【講通練透】高考數(shù)學知識大盤點專題05 一元函數(shù)的導數(shù)及其應用（思維導圖知識梳理方法技巧易混易錯）-試卷下載-教習網(wǎng)

2、精練習題。復習時不要搞“題海戰(zhàn)術”，應在老師的指導下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對所學知識的深入理解。在解題時，要獨立思考，一題多思，一題多解，反復玩味，悟出道理。
3、加強審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學抱怨沒考好，糾其原因是考試時沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個問題勢必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認真分析條件與目標的聯(lián)系，確定解題思路。
4、重視錯題。錯誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯因，及時進行總結，三五個字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓，力求相同的錯誤不犯第二次。
專題05 一元函數(shù)的導數(shù)及其應用
一、知識速覽
二、考點速覽
知識點1 導數(shù)的概念
1、函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)
一般地，稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)．
2、導數(shù)的幾何意義
函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點P(x0，y0)處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數(shù)s(t)對時間t的導數(shù))．相應地，切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
3、函數(shù)f(x)的導函數(shù)：稱函數(shù)f′(x)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)為f(x)的導函數(shù)．
知識點2 導數(shù)的運算
1、基本初等函數(shù)的導數(shù)公式
2、導數(shù)的運算法則
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq \f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)．
知識點3 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
1、導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關系
在某個區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；
如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
【注意】
（1）在某區(qū)間內(nèi)（）是函數(shù)在此區(qū)間上為增（減）函數(shù)的充分不必要條件；
（2）可導函數(shù)在上是增(減)函數(shù)的充要條件是對?x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零．
2、導數(shù)法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟
（1）確定函數(shù)的定義域；
（2）求（通分合并、因式分解）；
（3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；
（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間．
知識點4 導數(shù)與函數(shù)的極值、最值
1、函數(shù)的極值
（1）函數(shù)的極小值：函數(shù)y＝f(x)在點x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點x＝a附近的左側f′(x)＜0，右側f′(x)＞0，則點a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．
（2）函數(shù)的極大值：函數(shù)y＝f(x)在點x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點x＝b附近的左側f′(x)＞0，右側f′(x)＜0，則點b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．
2、函數(shù)的最值
（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．
（2）若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．
一、求曲線“在”與“過”某點的切線
1、求曲線“在”某點處的切線方程步驟
第一步（求斜率）：求出曲線在點處切線的斜率
第二步（寫方程）：用點斜式
第三步（變形式）：將點斜式變成一般式。
2、求曲線“過”某點處的切線方程步驟
第一步：設切點為；
第二步：求出函數(shù)在點處的導數(shù)；
第三步：利用Q在曲線上和，解出及；
第四步：根據(jù)直線的點斜式方程，得切線方程為．
【典例1】（2023·陜西西安·西安市大明宮中學?？寄M預測）已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，切點為，，
所以切線方程為，即故選：B
【典例2】（2023·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）已知直線是曲線在點處的切線方程，則
【答案】e
【解析】由題設，且，則，
所以，切線方程為，即，
所以，故.
【典例3】（2023·云南·校聯(lián)考模擬預測）曲線過坐標原點的切線方程為 .
【答案】
【解析】設切點為，則，
，切線的斜率為，
所以切線方程為，
又切線過原點，所以，即，
解得，所以切線方程為
【典例4】（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）若過點可作曲線的三條切線，則的取值范圍是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設切點為，
由函數(shù)，可得，則
所以在點處的切線方程為，
因為切線過點，所以，
整理得，
設，所以，
令，解得或，令，解得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
要使得過點可作曲線的三條切線，
則滿足，解得，即的取值范圍是．故選：C．
二、含參函數(shù)單調(diào)性討論依據(jù)
（1）導函數(shù)有無零點討論（或零點有無意義）；
（2）導函數(shù)的零點在不在定義域或區(qū)間內(nèi)；
（3）導函數(shù)多個零點時大小的討論。
【典例1】（2023·全國·高三對口高考）已知函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
【答案】答案見解析.
【解析】函數(shù)的定義域為，求導得，
當時，，由，得，由，得，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當時，由，得或，
當或時，，當時，，
因此在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當時，恒成立，當且僅當時取等號，因此在上單調(diào)遞增；
當時，當或時，，當時，，
因此在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；
當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；
當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）討論函數(shù)的單調(diào)性．
【答案】答案見解析
【解析】函數(shù)的定義域為，
求導得，
令，得，其中.
