【講通練透】高考數(shù)學(xué)知識大盤點專題06 三角函數(shù)的概念與公式（思維導(dǎo)圖知識梳理方法技巧易混易錯）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對所學(xué)知識的深入理解。在解題時，要獨立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個問題勢必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認真分析條件與目標的聯(lián)系，確定解題思路。
4、重視錯題。錯誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯因，及時進行總結(jié)，三五個字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯誤不犯第二次。
專題06 三角函數(shù)的概念與公式
一、知識速覽
二、考點速覽
知識點1 任意角與弧度制
1、角的概念
（1）任意角：①定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形；②分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負角和零角．
（2）象限角：以角的頂點為坐標原點，角的始邊為x軸正半軸，建立平面直角坐標系．這樣，角的終邊(除端點外)在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限．
（3）所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
2、弧度制
知識點2 任意角的三角函數(shù)
知識點3 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式
1、平方關(guān)系：sin2α＋cs2α＝1.
2、商數(shù)關(guān)系：eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
3、基本關(guān)系式的幾種變形
（1）sin2α＝1－cs2α＝(1＋cs α)(1－cs α)；cs2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)．
（2）(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α.
（3）sin α＝tan αcs αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
4、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
“奇變偶不變，符號看象限”中的奇、偶是指π/2的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化。
知識點4 三角恒等變換公式
1、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
【注意】在公式T(α±β)中α，β，α±β都不等于kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即保證tan α，tan β，tan(α±β)都有意義．
2、二倍角公式
3、輔助角公式
一般地，函數(shù)f(α)＝asin α＋bcs α(a，b為常數(shù))可以化為f(α)＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(b,a)))
或f(α)＝eq \r(a2＋b2)cs(α－φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(a,b))).
一、確定角終邊所在象限的方法
法1分類討論法：利用已知條件寫出的范圍（用表示），由此確定的范圍，在對進行分類討論，從而確定所在象限。
法2幾何法：先把各象限分為等份，再從軸的正方向的上方起，逆時針依次將各區(qū)域標上一、二、三、四……則原來是第幾象限的角，標號為幾的區(qū)域即角終邊所在的區(qū)域。
【典例1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）（多選）如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪個象限的角（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【典例2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）（多選）如果是第四象限角，那么可能是（）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）若是第二象限角，則（）
A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角
C．是第二象限角 D．是第三象限角或是第四象限角或的終邊在y軸負半軸上
二、三角函數(shù)的定義中常見的三種題型及解決辦法
1、已知角的終邊上一點的坐標，求角的三角函數(shù)值
方法：先求出點到原點的距離，再利用三角函數(shù)的定義求解。
2、已知角的一個三角函數(shù)值和終邊上一點的橫坐標或縱坐標，求與角有關(guān)的三角函數(shù)值
方法：先求出點到原點的距離（帶參數(shù)），根據(jù)已知三角函數(shù)值及三角函數(shù)的定義建立方程，求出未知數(shù)，從而求解問題。
3、已知角的終邊所在的直線方程（），求角的三角函數(shù)值
方法：先設(shè)出終邊上一點，求出點到原點的距離，再利用三角函數(shù)的定義求解，注意的符號，對進行討論。若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角的三角函數(shù)值。
【典例1】（2023·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）已知為角α終邊上一點，則= ．
【典例2】（2023秋·吉林長春·高三長春市第十七中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如果角的終邊在直線上，則（）
A． B． C． D．
【典例3】（2023·河北秦皇島·秦皇島一中?？级＃┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，且，則的值可以是（）
A． B．1 C．0 D．2
三、對sin α，cs α，tan α的知一求二問題
1、知弦求弦：利用誘導(dǎo)公式及平方關(guān)系sin2α＋cs2α＝1求解
2、知弦求切：常通過平方關(guān)系，與對稱式sin α±cs α，sin α·cs α建立聯(lián)系，注意tan α＝eq \f(sin α,cs α)的靈活應(yīng)用
3、知切求弦：先利用商數(shù)關(guān)系得出sin α＝tan α·cs α或cs α＝eq \f(sin α,tan α)，然后利用平方關(guān)系求解
【典例1】（2023春·湖南永州·高三統(tǒng)考）已知，，則等于（）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）已知，且，則（）
A． B． C． D．
【典例3】（2023秋·福建·高三廈門第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若，,則 .
