2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對所學(xué)知識的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時(shí)沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問題勢必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路 。
4、重視錯(cuò)題。錯(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
專題09 平面向量及其應(yīng)用
一、知識速覽
二、考點(diǎn)速覽
知識點(diǎn)1 向量的有關(guān)概念
1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
2、零向量：長度為0的向量，記作.
3、單位向量：長度等于1個(gè)單位長度的向量．
4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：與任一向量平行．
5、相等向量：長度相等且方向相同的向量．
6、相反向量：長度相等且方向相反的向量．
知識點(diǎn)2 向量的線性運(yùn)算
知識點(diǎn)3 向量共線定理與基本定理
1、向量共線定理：如果，則，反之，如果且，則一定存在唯一的實(shí)數(shù)，使.
2、三點(diǎn)共線定理：平面內(nèi)三點(diǎn)、、三點(diǎn)共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)，使，其中，為平面內(nèi)一點(diǎn)。
3、平面向量基本定理
（1）定義：如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)，使
（2）基底：若不共線，我們把叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底．
（3）對平面向量基本定理的理解
= 1 \* GB3 ①基底不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量都可以作為基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．
= 2 \* GB3 ②基底給定時(shí)，分解形式唯一．是被唯一確定的數(shù)值．
= 3 \* GB3 ③是同一平面內(nèi)所有向量的一組基底，
則當(dāng)與共線時(shí)，；當(dāng)與共線時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
= 4 \* GB3 ④由于零向量與任何向量都是共線的，因此零向量不能作為基底中的向量．
知識點(diǎn)4 平面向量的數(shù)量積
1、向量的夾角
（1）定義：已知兩個(gè)非零向量和，作，，則∠AOB就是向量與的夾角．
（2）范圍：設(shè)θ是向量與的夾角，則0°≤θ≤180°.
（3）共線與垂直：若θ＝0°，則與同向；若θ＝180°，則與反向；若θ＝90°，則與垂直．
2、平面向量的數(shù)量積
（1）定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為θ，則數(shù)量叫做與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，
記作，即，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即.
（2）幾何意義：數(shù)量積等于的長度與在的方向上的投影的乘積．
【注意】（1）數(shù)量積也等于的長度|b|與在方向上的投影的乘積，這兩個(gè)投影是不同的．
（2）在方向上的投影也可以寫成，投影是一個(gè)數(shù)量，可正可負(fù)可為0，取決于θ角的范圍．
3、向量數(shù)量積的性質(zhì)
設(shè)，是兩個(gè)非零向量，是單位向量，α是與的夾角，于是我們就有下列數(shù)量積的性質(zhì)：
（1）.
（2）.
（3），同向?；，反向?.
特別地或.
（4）若θ為，的夾角，則.
4、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律
（1） (交換律)．
（2） (結(jié)合律)．
（3） (分配律)．
【注意】對于實(shí)數(shù)a，b，c有，但對于向量，，而言，不一定成立，即不滿足向量結(jié)合律．這是因?yàn)楸硎疽粋€(gè)與c共線的向量，而表示一個(gè)與a共線的向量，而與不一定共線，所以不一定成立．
知識點(diǎn)5 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
1、向量的線性運(yùn)算坐標(biāo)表示
（1）已知，則，．
結(jié)論：兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差．
（2）若，則；
結(jié)論：實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)。
2、向量平行坐標(biāo)表示：已知，則向量，共線的充要條件是
3、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
已知非零向量，，與的夾角為θ.