當時，，故在上單調(diào)遞增；
當時，，則，故在上單調(diào)遞增；
當時，，由得，，
所以或時，；時，，
所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增；
當時，在，上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減．
三、已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
（1）函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)增（單減）在區(qū)間D上恒成立；
（2）函數(shù)在區(qū)間D上存在單調(diào)增（單減）區(qū)間在區(qū)間D上能成立；
（3）已知函數(shù)在區(qū)間D內(nèi)單調(diào)不存在變號零點
（4）已知函數(shù)在區(qū)間D內(nèi)不單調(diào)存在變號零點
【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（）．
A． B．e C． D．
【答案】C
【解析】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，
設，所以，所以在上單調(diào)遞增，
，故，即，即a的最小值為．故選：C．
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在上不單調(diào)，則的取值范圍是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依題意，故在上有零點，
令，令，得，
令，則，
由，得，單調(diào)遞增，又由，得，
故，所以，的取值范圍故選：A
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)恰有三個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍為（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意得函數(shù)的定義域為，，
要使函數(shù)恰有三個單調(diào)區(qū)間，
則有兩個不相等的實數(shù)根，∴，解得且，
故實數(shù)a的取值范圍為，故選：C.
四、構造函數(shù)法解決函數(shù)問題中的常見類型
關系式為“加”型構造：
構造
（2）構造
（3）構造
（4）構造（注意的符號）
（5）構造
關系式為“減”型構造：
（6）構造
（7）構造
（8）構造
（9）構造（注意的符號）
（10）構造
【典例1】（2023春·重慶·高二校聯(lián)考期中）已知定義在上的函數(shù)滿足：，且，則的解集為（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設，，
因為，所以，所以在單調(diào)遞增，
因為，所以，
由，且得，則，
所以，又在單調(diào)遞增，所以，故選：A．
【典例2】（2023春·江西南昌·高二校聯(lián)考階段練習）若定義域為的函數(shù)滿足，則不等式的解集為 .
【答案】
【解析】由時，函數(shù)滿足，可得，
設，則，故在上單調(diào)遞增，
由，即，即，
所以，解得，所以的解集為.
【典例3】（2023春·四川宜賓·高二?？计谥校┮阎嵌x在上的函數(shù)，導函數(shù)滿足對于恒成立，則（）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】設函數(shù)，由，可得，
所以在R上單調(diào)遞減，
則，得，即，
則，得，即.故選：D
五、單變量不等式恒成立問題
一般利用參變分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：
1、，
2、，
3、，
4、，
【典例1】（2023·全國·高三專題練習）若對于，不等式恒成立，則參數(shù)a的取值范圍為．
【答案】
【解析】令，可得，
若時，，單調(diào)遞減，
又由，所以當時，可得，不符合題意，舍去；
若時，令，可得，
當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增；
又由，所以存在，使得，不符合題意，舍去；
若時，令，可得，
當時，，單調(diào)遞增，且，
所以當時，恒成立，符合題意，
所以實數(shù)的取值范圍為．
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】
【解析】解法一，由在上恒成立，得在上恒成立，
即在上恒成立
令，，則．
當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以
因為，，所以，
所以，即實數(shù)的取值范圍為．
解法二，由在上恒成立，得在上恒成立．
令，，則滿足即可
，當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．
因為，，所以，
所以，即實數(shù)的取值范圍為．
六、雙變量不等式與等式
一般地，已知函數(shù)，
1、不等關系
（1）若，，總有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有成立，故．
2、相等關系
記的值域為A, 的值域為B,
（1）若，，有成立，則有；
（2）若，，有成立，則有；
（3）若，，有成立，故；
一般利用參變分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：
1、，
2、，
3、，
4、，
【典例1】（2023春·四川宜賓·高二校考期中）已知函數(shù)，，對任意的，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，則，
令，解得或；令，解得，
，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
且，故，
任意的，都有成立，則，
因為，則，
當時，在單調(diào)遞增，
所以，
故，即(舍去)；
當時，令，解得；令，解得，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，即，解得，
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.故選：A
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，函數(shù)，若對任意的，存在，使得，則實數(shù)m的取值范圍為．
【答案】
【解析】由題意得．
因為，
當時，，故在上單調(diào)遞增，．
因為，
當時，，當時，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，．
由，即，解得．
易錯點1 復合函數(shù)求導錯誤
點撥：復合函數(shù)對自變量的導數(shù)等于已知函數(shù)對中間變量的導數(shù)，乘以中間變量對自變量的導數(shù)，即。
【典例1】（2023·全國·高三專題練習）求下列函數(shù)的導數(shù)．
(1)； (2)； (3) (4)；
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)
【解析】（1）因為，所以.
（2）因為，所以.
（3）因為，所以
（4）因為，所以
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）求的導函數(shù).
【答案】
【解析】因為，
所以.
