【講通練透】高考數(shù)學(xué)知識(shí)大盤(pán)點(diǎn) 專題11 等差數(shù)列與等比數(shù)列（思維導(dǎo)圖知識(shí)梳理方法技巧易混易錯(cuò)）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過(guò)解題來(lái)提高思維能力和解題技巧，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過(guò)后，總有同學(xué)抱怨沒(méi)考好，糾其原因是考試時(shí)沒(méi)有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問(wèn)題勢(shì)必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路。
4、重視錯(cuò)題。錯(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡(jiǎn)意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
專題11 等差數(shù)列與等比數(shù)列
一、知識(shí)速覽
二、考點(diǎn)速覽
知識(shí)點(diǎn)1 數(shù)列的有關(guān)概念
1、數(shù)列的定義及表示
（1）數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列．?dāng)?shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．
（2）數(shù)列的表示法：數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析式法．
2、數(shù)列的分類
3、數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表達(dá)，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．
4、數(shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列的首項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做數(shù)列的遞推公式．
知識(shí)點(diǎn)2 等差數(shù)列的概念及公式
1、等差數(shù)列的定義
（1）文字語(yǔ)言：一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)；
（2）符號(hào)語(yǔ)言：(，為常數(shù))．
2、等差中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，則A叫做a，b的等差中項(xiàng)．
3、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式
（1）通項(xiàng)公式：．
（2）前項(xiàng)和公式：．
（3）等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系
= 1 \* GB3 ①通項(xiàng)公式：當(dāng)公差時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且一次項(xiàng)系數(shù)為公差.若公差，則為遞增數(shù)列，若公差，則為遞減數(shù)列．
= 2 \* GB3 ②前n項(xiàng)和：當(dāng)公差時(shí)，是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.
知識(shí)點(diǎn)3 等差數(shù)列的性質(zhì)
已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和．
1、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)：
（1）通項(xiàng)公式的推廣：．
（2）若，則．
（3）若的公差為d，則也是等差數(shù)列，公差為．
（4）若是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列．
2、等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)
（1）；
（2）；
（3）兩個(gè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和，之間的關(guān)系為.
（4）數(shù)列，，，…構(gòu)成等差數(shù)列．
3、關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的性質(zhì)
（1）若項(xiàng)數(shù)為，則，；
（2）若項(xiàng)數(shù)為，則，，，.
知識(shí)點(diǎn)4 等比數(shù)列的概念及公式
1、等比數(shù)列的定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)非零常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示。
數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式： (，為非零常數(shù))．
2、等比中項(xiàng)性質(zhì)：如果三個(gè)數(shù)，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項(xiàng)，其中.
注意：同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)。
3、通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式
（1）通項(xiàng)公式：若等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比是，則其通項(xiàng)公式為；
通項(xiàng)公式的推廣：.
（2）等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
知識(shí)點(diǎn)5 等比數(shù)列的性質(zhì)
已知是等比數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和．
1、等比數(shù)列的基本性質(zhì)
（1）相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即，，，…仍是等比數(shù)列，公比為.
（2）若，（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則，，，，仍是等比數(shù)列．
（3）若，則有
口訣：下標(biāo)和相等，項(xiàng)的積也相等
推廣：
（4）若是等比數(shù)列，且，則（且）是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列。
（5）若是等比數(shù)列，，則構(gòu)成公比為的等比數(shù)列。
2、等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)
（1）在公比或且為奇數(shù)時(shí)，，，，……仍成等比數(shù)列，其公比為；
（2）對(duì)，有；
（3）若等比數(shù)列共有項(xiàng)，則，其中，分別是數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和；
（4）等比數(shù)列的前項(xiàng)和，令，則（為常數(shù)，且）
一、由前幾項(xiàng)歸納數(shù)列通項(xiàng)的常用方法及具體策略
1、常用方法：觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見(jiàn)的數(shù)列)等方法.
2、具體策略：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項(xiàng)的變化特征；③拆項(xiàng)后的特征；④各項(xiàng)的符號(hào)特征和絕對(duì)值特征；⑤化異為同，對(duì)于分式還可以考慮對(duì)分子、分母各個(gè)擊破，或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系；⑥對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況，可用或，處理.
【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，，，，…則該數(shù)列的第211項(xiàng)為（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意，該數(shù)列可表示為，
該數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以，故選：A.
【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若數(shù)列的前四項(xiàng)依次是2，0，2，0，則的通項(xiàng)公式不可能是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意知，.