一、解決向量概念問題的關(guān)鍵點(diǎn)
1、相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．
2、共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān)．
3、相等向量不僅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量．
4、向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的平移混為一談．
5、非零向量與的關(guān)系：是方向上的單位向量，因此單位向量與方向相同．
6、向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能．但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，可以比較大小．
7、在解決向量的概念問題時(shí)，要注意兩點(diǎn)：①不僅要考慮向量的大小，還要考慮向量的方向；②考慮零向量是否也滿足條件．
【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為單位向量，有下列命題：①若為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則；②若與平行，則；③若與平行且，則．其中假命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】向量是既有大小又有方向的量，與的模相等，但方向不一定相同，故①是假命題；
若與平行，則與的方向有兩種情況：
一是同向，二是反向，反向時(shí)，故②③也是假命題．
綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3．故選：D．
【典例2】（2023秋·福建廈門·高三?？奸_學(xué)考試）下列命題不正確的是（ ）
A．零向量是唯一沒有方向的向量
B．零向量的長度等于0
C．若，都為非零向量，則使成立的條件是與反向共線
D．若，，則
【答案】A
【解析】A選項(xiàng)，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，由零向量的定義知，零向量的長度為0，故B正確；
C選項(xiàng)，因?yàn)榕c都是單位向量，所以只有當(dāng)與是相反向量，
即與是反向共線時(shí)才成立，故C正確；
D選項(xiàng)，由向量相等的定義知D正確.故選：A
【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）給出下列命題，不正確的有（ ）
A．若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同
B．若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，且＝，則四邊形ABCD為平行四邊形
C．的充要條件是且
D．已知λ，μ為實(shí)數(shù)，若，則與共線
【答案】ACD
【解析】A錯(cuò)誤，兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個(gè)向量相等，
但兩個(gè)向量相等，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)；
B正確，因?yàn)椋?，所以＝且?br>又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，所以四邊形ABCD為平行四邊形；
C錯(cuò)誤，當(dāng)且方向相反時(shí)，即使，也不能得到，
所以且不是的充要條件，而是必要不充分條件；
D錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，與可以為任意向量，滿足，
但與不一定共線．故選:ACD.
二、平面向量共線定理的應(yīng)用
1、證明向量共線：若存在實(shí)數(shù)λ，使，則與非零向量共線；
2、證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)λ，使，與有公共點(diǎn)A，則A，B，C三點(diǎn)共線；
3、求參數(shù)的值：利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值
【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，不共線，且，，，則一定共線的是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
【答案】A
【解析】向量，不共線，且，，，
，則有，
而有公共點(diǎn)B，有A，B，D共線，A是；
，不存在實(shí)數(shù)，使得，因此不共線，A，B，C不共線，B不是；
，不存在實(shí)數(shù)，使得，因此不共線，B，C，D不共線，C不是；
，不存在實(shí)數(shù)，使得，
因此不共線，A，C，D不共線，D不是.故選：A
【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量a與b不共線，，，則與共線的條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，共線，得，
即，所以.故選：D.
【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)與是兩個(gè)不共線向量，且向量與共線，則 .
【答案】
【解析】依題意知向量與共線，設(shè)，
則有，所以，解得，
故答案為：
三、平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)及解題思路
1、應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．
2、用平面向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決．
【典例1】（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，為的中點(diǎn)，為邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，記，用表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題知①，
②，
①＋3×②得，
故．故選：D.
【典例2】（2023秋·河南焦作·高三博愛縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，平行四邊形的對角線AC和BD交于點(diǎn)M，E在BC上，且，直線DE與AB的延長線交于點(diǎn)F，記，．

（1）試用，表示、；
（2）試用，表示．
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）平行四邊形的對角線AC和BD交于點(diǎn)M，
，
.
（2）點(diǎn)E在BC上，且，，則，
于是，即，，
所以.
