問題1　線面平行是如何的定義？在如圖所示的長方體中，除了認(rèn)識的線面平行、線在平面內(nèi)外，是否存在線面垂直呢？
直線與平面沒有公共點，即直線與平面的交集是空集，則直線與平面平行；存在線面垂直．
問題2　圓錐的旋轉(zhuǎn)軸OA與底面上的任意一條直線是否垂直？為什么？
如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直；
垂直，因為OA垂直底面．
畫法：通常把表示直線的線段畫成和表示平面的平行四邊形的橫邊垂直．
垂線：如圖，若直線l⊥平面α，則直線l叫做平面α的垂線．
垂足：當(dāng)直線l⊥平面α?xí)r，它們唯一的公共點A叫做垂足．
垂面：平面α叫做直線l的垂面．
直線與平面垂直的相關(guān)概念及其畫法
過一點有且只有一條直線與已知平面垂直；
過一點有且只有一個平面與一已知直線垂直．
問題4　平面中，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．在空間，過一點有幾條直線與已知平面垂直？過一點有幾個平面與已知直線垂直？
問題5　觀察長方體模型中四條側(cè)棱與同一個底面的位置關(guān)系．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在直線都垂直于平面ABCD，它們之間是有什么位置關(guān)系？
問題6　已知直線a⊥α，b⊥α那么直線a，b一定平行嗎？教材中是用什么方法證明這一結(jié)論的？如何用語言敘述上述結(jié)論嗎？
教材是利用反證法證明的；
語言敘述為：垂直于同一個平面的兩條直線平行．
問題7　你能發(fā)現(xiàn)線面垂直的其他性質(zhì)嗎？
（1）如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面．
（2）過空間一點有且只有一條直線與已知平面垂直．
（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行．
（4）一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么這條直線也垂直于另一個平面．
（5）如果平面外的一條直線與該平面的垂線垂直，那么這條直線與此平面平行．
問題8　兩條異面直線能垂直于同一個平面嗎？為什么？
因為垂直于同一個平面的兩條直線平行，如果兩條異面直線能垂直于同一個平面，
則這兩條異面共面，這與它的定義矛盾．
問題9　直線與平面垂直是直線與平面的相交時的一種特殊情況，當(dāng)它們不垂直時，
一條直線與一個平面α相交，但不與這個平面垂直，這條
直線稱為這個平面的斜線，斜線與平面的交點稱為斜足．
可以發(fā)現(xiàn)不同的直線與平面相交的情況也是不同的，如何刻畫這種不同呢？
問題10　如何作直線與平面所成的角？
過斜線上斜足以外的一點P向平面作垂直，過垂足O和斜足A的直線AO稱為斜線在這個平面上的投影．
平面的一條斜線與在這個平面上的投影所成的銳角，叫這條直線與這個平面所成的角．
根據(jù)直線與平面所成的角定義可知，范圍是［0，90°］．
例1　本章1.2節(jié)已提到從平面外一點作一個平面的垂線，這個點和垂足間的距離稱為點到平面的距離．請證明：如果一條直線平行一個平面，那么這條直線上各點到這個平面的距離都相等．如何證明這一問題？
例2 如圖所示，已知正方體ABCD－A1B1C1D1，求A1B與平面A1DCB1所成的角．
追問 由直線與平面所成角的概念知，應(yīng)先找到或作出直線A1B在平面A1DCB1
上的射影，那么怎樣才能得到這條射影呢？
解析：連接BC1，交CB1于點O，連接A1O．再證BC1⊥平面A1DCB1，
則∠BA1O就是所求的角，設(shè)正方體的棱長為a．
∵A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩ B1B＝B，
∴A1B1⊥平面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1．
又∵BC1⊥B1C，∴BC1⊥平面A1DCB1．
∴ ∠BA1O＝30°，
∴ A1B和平面A1DCB1所成的角為30°．
解析：所以A1O為斜線A1B在平面A1DCB1上的射影，
即∠BA1O為A1B與平面A1DCB1所成的角．
練習(xí)：教科書第229頁練習(xí)1，2．
問題11　本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了直線與平面垂直的性質(zhì)及其應(yīng)用，請你通過下列問題，歸納所學(xué)知識．
（1）直線與平面垂直定義中的關(guān)鍵詞任意一條直線是否可以換成所有直線或無數(shù)條直線？
（2）判定兩條直線平行的常用方法有哪些？
（3）如何求線面角的大小？
（1）定義中的任意一條直線與所有直線是等效的，但是不可說成無數(shù)條直線，
因為一條直線與某平面內(nèi)無數(shù)條平行直線垂直，該直線與這個平面不一定垂直．
②利用三線平行公理：證兩線同時平行于第三條直線．
①利用線線平行定義：證共面且無公共點．
③利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行．
④利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直．
⑤利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行．
求出線面角的一個三角函數(shù)值，然后再求出線面角的大?。?br/>（3）一般作出或找到線面角后，首先將線面角置于一個三角形內(nèi)，
作業(yè)：教科書第229頁練習(xí)3．
直線l⊥平面α，直線m?α，則l與m不可能（　?。?br/>解析：若l∥m，又l?α，m?α，
所以直線l與m不可能平行．
∴l(xiāng)∥α，這與已知l⊥α矛盾．
在圓柱的一個底面上任取一點（該點不在底面圓周上），過該點作另一個底面的垂線，則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關(guān)系是（　?。?br/>解析：圓柱的母線垂直于圓柱的底面，
由線面垂直的性質(zhì)知B正確．
如圖所示，若斜線段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，則AB與平面α所成的角是（　　）
解析：∠ABO即是斜線AB與平面α所成的角，
在Rt△AOB中，AB＝2BO，

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第二冊電子課本

5.1 直線與平面垂直

版本： 北師大版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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