四、已知tan α求sin α，cs α齊次式中“切弦互化”的技巧
1、弦化切：把正弦、余弦化成切的結(jié)構(gòu)形式，統(tǒng)一為“切”的表達式，進行求值．常見的結(jié)構(gòu)有：
（1）sin α，cs α的二次齊次式(如asin2α＋bsin αcs α＋ccs2α)的問題常采用“切”代換法求解；
（2）sin α，cs α的齊次分式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(如\f(asin α＋bcs α,csin α＋dcs α)))的問題常采用分式的基本性質(zhì)進行變形．
2、切化弦：利用公式tan α＝eq \f(sin α,cs α)，把式子中的切化成弦．一般單獨出現(xiàn)正切的時候，采用此技巧．
【典例1】（2023秋·江西·高三南昌外國語學(xué)校?？迹┤?，則 .
【典例2】（2023·江蘇·南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，則．
【典例3】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）已知，則的值是．
五、sin α±cs α與sin αcs α關(guān)系的應(yīng)用
對于sin α＋cs α，sin α－cs α，sin αcs α這三個式子，知一可求二，
若令sin α＋cs α＝t(t∈[－eq \r(2)，eq \r(2)])，則sin αcs α＝eq \f(t2－1,2)，sin α－cs α＝±eq \r(2－t2)(注意根據(jù)α的范圍選取正、負號)，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用．
【典例1】（2023秋·廣東揭陽·高三校考開學(xué)考試）已知，A為第四象限角，則等于（）
A． B． C． D．
【典例2】（2023秋·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，且，則下列結(jié)果正確的是（）．
A． B． C． D．
【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為第三象限角，，則（）
A． B． C． D．
五、利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟
eq \x(\a\al(任意負角,的三角函,數(shù)))eq \(――――――→,\s\up9(\a\vs4\al(利用誘導(dǎo)公式)),\s\d8(三或一))eq \x(\a\al(任意正角,的三角函,數(shù)))eq \(――――――――→,\s\up9(\a\vs4\al(利用誘導(dǎo)公式一)))eq \x(\a\al(0～2π的,角的三角,函數(shù)))eq \(――――――――→,\s\up9(\a\vs4\al(利用誘導(dǎo)公式二)),\s\d8(或四或五))eq \x(\a\al(銳角三,角函數(shù)))
也就是：“負化正，大化小，化到銳角就好了”．
【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）點位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，則＝ .
【典例3】（2022秋·浙江金華·高三?？迹┮阎獮榈谌笙藿?，= .
七、給值求值問題的求解策略
1、“給值求值”關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異.
①一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用;
②變換待求式，便于將已求得的函數(shù)值代入，從而達到解題的目的.
2、“湊配角”：用已知角和特殊角將所求角表示出來，例如：
等.
【典例1】（2022秋·江蘇南京·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，，，則的值為．
【典例2】（2023秋·江西南昌·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則 .
【典例3】（2022秋·天津·高三?？迹┮阎?，則的值是 .
八、給值求角問題的求解策略
“給值求角”實質(zhì)就是轉(zhuǎn)化為“給值求值”.解決此類題的關(guān)鍵是：
（1）求值：求出所求角的某種三角函數(shù)值.
（2）界定范圍：根據(jù)題設(shè)（隱含條件）確定所求角的取值范圍.
（3）求角：由所得函數(shù)值結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及角的取值范圍確定角的大小.
【典例1】（2022秋·江西·高三校聯(lián)考）已知，，且，，則的值是 .