【典例3】（2023·湖南婁底·高三聯(lián)考三模）2000多年前，古希臘雅典學(xué)派的第三大算學(xué)家歐道克薩斯首先提出黃金分割.所謂黃金分割點(diǎn)，指的是把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比，黃金分割比為.如圖，在矩形中，與相交于點(diǎn)，，且點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由題意得，顯然，，
同理有，，
所以，故，
因?yàn)椋?br>所以.故選：D
四、平面向量數(shù)量積的3種運(yùn)算方法
1、定義法求平面向量的數(shù)量積
（1）方法依據(jù)：當(dāng)已知向量的模和夾角θ時(shí)，可利用定義法求解，即
（2）適用范圍：已知或可求兩個(gè)向量的模和夾角。
2、基底法求平面向量的數(shù)量積
（1）方法依據(jù)：選取合適的一組基底，利用平面向量基本定理將待求數(shù)量積的兩個(gè)向量分別用這組基底表示出來，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量級的運(yùn)算律和定義求解。
（2）適用范圍：直接利用定義法求數(shù)量積不可行時(shí)，可將已知模和夾角的兩個(gè)不共線的向量作為基底，采用“基底法”求解。
3、坐標(biāo)法求平面向量的數(shù)量積
（1）方法依據(jù)：當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，
即若，，則；
（2）適用范圍： = 1 \* GB3 ①已知或可求兩個(gè)向量的坐標(biāo)； = 2 \* GB3 ②已知條件中有（或隱含）正交基底，優(yōu)先考慮建立平面直角坐標(biāo)系，使用坐標(biāo)法求數(shù)量積。
【典例1】（2023·四川宜賓·?？既＃┤羲倪呅问沁呴L為2的菱形，，分別為的中點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)樗倪呅问沁呴L為2的菱形，，
所以.
所以
，故選：A
【典例2】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在邊長為2的正三角形ABC中，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題知，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，
分別以，所在的直線為軸，軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
所以，，故．故選：B
【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）正方形的邊長是2，是的中點(diǎn)，則（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】B
【解析】方法一：以為基底向量，可知，
則，
所以；
方法二：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
則，可得，
所以；
方法三：由題意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.故選：B.
五、求向量?；蚱浞秶某Ｓ梅椒?br>1、定義法：利用及，把向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算；
2、坐標(biāo)法：當(dāng)向量有坐標(biāo)或適合建坐標(biāo)系時(shí)，可用模的計(jì)算公式；
3、幾何法，利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解．
【典例1】（2023·全國·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知向量，線段的中點(diǎn)為，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)，
則，
由，
得，又已知，且，
則有，
故.故選：A.
【典例2】（2023·四川遂寧·高三?？寄M預(yù)測）已知平面向量，，的夾角為，，則實(shí)數(shù)（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)?，所以?br>即，解得.故選：A.
【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為單位向量，且，向量滿足，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)?，所以?br>設(shè)，，
由，得，即，
即，又，
所以，解得，
所以的取值范圍為.故選：B.
六、從動(dòng)態(tài)角度理解三角形四心的向量表示
1、常見重心向量式：設(shè)O是?ABC的重心，P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)
= 1 \* GB3 ①OA+OB+OC=0
= 2 \* GB3 ②PO=13PA+PB+PC
= 3 \* GB3 ③若AP=λAB+AC或OP=OA+λAB+AC，λ∈[0,+∞)，則P一定經(jīng)過三角形的重心
= 4 \* GB3 ④若AP=λABABsinB+ACACsinC或OP=OA+λABABsinB+ACACsinC，λ∈[0,+∞)則P一定經(jīng)過三角形的重心
2、常見垂心向量式：O是?ABC的垂心，則有以下結(jié)論：
= 1 \* GB3 ①OA?OB=OB?OC=OC?OA
= 2 \* GB3 ②OA2+BC2=OB2+CA2=OC2+AB2
= 3 \* GB3 ③動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+λABABcsB+ACACcsC，λ∈0,+∞，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過?ABC的垂心
3、常用外心向量式：O是?ABC的外心，
= 1 \* GB3 ①OA=OB=OC?OA2=OB2=OC2
= 2 \* GB3 ②OA+OB?AB=OB+OC?BC=OA+OC?AC=0
= 3 \* GB3 ③動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OB+OC2+λABABcsB+ACACcsC，λ∈0,+∞，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過?ABC的外心.
= 4 \* GB3 ④若OA+OB?AB=OB+OC?BC=OC+OA?CA=0，則O是?ABC的外心.
