【講通練透】高考數(shù)學知識大盤點專題08 解三角形及其應用（思維導圖知識梳理方法技巧易混易錯）-試卷下載-教習網(wǎng)

2、精練習題。復習時不要搞“題海戰(zhàn)術”，應在老師的指導下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對所學知識的深入理解。在解題時，要獨立思考，一題多思，一題多解，反復玩味，悟出道理。
3、加強審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學抱怨沒考好，糾其原因是考試時沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個問題勢必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認真分析條件與目標的聯(lián)系，確定解題思路。
4、重視錯題。錯誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯因，及時進行總結，三五個字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓，力求相同的錯誤不犯第二次。
專題08 解三角形及其應用
一、知識速覽
二、考點速覽
知識點1 正、余弦定理及變形
【注意】若已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，可用正弦定理．在根據(jù)另一邊所對角的正弦值確定角的值時，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意結合“大邊對大角，大角對大邊”及三角形內(nèi)角和定理去考慮問題．
知識點2 三角形常用面積公式
1、S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高)；
2、S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A；
3、S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r為內(nèi)切圓半徑)．
知識點3 解三角形中的常用結論
1、三角形內(nèi)角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；變形：eq \f(A＋B,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(C,2).
2、三角形中的三角函數(shù)關系
（1）sin(A＋B)＝sin C；（2）cs(A＋B)＝－cs C；
（3）sin eq \f(A＋B,2)＝cs eq \f(C,2)；（4）cs eq \f(A＋B,2)＝sin eq \f(C,2).
3、三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcs C＋ccs B；b＝acs C＋ccs A；c＝bcs A＋acs B.
4、三角形中的大角對大邊：在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B.
知識點4 測量中幾個術語的意義及圖形表示
【注意】（1）方位角和方向角本質(zhì)上是一樣的，方向角是方位角的一種表達形式，是同一問題中對角的不同描述．
（2）將三角形的解還原為實際問題時，要注意實際問題中的單位、近似值要求，同時還要注意所求的結果是否符合實際情況．
一、利用正、余弦定理求解三角形的邊角問題，實質(zhì)是實現(xiàn)邊角的轉化，解題的思路是：
1、選定理.
（1）已知兩角及一邊，求其余的邊或角，利用正弦定理；
（2）已知兩邊及其一邊的對角，求另一邊所對的角，利用正弦定理；
（3）已知兩邊及其夾角，求第三邊，利用余弦定理；
（4）已知三邊求角或角的余弦值，利用余弦定理的推論；
（5）已知兩邊及其一邊的對角，求另一邊，利用余弦定理；
2、巧轉化：化邊為角后一般要結合三角形的內(nèi)角和定理與三角恒等變換進行轉化；若將條件轉化為邊之間的關系，則式子一般比較復雜，要注意根據(jù)式子結構特征靈活化簡.