對(duì)于A，由得符合條件，故A正確；
對(duì)于B，由得符合條件，故B正確；
對(duì)于C，由得
符合條件，故C正確；
對(duì)于D，由得，，
不符合條件，故D錯(cuò)誤.故選：D.
【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）根據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng)，寫(xiě)出它的一個(gè)通項(xiàng)公式：
（1）9，99，999，9999，…；（2）
（3）；（4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】（1）數(shù)列為：9，99，999，9999，…，
分析可得，，，，…，
故.
（2）數(shù)列為：，
分析可得，，，，…，
故.
（3）數(shù)列為：，
分析可得，，，，…，
故.
（4）數(shù)列為：，
分析可得，，
，，…，
故.
二、數(shù)列周期性解題策略
1、周期數(shù)列的常見(jiàn)形式
（1）利用三角函數(shù)的周期性，即所給遞推關(guān)系中含有三角函數(shù)；
（2）相鄰多項(xiàng)之間的遞推關(guān)系，如后一項(xiàng)是前兩項(xiàng)的差；
（3）相鄰兩項(xiàng)的遞推關(guān)系，等式中一側(cè)含有分式，又較難變形構(gòu)造出特殊數(shù)列．
2、解決此類題目的一般方法：根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項(xiàng)，通過(guò)觀察歸納出數(shù)列的周期，進(jìn)而求有關(guān)項(xiàng)的值或者前項(xiàng)的和．
【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）已知數(shù)列滿足，且，則（）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】由題意，，故A正確，
，故C正確；
，，，∴數(shù)列是周期數(shù)列，周期為3．
，故B錯(cuò)誤；
，故D正確．故選：ACD．
【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，且，則 .
【答案】4047
【解析】由，，得當(dāng)時(shí)，，
兩式相減并整理得，由，得，解得，
顯然，于是，則有，即當(dāng)時(shí)，，
因此數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，而，
所以.
故答案為：4047
【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前2009項(xiàng)之和為 .
【答案】
【解析】由，得，
則，
，
∴數(shù)列是以4為周期的數(shù)列，.
由可得，，
.
故答案為：.
三、求數(shù)列最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的方法
（1）將數(shù)列視為函數(shù)當(dāng)x∈N*時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，根據(jù)的類型作出相應(yīng)的函數(shù)圖象，或利用求函數(shù)最值的方法，求出的最值，進(jìn)而求出數(shù)列的最大(小)項(xiàng)．
（2）通過(guò)通項(xiàng)公式研究數(shù)列的單調(diào)性，
利用確定最大項(xiàng)，利用確定最小項(xiàng)．
（3）比較法：
①若有（或時(shí)，），
則，即數(shù)列是遞增數(shù)列，所以數(shù)列的最小項(xiàng)為；
②若有（或時(shí)，），
則，即數(shù)列是遞減數(shù)列，所以數(shù)列的最大項(xiàng)為．
【典例1】（2023秋·河北張家口·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列的前n項(xiàng)的積為，且，則數(shù)列（）．
A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)
C．無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)
【答案】A
【解析】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以，而，
故為最小項(xiàng)，為最大項(xiàng)．故選：A
【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若數(shù)列的前項(xiàng)積，則的最大值與最小值的和為（）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】∵數(shù)列的前項(xiàng)積，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
，時(shí)也適合上式，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，且，
當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，且，
故的最大值為，最小值為，
∴的最大值與最小值之和為2.故選：C.
【典例3】（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）已知數(shù)列的通項(xiàng)為，，則（）
A．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)為 B．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)為
C．?dāng)?shù)列的最小值為－0.8 D．?dāng)?shù)列的最大值為2.4
【答案】BCD
【解析】，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，
又，，，
所以數(shù)列的最大項(xiàng)為，無(wú)最小項(xiàng)，故A錯(cuò)誤，B正確；
，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，；
當(dāng)時(shí)，各項(xiàng)為正且單調(diào)遞減，
所以數(shù)列的最小值為，
數(shù)列的最大值為，故CD正確，故選：BCD
四、等差數(shù)列的基本運(yùn)算的解題策略
1、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了方程思想．
2、數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換的作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知量和未知量是常用方法．
【典例1】（2023秋·江西吉安·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，，則（）
A．36 B．45 C．54 D．63
【答案】B
【解析】設(shè)公差為，
由，得，解得，
所以，所以.故選：B.