4、常見內(nèi)心向量式：P是?ABC的內(nèi)心，
= 1 \* GB3 ①ABPC+BCPA+CAPB=0（或aPA+bPB+cPC=0）
其中a，b，c分別是?ABC的三邊BC、AC、AB的長，
= 2 \* GB3 ②AP=λABAB+ACAC，λ[0,+∞)，則P一定經(jīng)過三角形的內(nèi)心。
【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，若，則點(diǎn)是的（ ）
A．重心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．外心
【答案】B
【解析】過點(diǎn)分別作，，的垂線，，，其垂足依次為，如圖所示，
由于，
根據(jù)奔馳定理就有：，
即，
因此，故點(diǎn)是的內(nèi)心，B選項(xiàng)正確.故選：B
【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為的外心，若，則點(diǎn)是的（ ）
A．重心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．外心
【答案】C
【解析】取BC的中點(diǎn)D，如圖所示，
連接OD，AM，BM，CM．
因?yàn)?，所以?br>又，則，所以，
又由于為的外心，所以，
因此有．同理可得，，
所以點(diǎn)是的垂心．故選：C．
【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，給出如下命題:
①是所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定過的重心．
②是所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定過的內(nèi)心．
③是所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，且，則．
（4）若，且，則是等邊三角形．
其中正確的命題有 個(gè)．
【答案】3
【解析】對于①，令點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，由于，，
根據(jù)極化恒等式就有，，
于是，，
因此動(dòng)點(diǎn)的軌跡是射線AD，過的重心，故①正確．
對于②，取一點(diǎn)使得，并連接AD，如圖所示，
由于，因此，于是，
從而的內(nèi)心在射線AD上．
由于，，
于是就有，，
即，，
因此動(dòng)點(diǎn)的軌跡是射線AD，過的內(nèi)心，故②正確．
對于③，由，可得設(shè)的中點(diǎn)為，,
所以，故③錯(cuò)誤．
對于④，根據(jù)，結(jié)合②，可得的平分線與BC垂直，
于是就有．由于，
又，得到，因此是等邊三角形，故④正確．
綜上所述，正確的命題有3個(gè)．
故答案為：
七、平面向量最值范圍問題的常用方法
1、定義法
第1步：利用向量的概念及其基本運(yùn)算將所求的問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系；
第2步：運(yùn)用基本不等式求其最值問題；
第3步：得出結(jié)論。
2、坐標(biāo)法
第1步：根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，并推導(dǎo)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)；
第2步：將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化；
第3步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解。
3、基底法
第1步：利用基底轉(zhuǎn)化向量；
第2步：根據(jù)向量運(yùn)算化簡目標(biāo)；
第3步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)、基本不等式的思想、三角函數(shù)等得出結(jié)論；
4、幾何意義法
第1步：結(jié)合條件進(jìn)行向量關(guān)系推導(dǎo)；
第2步：利用向量之間的關(guān)系確定向量所表達(dá)的點(diǎn)的軌跡；
第3步：結(jié)合圖形，確定臨界位置的動(dòng)態(tài)分析求出范圍。
【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在斜邊BC的中線AD上，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，
所以，
因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以，，
設(shè)，所以，所以，
可得，，
所以，
因?yàn)?，所?故選：A.
【典例2】（2023秋·遼寧沈陽·高三沈陽市第一二〇中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正方形的邊長為2，對角線相交于點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】記，設(shè)，
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值.
故答案為：
【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在直角中，，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最小值為 .
【答案】/
【解析】平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)滿足，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，
因?yàn)?，由勾股定理可得：?br>所以，且，
所以，所以，
，
，
，
，
又向量是長度為的一個(gè)向量，由此可得，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，
當(dāng)與共線反向時(shí)，取最小值，且這個(gè)最小值為一，
故的最小值為.
故答案為：.