故答案為：
易錯點2 誤解“導數(shù)為0”與“有極值”的邏輯關系
點撥：在使用導數(shù)求函數(shù)極值時，很容易出現(xiàn)的錯誤是求出使導函數(shù)等于0的點，而沒有對這些點左右兩側導函數(shù)的符號進行判斷，誤以為使導函數(shù)等于0的點就是函數(shù)的極值點。出現(xiàn)這種錯誤的原因就是對導數(shù)與極值關系不清?？蓪Ш瘮?shù)在一點處的導函數(shù)值為0只是這個函數(shù)在此點取到極值的必要條件，充要條件是兩側異號。
【典例1】（2022秋·遼寧鞍山·高三校聯(lián)考期中）已知定義域為的函數(shù)的導函數(shù)為，且函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法中正確的是（）
A．有極小值，極大值 B．有極小值，極大值
C．有極小值，極大值和 D．有極小值，極大值
【答案】D
【解析】觀察圖象知，當時，或且，
當時，或，
而當時，，當時，，
因此當或時，，
當時，，當且僅當時取等號，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以有極小值，極大值，A，B，C不正確；D正確.故選：D
【典例2】（2022秋·北京·高三北京鐵路二中校考階段練習）設函數(shù)的定義域為，是的極大值點，以下四個結論中正確的命題序號是 .
①，； ②是的極大值點；
③是的極小值點； ④是的極小值點
【答案】②④
【解析】對于①：是的極大值點，并不一定是最大值點，即①錯誤；
對于②：因為與的圖象關于軸對稱，
且是的極大值點，
所以應是的極大值點，即②正確；
對于③：因為與的圖象關于軸對稱，
且是的極大值點，
所以應是的極小值點，
且無法判定是的極小值點，即③錯誤；
對于④：因為與的圖象關于對稱，
且是的極大值點，
所以應是的極小值點，即④正確；故答案為：②④.
【典例3】（2023·全國·高三對口高考）如果函數(shù)在處有極值，則的值為．
【答案】2
【解析】因為函數(shù)在處有極值，
所以，.
由于，
所以，，
解得：或.
當時，，
，所以單調(diào)遞減，無極值.
所以.故答案為：2
易錯點3 對“導數(shù)值符號”與“函數(shù)單調(diào)性”關系理解不透徹
點撥：一個函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)增（減）的充要條件是這個函數(shù)的導函數(shù)在此區(qū)間上恒大（小）于等于0，且導函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上都不恒為0。切記導函數(shù)在某區(qū)間上恒大（?。┯?僅為該函數(shù)在此區(qū)間上單調(diào)增（減）的充分條件。
【典例1】（2023·陜西西安·統(tǒng)考三模）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，
令，則，
所以在上遞增，又，所以.
所以的取值范圍是.故選：B
【典例2】（2022秋·山東濟寧·高三?？茧A段練習）已知函數(shù)，若在內(nèi)為減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是．
【答案】
【解析】，
∵在內(nèi)為減函數(shù)，
∴在內(nèi)恒成立，
∴，即，解得．
所以實數(shù)a的取值范圍是．
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，則的值為（）
A．3 B． C．6 D．
【答案】D
【解析】由，所以，
單調(diào)遞減區(qū)間是，的解集為，
即的解集為，
，，經(jīng)檢驗符合題意.故選：D.
易錯點4 對“導函數(shù)值正負”與“原函數(shù)圖象升降”關系不清楚
點撥：解答此類題的關鍵是抓住①導函數(shù)的零點與原函數(shù)的極值點關系——極值點的導數(shù)值為0；②導函數(shù)值的符號與原函數(shù)單調(diào)性的關系——原函數(shù)看增減，導函數(shù)看正負。
【典例1】（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預測）如圖是函數(shù)的導函數(shù)的圖象，若，則的圖象大致為（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由的圖象可知，當時，，
則在區(qū)間上，函數(shù)上各點處切線的斜率在區(qū)間內(nèi)，
對于A，在區(qū)間上，函數(shù)上各點處切線的斜率均小于0，故A不正確；
對于B，在區(qū)間上，函數(shù)上存在點，在該點處切線的斜率大于1，故B不正確；
對于C，在區(qū)間上，函數(shù)上存在點，在該點處切線的斜率大于1，故C不正確；
對于D，由的圖象可知，當時，，
當時，，當時，，
所以函數(shù)上各點處切線的斜率在區(qū)間內(nèi)，在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
而函數(shù)的圖象均符合這些性質(zhì)，故D正確.故選：D
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）（多選）已知定義在上的函數(shù)，其導函數(shù)的大致圖像如圖所示，則下列敘述正確的是（）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】由題意得，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因為，所以，C選項正確.
當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
因為，所以，D選項正確.故選：CD原函數(shù)
導函數(shù)
f(x)＝c(c為常數(shù))
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs_x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a>0且a≠1)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax(x>0，a>0且a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x (x>0)
f′(x)＝eq \f(1,x)

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