【典例2】（2023秋·湖南益陽(yáng)·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）（多選）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則（）
A． B． C． D．最大
【答案】AB
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)?，所以?br>化簡(jiǎn)得，即，又，所以，
所以，
則，故正確；
，故正確；
，則，故錯(cuò)誤；故選：
【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，，則實(shí)數(shù)m的值是．
【答案】
【解析】依題意，
設(shè)等差數(shù)列的公差為，
則，，
兩式相減得，則，
，
所以，解得.故答案為：
五、等差數(shù)列的判定與證明的方法：
1、定義法：或是等差數(shù)列；
2、定義變形法：驗(yàn)證是否滿足；
3、等差中項(xiàng)法：為等差數(shù)列；
4、通項(xiàng)公式法：通項(xiàng)公式形如為常數(shù)為等差數(shù)列；
5、前n項(xiàng)和公式法：為常數(shù)為等差數(shù)列．
注意：（1）若判斷一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，只需找出三項(xiàng)，使得即可；
（2）如果要證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，則必須用定義法或等差中項(xiàng)法．
【典例1】（2023·福建·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的首項(xiàng)不為零，滿足，，則 .
【答案】2023
【解析】因?yàn)椋?br>兩式相加得.
故數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，公差為，
故，故.
故答案為：.
【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，是1與的等差中項(xiàng)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列.
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】證明：因?yàn)槭?與的等差中項(xiàng)，
所以，即，
所以，
所以，
即，是常數(shù)，
故數(shù)列是等差數(shù)列.
【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和．已知．證明：是等差數(shù)列；
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】證明：因?yàn)?，即①?br>當(dāng)時(shí)，②，
①②得，，
即，
即，
所以，且，
所以是以為公差的等差數(shù)列．
【典例4】（2023秋·江蘇南京·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知公比大于1的等比數(shù)列滿足：，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，證明：是等差數(shù)列．
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析
【解析】（1）方法1：設(shè)公比為，
因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，
又，解得或．
又，所以，所以，．
因此；
方法2：設(shè)公比為，
由等比數(shù)列性質(zhì)得出，解得或，
又，所以，
因此．
（2）由（1）得，所以，
兩式作差可得，
即，整理得，．
方程同除以得，，即（）．
所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．
六、等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用
1、在等差數(shù)列{an}中，當(dāng)m≠n時(shí)，d＝eq \f(am－an,m－n)為公差公式，利用這個(gè)公式很容易求出公差，
還可變形為am＝an＋(m－n)d.
2、等差數(shù)列{an}中，每隔相同的項(xiàng)抽出來(lái)的項(xiàng)按照原來(lái)的順序排列，構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列．
3、等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q，則an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，
特別地，若m＋n＝2p，則an＋am＝2ap.
【典例1】（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（）
A．15 B．30 C．45 D．60
【答案】C
【解析】由題意得，所以，
所以.故選：C.
【典例2】（2022秋·四川遂寧·高三校考階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列中，，，則（）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解析】由，，兩式相減可得，
則.故選：B
七、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和常用的性質(zhì)應(yīng)用
1、等差數(shù)列的依次k項(xiàng)之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…組成公差為k2d的等差數(shù)列．
2、數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù))?數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列．
3、若S奇表示奇數(shù)項(xiàng)的和，S偶表示偶數(shù)項(xiàng)的和，公差為d，
①當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，S偶－S奇＝nd，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1)；
②當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n－1時(shí)，S奇－S偶＝an，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n,n－1).
【典例1】（2023秋·天津河?xùn)|·高三?？茧A段練習(xí)）在等差數(shù)列中，已知，，則（）
A．90 B．40 C．50 D．60
【答案】D
【解析】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以成等差數(shù)列，
，，故，
.故選：D
【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則 .
【答案】
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，則，
故對(duì)任意的，，
因此，數(shù)列為等差數(shù)列，且其公差為，
所以，，可得，
所以，，故.
故答案為：.
【典例3】（2022秋·陜西榆林·高三?？茧A段練習(xí)）若等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，，且，則 .
【答案】
【解析】因?yàn)?，且?br>由等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)得，故答案為：.
【典例4】（2022·浙江·高三專題練習(xí)）在項(xiàng)數(shù)為2n＋1的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為165，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為150，則n等于（）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解析】分別設(shè)該數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和分別為
∴，
∴，∴n＝10，故選:B.
八、等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值求法
1、二次函數(shù)法：將Sn＝na1＋eq \f(n?n－1?,2)d＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n配方．轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問(wèn)題，但要注意n∈N*，結(jié)合二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性來(lái)確定n的值，更加直觀．
2、鄰項(xiàng)變號(hào)法：當(dāng)a1>0，d0，d>0，則S1是{Sn}的最小值；若a1

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