垂直．2．如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面嗎？提示：垂直．1．空間中直線l和三角形的兩邊AC，BC同時(shí)垂直，則這條直線和三角形的第三邊AB的位置關(guān)系是(　　)A．平行　　　　　 B．垂直C．相交 D．不確定B　[由于直線l和三角形的兩邊AC，BC同時(shí)垂直，而這兩邊相交于點(diǎn)C，所以直線l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三邊AB在這個(gè)平面內(nèi)，所以l⊥AB．]2．直線l與平面α內(nèi)的兩條直線都垂直，則直線l與平面α的位置關(guān)系是(　　)A．平行 B．垂直C．在平面α內(nèi) D．無法確定D　[當(dāng)平面α內(nèi)的兩條直線相交時(shí)，直線l⊥平面α，即l與α相交，當(dāng)平面α內(nèi)的兩直線平行時(shí)，l?α或l∥α或l與α垂直或l與α斜交．]3．已知直線l，a，b，平面α，若要得到結(jié)論l⊥α，則需要在條件a?α，b?α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一個(gè)條件是________．a，b相交　[由線面垂直的判定定理可知，需添加的一個(gè)條件是直線a，b相交．]對(duì)直線與平面垂直的判定定理的理解【例1】　下列說法正確的有________(填序號(hào))．①垂直于同一條直線的兩條直線平行；②如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的一條直線不垂直，那么這條直線就一定不與這個(gè)平面垂直；③如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，那么這條直線與這個(gè)平面垂直；④若直線l與平面α不垂直，則平面α內(nèi)一定沒有直線與l垂直．②　[因?yàn)榭臻g內(nèi)與一條直線同時(shí)垂直的兩條直線可能相交，可能平行，也可能異面，故①不正確．由線面垂直的定義可得，②正確．因?yàn)檫@兩條直線可能是平行直線，故③不正確．如圖，l與α不垂直，但a?α，l⊥a，故④不正確．]?1?對(duì)于線面垂直的定義要注意“直線垂直于平面內(nèi)的所有直線”說法與“直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線”不是一回事，后者說法是不正確的，它可以使直線與平面斜交.?2?判定定理中要注意必須是平面內(nèi)兩相交直線.1．若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于(　　)A．平面OAB　　　　　 B．平面OACC．平面OBC D．平面ABCC　[∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC?平面OBC，∴OA⊥平面OBC．] 直線與平面垂直的判定【例2】　如圖，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點(diǎn)，AN⊥PM，N為垂足．(1)求證：AN⊥平面PBM.(2)若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB．[證明]　(1)∵AB為⊙O的直徑，∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM.又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.又AN?平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB?平面PBM，∴AN⊥PB．又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面ANQ.又NQ?平面ANQ，∴NQ⊥PB．利用線面垂直的判定定理證明線面垂直的步驟①在這個(gè)平面內(nèi)找兩條直線，使它們和這條直線垂直；②確定這個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線；③根據(jù)判定定理得出結(jié)論.2．如圖所示，Rt△ABC所在平面外有一點(diǎn)S，且SA＝SB＝SC，點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn)．(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC．[證明]　(1)∵SA＝SC，D為AC的中點(diǎn)，∴SD⊥AC．在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，又SA＝SB，∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD．又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC．(2)∵BA＝BC，D為AC的中點(diǎn)，∴BD⊥AC．又由(1)知SD⊥BD，于是BD垂直于平面SAC內(nèi)的兩條相交直線．∴BD⊥平面SAC． 判定定理和線面角的綜合應(yīng)用[探究問題]1．我們知道，求線面角的關(guān)鍵是找到平面的垂線并作出線面角，那么如何尋找平面的垂線？提示：根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，和平面內(nèi)兩條相交直線都垂直的直線就是該平面的垂線．2．求斜線和平面所成的角時(shí)，一般要過斜線上一點(diǎn)作平面的垂線，那么這斜線上的一點(diǎn)應(yīng)該如何選?。?