3、得結論：利用三角函數(shù)公式，結合三角形的有關性質(zhì)（如大邊對大角，三角形的內(nèi)角取值范圍等），并注意利用數(shù)形結合求出三角形的邊、角或判斷出三角形的形狀等。
【典例1】（2023秋·北京·高三統(tǒng)考開學考試）在中，，且，則，．
【典例2】（2022秋·云南保山·高三統(tǒng)考）（多選）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則下列結論正確的是（）
A． B． C． D．
【典例3】（2023秋·河南·高三鄭州外國語學校?？迹┤鐖D，三角形的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，．
（1）求．
（2）若，，，求的長．
二、判定三角形形狀的兩種常用途徑
1、角化邊：利用正弦定理、余弦定理化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關系進行判斷；
2、邊化角：通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關系進行判斷
【典例1】（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）在中內(nèi)角的對邊分別為，若，則的形狀為（）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【典例2】（2023春·河南周口·高三?？茧A段練習）已知的三個內(nèi)角所對的邊分別為．若，則該三角形的形狀一定是（）
A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．銳角三角形
【典例3】（2023秋·福建三明·高三三明一中?？奸_學考試）在中，，，則的形狀為．
三、解三角形中的最值范圍問題
1、三角形中的最值、范圍問題的解題策略
（1）定基本量：根據(jù)題意或幾何圖形厘清三角形中邊、角的關系，利用正、余弦定理求出相關的邊、角或邊角關系，并選擇相關的邊、角作為基本量，確定基本量的范圍．
（2）構建函數(shù)：根據(jù)正、余弦定理或三角恒等變換將待求范圍的變量用關于基本量的函數(shù)解析式表示．
（3）求最值：利用基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性等求最值．
2、求解三角形中的最值、范圍問題的注意點
（1）涉及求范圍的問題，一定要搞清已知變量的范圍，利用已知的范圍進行求解，已知邊的范圍求角的范圍時可以利用余弦定理進行轉化．
（2）注意題目中的隱含條件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大邊對大角等．
【典例1】（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預測）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
（1）求證：，，是等差數(shù)列；
（2）求的最大值．
【典例2】（2023秋·重慶·高三萬州第二高級中學校考）在銳角中，角的對邊分別為，為的面積，，且，則的周長的取值范圍是（）
A． B． C． D．
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）在銳角三角形中，角，，所對的邊分別是，，，且，．
（1）若，求角；
（2）求面積的最大值．
四、解三角形的實際應用問題的類型及解題策略
1、求距離、高度問題
（1）選定或確定要創(chuàng)建的三角形，要先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．有時需設出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的量．
（2）確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理．
2、求角度問題
（1）分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關鍵、最重要的一步，畫圖時，要明確仰角、俯角、方位角以及方向角的含義，并能準確找到這些角．
（2）將實際問題轉化為可用數(shù)學方法解決的問題后，注意正、余弦定理的綜合應用．
【典例1】（2023·全國·校聯(lián)考二模）哈爾濱防洪勝利紀念塔，坐落在風景如畫的松花江南岸，是為紀念哈爾濱市人民戰(zhàn)勝1957年的特大洪水，于1958年建成的，是這座英雄城市的象征，它象征著20世紀的哈爾濱人民力量堅不可摧.小明同學想利用鏡面反射法測量防洪紀念塔主體的高度.如圖所示，小明測量并記錄人眼距離地面高度，將鏡子（平面鏡）置于平地上，人后退至從鏡中能夠看到樓頂?shù)奈恢?，測量人與鏡子的距離為，將鏡子后移，重復前面中的操作，測量人與鏡子的距離為.根據(jù)數(shù)據(jù)可求出防洪紀念塔的高度為（）（單位：）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·四川·南部中學?？寄M預測）一艘海輪從處出發(fā)，以每小時 40 海里的速度沿東偏南方向直線航行， 30 分鐘后到達 B 處．在 C 處有一座燈塔，海輪在 A 處觀察燈塔，其方向是東偏南，在 B 處觀察燈塔，其方向是北偏東，那么B、C 兩點間的距離是（）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
【典例3】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預測）海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍洞，若要測量如圖所示的藍洞的口徑A，B兩點間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島_上取兩點C，D，測得，，，，則A、B兩點的距離為 m．
易錯點1 利用正弦定理解三角形時，若已知三角形的兩邊及其一邊的對角解三角形時，易忽視三角形解的個數(shù)。
點撥：正弦定理和余弦定理是解三角形的兩個重要工具，它溝通了三角形中的邊角之間的內(nèi)在聯(lián)系，正弦定理能夠解決兩類問題（1）已知兩角及其一邊，求其它的邊和角。這時有且只有一解。（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求其它的邊和角,這是由于正弦函數(shù)在在區(qū)間內(nèi)不嚴格格單調(diào)，此時三角形解的情況可能是無解、一解、兩解，可通過幾何法來作出判斷三角形解的個數(shù)。
【典例1】（2022秋·北京·高三?？迹┰谥校阎?，，，則角的大小為（）
A． B． C．或 D．或
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）在中，內(nèi)角，，對應的邊分別為，，，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）在中，，若該三角形有兩解，則x的取值范圍是．
易錯點2 解三角形時，在中忽視的解
點撥：解題時容易習慣性約去相同的項，沒有注意到約分的條件，當此時，可以左右兩邊約去，從而造成漏解，所以考生在平時解題養(yǎng)成習慣，什么時候可以約，要牢記。
【典例1】（2022·浙江·高三專題練習）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.