【典例2】（2022秋·山東青島·高三青島二中?？计谥校┮阎?，，，，則（）
A． B． C． D．
【典例3】（2023秋·湖北·高三武漢第六中學(xué)?？迹┮阎?、是方程的兩個根，且，則等于（）
A． B． C．或 D．或
九、三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則
【注意】化簡三角函數(shù)式的常見方法有弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪與升冪等．
【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，，，則有（）
A． B． C． D．
【典例2】（2022秋·安徽·高三六安二中?？迹┗喌慕Y(jié)果是（）
A．1 B． C．2 D．
【典例3】（2022秋·河北·高三張家口市第一中學(xué)?？计谥校┑扔冢? ）
A．1 B．2 C． D．
易錯點1 對任意角的理解不到位
點撥：根據(jù)任意角的定義，順時針旋旋轉(zhuǎn)為負角，逆時針旋轉(zhuǎn)為正角。
【典例1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）喜洋洋從家步行到學(xué)校，一般需要10分鐘，則10分鐘時間鐘表的分針走過的角度是（）
A．30° B．﹣30° C．60° D．﹣60°
【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）教室里的鐘表慢了30分鐘，在同學(xué)將它校正的過程中，時針需要旋轉(zhuǎn)多少弧度?（）
A． B． C． D．
易錯點2 三角函數(shù)定義中，忽略點坐標值的正負
點撥：在應(yīng)用三角函數(shù)定義時，要注意對參數(shù)正負進行討論。
【典例1】（2022秋·河南·高三校聯(lián)考）已知角的終邊經(jīng)過點，則的值為（）
A． B． C．1或 D．或
【典例2】（2022秋·山東·高三寧陽第四中學(xué)?？迹ǘ噙x）已知角的頂點與原點重合，始邊與x軸非負半軸重合，終邊上的一點為（），則下列各式一定為負值的是（）
A． B． C． D．
易錯點3 忽略角所在的象限
點撥：利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求三角函數(shù)值時，要注意角所在的象限，從而確定三角函數(shù)值的符號。
【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若sin α＝－，則tan α＝ .
【典例2】（2023·吉林·梅河口第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）若，，則（）
A．1 B． C． D．
易錯點4 沒有挖掘題目中的隱含條件，忽視對角的范圍的限制而造成增解現(xiàn)象
點撥：在三角函數(shù)的化簡求值過程中，角的范圍的確定一直是其重點和難點，在解題過程中要注意在已有條件的基礎(chǔ)上挖掘隱含條件如：結(jié)合角的三角函數(shù)值的符號、三角形中各內(nèi)角均在區(qū)間內(nèi)、與已知角的三角函數(shù)值的大小比較結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性等。
【典例1】（2024秋·浙江·高三舟山中學(xué)校開學(xué)聯(lián)考）已知，，則（）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知，，則（）
A． B． C． D．
易錯點5 忽視對k的討論
點撥：使用誘導(dǎo)公式出現(xiàn)時，要注意對進行奇偶討論。
【典例1】（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）（多選）已知角滿足，則表達式的取值可能為（）
A．-2 B．-1或1 C．2 D．-2或2或0定義
把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad
角α的弧度數(shù)公式
|α|＝eq \f(l,r)(弧長用l表示)
角度與弧度的換算
①1°＝eq \f(π,180) rad；②1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°
弧長公式
弧長l＝|α|r
扇形面積公式
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2
三角函數(shù)
正弦
余弦
正切
定義
設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么
eq \a\vs4\al(y)叫做α的正弦，記作sin α
eq \a\vs4\al(x)叫做α的余弦，記作cs α
eq \f(y,x)叫做α的正切，記作tan α
各象限符號
Ⅰ
＋
＋
＋
Ⅱ
＋
－
－
Ⅲ
－
－
＋
Ⅳ
－
＋
－
三角函數(shù)線
有向線段MP為正弦線

有向線段OM為余弦線
有向線段AT為正切線
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cs α
cs α
余弦
cs α
－cs α
cs α
－cs α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan α
口訣
函數(shù)名改變，符號看象限
函數(shù)名不變，符號看象限
C(α－β)
cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β
C(α＋β)
cs(α＋β)＝csαcsβ－sinαsinβ
S(α－β)
sin(α－β)＝sinαcsβ－csαsinβ
S(α＋β)
sin(α＋β)＝sinαcsβ＋csαsinβ
T(α－β)
tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)；
變形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)
T(α＋β)
tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)；
變形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)
S2α
sin 2α＝2sin α cs α；
變形：1＋sin 2α＝(sin α＋cs α)2，1－sin 2α＝(sin α－cs α)2
C2α
cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
變形：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)
T2α
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)

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