易錯(cuò)點(diǎn)1 平面向量的概念模糊，尤其是零向量
點(diǎn)撥：平面向量部分概念多而抽象，如零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量、相反向量、向量的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積、向量的模、夾角等等。
【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列命題中，正確的是（ ）
A．若，，則
B．若則或
C．對于任意向量，有
D．對于任意向量，有
【答案】D
【解析】對于A，當(dāng)時(shí)，滿足，，但不一定平行，故A錯(cuò)誤；
對于B，當(dāng)，時(shí)，滿足，但，不成立，故B錯(cuò)誤；
對于C，若非零向量方向相反，則，故C錯(cuò)誤；
對于D，當(dāng)中有零向量時(shí)，；
當(dāng)為非零向量時(shí)，若共線且方向相同時(shí)，則，
當(dāng)為非零向量時(shí)，若共線且方向相反時(shí)，則，
當(dāng)為非零向量時(shí)，且不共線時(shí)，如圖所示，，
綜上，，故D正確．故選：D．
【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知兩個(gè)非零向量與共線，下列說法不正確的是（ ）
A．或 B．與平行 C．與方向相同或相反 D．存在實(shí)數(shù)，使得
【答案】A
【解析】非零向量與共線，
對于A，，，故A錯(cuò)誤；
對于B，∵向量與共線，∴向量與平行，故B正確；
對于C，∵向量與共線，∴與方向相同或相反，故C正確；
對于D，∵與共線，∴存在實(shí)數(shù)，使得，故D正確．故選:A．
【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）下列命題正確的是（ ）
A．若都是單位向量，則.
B．“”是“”的必要不充分條件
C．若都為非零向量，則使＋＝成立的條件是與反向共線
D．若，則
【答案】BCD
【解析】對A，都是單位向量，則模長相等，但方向不一定相同，
所以得不到，A錯(cuò)誤；
對B，“”推不出“”，但 “”能推出 “”，
所以“”是“”的必要不充分條件，B正確；
對C，因?yàn)榕c反向共線，
且，都為單位向量，則＋＝，C正確；
對D，若，則，D正確，故選:BCD.
易錯(cuò)點(diǎn)2 忽視兩個(gè)向量成為基底的條件
點(diǎn)撥：如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)，，使。在平面向量知識體系中，基本定理是基石，共線向量定理是重要工具?？忌趯W(xué)習(xí)這部分知識時(shí)，務(wù)必要注意這兩個(gè)定理的作用和成立條件。
【典例1】（2023·四川宜賓·宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校?？级＃┰O(shè)，下列向量中，可與向量組成基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】對于AB項(xiàng)，若時(shí)，，不滿足構(gòu)成基向量的條件，所以AB都錯(cuò)誤；
對于D項(xiàng)，若時(shí)，不滿足構(gòu)成基向量的條件，所以D錯(cuò)誤；
對于C項(xiàng)，因?yàn)椋忠驗(yàn)楹愠闪ⅲ?br>說明與不共線，復(fù)合構(gòu)成基向量的條件，所以C正確.故選：C
【典例2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則向量可作為基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】對于A，因?yàn)椋?br>所以共線，所以不能作為基底，所以A不合題意；
對于B，因?yàn)椋?br>所以共線，所以不能作為基底，所以B不合題意；
對于C，若共線，則存在唯一實(shí)數(shù)，使，即，
所以且，所以不存在，所以不共線，
所以可以作為基底，所以C符合題意；
對于D，因?yàn)椋?br>所以共線，所以不能作為基底，所以D不合題意，故選：C
【典例3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）在下列向量組中，不能把向量表示出來的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】ABD
【解析】對于A：是零向量與共線，而與不共線，
所以和不能表示，故選項(xiàng)A符合題意；
對于B：，故和共線，則和只能表示與它們共線的向量，
而與和不共線，所以和不能表示，故選項(xiàng)B符合題意；
對于C：因?yàn)椋?，不共線，
則和能表示，故選項(xiàng)C不符合題意；
對于D：，所以和共線，則和只能表示與它們共線的向量，
而與和不共線，所以和不能表示，故選項(xiàng)D符合題意；故選：ABD.
易錯(cuò)點(diǎn)3 錯(cuò)誤使用向量平行的等價(jià)條件
點(diǎn)撥：對于，，，若是使用，容易忽略0這個(gè)解.考生解題過程中要注意等價(jià)條件的完備性。
【典例1】（2022秋·浙江紹興·高三統(tǒng)考期末）已知平面向量，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題，有.