（1）試判斷的形狀，并說明理由；
（2）設點D在邊AC上，若，，求的值.
易錯點3 忽視對角的討論
點撥：當解題過程中出現(xiàn)類似于sin2A=sin2B這樣的情況要注意結合三角形內(nèi)角范圍進行討論，另外當題設中出現(xiàn)銳角三角形時一定要注意條件之間的相互“限制”。
【典例1】（2022秋·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第二中學?？茧A段練習）在中，已知a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且滿足，A、B、C成等差數(shù)列，則角C= ．
【典例2】（2023·江蘇南京·南京市第一中學?？寄M預測）在中，角，，的對邊分別為，，，點在邊上，，，.
（1）若，求；
（2）若，求的面積.
易錯點4 忽視解三角形時使用正弦定理邊角互化，要注意是否使用齊次式，能否消去2R
點撥：使用正弦定理進行邊角互化時要注意只有齊次式才可以消掉2R，若非齊次式要注意只能將齊次部分消去2R，或者使用其他方式進行邊角互化。
【典例1】（2022秋·江西·高三臨川一中?？计谥校┰谥?，分別為三邊所對的角.若且滿足關系式，則外接圓直徑為（）
A． B．2 C．4 D．
【典例2】（2021·陜西榆林·神木中學?？既＃┰谥?，角的對邊分別是，且.
（1）求證：；
（2）若，求的面積.
易錯點5 實際問題中題意不明致誤
點撥：實際問題應用中有關名詞、術語也是容易忽視和混淆的。要注意理解仰角、俯角、方向角、方位角、坡度的具體含義。
【典例1】（2023秋·黑龍江雙鴨山·高三雙鴨山一中?？奸_學考試）如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時測得公路北側一山頂在西偏北的方向上，行駛后到達處，測得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度．
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）山東省科技館新館目前成為濟南科教新地標（如圖1），其主體建筑采用與地形吻合的矩形設計，將數(shù)學符號“”完美嵌入其中，寓意無限未知?無限發(fā)展?無限可能和無限的科技創(chuàng)新.如圖2，為了測量科技館最高點A與其附近一建筑物樓頂B之間的距離，無人機在點C測得點A和點B的俯角分別為75°，30°，隨后無人機沿水平方向飛行600米到點D，此時測得點A和點B的俯角分別為45°和60°（A，B，C，D在同一鉛垂面內(nèi)），則A，B兩點之間的距離為米.
【典型3】（2022秋·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學校考期中）一游客在處望見在正北方向有一塔，在北偏西45°方向的處有一寺廟，此游客騎車向西行后到達處，這時塔和寺廟分別在北偏東30°和北偏西15°，則塔與寺廟的距離為 .定理
正弦定理
余弦定理
內(nèi)容
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R
a2＝b2＋c2－2bccs A；
b2＝c2＋a2－2cacs B；
c2＝a2＋b2－2abcs C
變形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
c＝2Rsin C；
(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(3)eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝eq \f(a,sin A)＝2R
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
名稱
意義
圖形表示
仰角與俯角
在目標視線與水平視線所成的角中，目標視線在水平視線eq \a\vs4\al(上)方的叫做仰角，目標視線在水平視線eq \a\vs4\al(下)方的叫做俯角
方位角
從某點的指eq \a\vs4\al(北)方向線起按順時針方向到目標方向線之間的夾角叫做方位角，方位角θ的范圍是0°≤θ

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