/span>提示：斜線上點(diǎn)的選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關(guān)，才能便于計(jì)算．【例3】　在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求直線A1B與平面ABC1D1所成的角的大?。?/span>[思路點(diǎn)撥]　→→→[解]　如圖，連接A1D，設(shè)A1D∩AD1＝O，連接BO，因?yàn)?/span>A1D⊥AD1，A1D⊥AB，AD1∩AB＝A，所以A1D⊥平面ABC1D1，∴A1B在平面ABC1D1內(nèi)的投影為OB，∴A1B與平面ABC1D1所成的角為∠A1BO.∵A1O＝A1B，∴∠A1BO＝30°.1．例3的條件不變，求直線A1B與平面AB1C1D所成的角的大小．[解]　∵A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，∴A1B⊥平面AB1C1D，即A1B與平面AB1C1D所成的角的大小為90°.2．例3的條件不變，求A1B與平面BB1D1D所成的角．[解]　連接A1C1交B1D1于點(diǎn)O，連接BO.∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1?平面BB1D1D，∴A1O⊥平面BB1D1D，∴∠A1BO就是A1B與平面BB1D1D所成的角．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則A1B＝，A1O＝.又∵∠A1OB＝90°，∴sin∠A1BO＝＝，又0°≤∠A1BO≤90°，∴∠A1BO＝30°，∴A1B與平面BB1D1D所成的角是30°.求直線與平面所成角?1?求解步驟：①尋找過斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線.②連接垂足和斜足得到斜線在平面上的投影，斜線與其投影所成的銳角或直角即為所求的角.③把該角歸結(jié)在某個(gè)三角形中，通過解三角形，求出該角.?2?從求直線與平面所成角的步驟看，可以歸納為作、證、求三個(gè)環(huán)節(jié)，作、證充分體現(xiàn)了邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，而求又突出了數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).1．直線和平面垂直的判定方法：(1)利用線面垂直的定義；(2)利用線面垂直的判定定理；(3)利用下面兩個(gè)結(jié)論：①若a∥b，a⊥α，則b⊥α；②若α∥β，a⊥α，則a⊥β.2．線線垂直的判定方法：(1)異面直線所成的角是90°；(2)線面垂直，則線線垂直．1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)若直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則l⊥α． (　　)(2)若a⊥b，b⊥α，則a∥α．  (　　)(3)若直線l與平面四邊形的兩邊所在的直線垂直，則l就和這個(gè)平面垂直．  (　　)[提示]　(1)錯(cuò)誤．直線l與平面α可能平行，也可能相交但不垂直．(2)錯(cuò)誤．a也可能在平面α內(nèi)．(3)錯(cuò)誤．若平面四邊形的兩條邊平行，則不能保證l和這個(gè)平面垂直．[答案]　(1)×　(2)×　(3)×2．已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個(gè)不重合的平面，那么下面給出的條件中，一定能推出m⊥β的是(　　)A．α∥β，且m?α　　 B．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n?β D．m⊥n，且n∥βB　[A中，由α∥β，且m?α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β內(nèi)的任意直線，再由m∥n，知m也垂直于β內(nèi)的任意直線，所以m⊥β，符合題意；C、D中，m?β或m∥β或m與β相交，不符合題意，故選B．]3．如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的：①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正五邊形的兩邊．能保證該直線與平面垂直的是________(填序號(hào))．①③④　[根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，知平面內(nèi)這兩條直線必須是相交的，①③④中給定的兩直線一定相交，能保證直線與平面垂直．而②梯形的兩邊可能是上、下底邊，它們互相平行，不滿足定理?xiàng)l件．故填①③④.]4．如圖，在四面體A－BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分別為AD，BC的中點(diǎn)，且EF＝. 求證：BD⊥平面ACD．[證明]　如圖，取CD的中點(diǎn)為G，連接EG，FG.又∵E，F分別為AD，BC的中點(diǎn)，∴FG∥BD，EG∥AC．∵AC＝BD＝2，則EG＝FG＝1.∵EF＝，∴EF2＝EG2＋FG2，∴EG⊥FG，∴BD⊥EG.∵∠BDC＝90°，∴BD⊥CD．又EG∩CD＝G，∴BD⊥平面ACD．   

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

5.1 直線與平面垂直

版本： 北師大版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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