又，則，
又，則.故選：C
【典例2】（2023春·甘肅張掖·高三校考階段練習(xí)）設(shè)向量，，若，的方向相反，則 ．
【答案】3
【解析】因?yàn)椋姆较蛳喾?，所以，共線，
所以，即，解得或．
當(dāng)時(shí)，，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去．故答案為：3.
易錯(cuò)點(diǎn)4 混淆向量數(shù)量積運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果
點(diǎn)撥：向量的數(shù)乘運(yùn)算結(jié)果依舊為向量，而數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果為實(shí)數(shù)，兩者要區(qū)分開。尤其使用數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)不可約公因式。
【典例1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知、、均為非零向量，下列命題錯(cuò)誤的是（ ）
A．， B．可能成立
C．若，則 D．若，則或
【答案】ACD
【解析】仍是向量，不是向量，A錯(cuò)；
不妨取，，，則，
，此時(shí)，B對；
若，，，則，但，C錯(cuò)；
若，，則，但，，D錯(cuò).故選：ACD.
【典例2】（2023秋·黑龍江牡丹江·高三校考階段練習(xí)）（多選）下列關(guān)于平面向量，，的運(yùn)算，一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】對于A：根據(jù)平面向量數(shù)量積的分配律可知一定成立，故A正確；
對于B：由數(shù)量積的結(jié)果為數(shù)量，則表示與共線的向量，
表示與共線的向量，則與不一定相同，即B錯(cuò)誤；
對于C：設(shè)與的夾角為，則，因?yàn)椋?br>所以，故C正確；
對于D：，，
由C知，所以，
即，即，故D正確；故選：ACD
易錯(cuò)點(diǎn)5 確定向量夾角時(shí)忽略向量的方向
點(diǎn)撥：錯(cuò)誤理解向量的夾角，在使用求解時(shí)，特別注意，要共起點(diǎn)才能找夾角，否則使用的可能是其補(bǔ)角造成錯(cuò)誤。
【典例1】（2022秋·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，，，，則為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，，
，
，則，
作圖如下：在中，，
易知向量與的夾角，
.故選：A.
【典例2】（2023·山西大同·高三統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知在邊長為3的等邊中，，則 ．
【答案】6
【解析】如圖，
．
故答案為：6
【典例3】（2024秋·湖北武漢·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）正六邊形的邊長為4，點(diǎn)滿足，則 .
【答案】24
【解析】因?yàn)?，故，即?br>故
.
故答案為：
易錯(cuò)點(diǎn)6 忽視兩向量夾角的取值范圍
點(diǎn)撥：向量的夾角范圍是從，解題時(shí)易忽略夾角為0和夾角為的情況。
【典例1】（2023·河南·河南省內(nèi)鄉(xiāng)縣高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知，與的夾角為45°，求使向量與的夾角是銳角，則的取值范圍 .
【答案】
【解析】
，
由向量與的夾角是銳角，，解得或；
且向量與不共線，則，解得，
所以的取值范圍為.
故答案為：.
【典例2】（2022秋·遼寧葫蘆島·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，，若與的夾角為鈍角，則整數(shù)的一個(gè)取值可以是 .
【答案】（或，，，，，，，填寫一個(gè)答案即可）
【解析】因?yàn)榕c的夾角為鈍角，所以，
所以，
若與平行，即，所以，
化簡得，得，其中當(dāng)時(shí)，與反向平行，
故整數(shù)的取值可以是，，，，，，，.
故答案為：（或，，，，，，，填寫一個(gè)答案即可）
【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，且關(guān)于的方程有實(shí)根，則與的夾角的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)殛P(guān)于的方程有實(shí)根，
所以，
所以，，所以，
即與的夾角的取值范圍是.故選：B.向量運(yùn)算
定義
法則(或幾何意義)
運(yùn)算律
加法
求兩個(gè)向量和的運(yùn)算

交換律：；
結(jié)合律：
減法
求與的相反向量的和的運(yùn)算
數(shù)乘
求實(shí)數(shù)λ與向量的積的運(yùn)算
，
當(dāng)λ>0時(shí)，與的方向相同；
當(dāng)λ

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