2.（2022?邗江區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，點(diǎn)P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BP為直徑的圓交CP于點(diǎn)Q，若線段AQ長(zhǎng)度的最小值是4，則△ABC的面積為 ．
3．（2022?觀山湖區(qū)一模）如圖，點(diǎn)P是正六邊形ABCDEF內(nèi)一點(diǎn)，AB＝4，當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，連接PD，則線段PD的最小值是（ ）
A．B．C．6D．
4．（2023?安徽一模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝3，點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD交以CD為直徑的圓于點(diǎn)E．則線段BE長(zhǎng)度的最小值為（ ）
A．1B．C．D．
5．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AE＝2，△APE沿PE翻折形成△FPE，連接PF、EF，則FC的最小值是 ，點(diǎn)F到線段BC的最短距離是 ．
6．如圖，P是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，AB＝4，AD＝2，AP⊥BP，則當(dāng)線段DP最短時(shí)，CP＝ ．
專(zhuān)題02 線圓最值（專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練）
1.（2023秋?思明區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，BC＝2，點(diǎn)A為動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中始終有∠BAC＝45°，則△ABC面積的最大值為 ．
【解答】解：如圖，△ABC的外接圓⊙O，連接OB、OC，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，
過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC，垂足為D，
∵OB＝OC，
∴BD＝CD＝BC＝1，
∵∠BOC＝90°，OD⊥BC，
∴OD＝BC＝1，
∴OB＝＝，
∵BC＝2保持不變，
∴BC邊上的高越大，則△ABC的面積越大，當(dāng)高過(guò)圓心時(shí)，最大，
此時(shí)BC邊上的高為：+1，
∴△ABC的最大面積是：×2×（+1）＝+1．
故答案為：+1．
2.（2022?邗江區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，點(diǎn)P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BP為直徑的圓交CP于點(diǎn)Q，若線段AQ長(zhǎng)度的最小值是4，則△ABC的面積為 ．
【解答】解：如圖，取BC的中點(diǎn)T，連接AT，QT，BQ．
∵PB是⊙O的直徑，
∴∠PQB＝∠CQB＝90°，
∴QT＝BC＝定值，AT是定值，
∵AQ≥AT﹣TQ，
∴當(dāng)A，Q，T共線時(shí)，AQ的值最小，設(shè)BT＝TQ＝x，
在Rt△ABT中，則有（4+x）2＝x2+82，
解得x＝6，
∴BC＝2x＝12，
∴S△ABC＝AB?BC＝×8×12＝48，
故答案為：48．
3．（2022?觀山湖區(qū)一模）如圖，點(diǎn)P是正六邊形ABCDEF內(nèi)一點(diǎn)，AB＝4，當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，連接PD，則線段PD的最小值是（ ）
A．B．C．6D．
【解答】解：∵AB＝4，∠APB＝90°，
∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓弧上，
如圖，取AB的中點(diǎn)O，連接OD，當(dāng)O、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，PD有最小值，
連接BD，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BD于點(diǎn)H，
∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，
∴OA＝OB＝OP＝4÷2＝2，
∵正六邊形的每個(gè)內(nèi)角為180°×（6﹣2）÷6＝120°，
∵CD＝CB，
∴∠CBD＝（180°﹣120°）÷2＝30°，BD＝2BH，
∴∠OBD＝120°﹣30°＝90°，
在Rt△CBH中，CH＝＝2，BH＝，
∴BD＝，
在Rt△OBD中，OD＝＝，
∴PD的最小值為OD﹣OP＝．
故選：B．
4．（2023?安徽一模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝3，點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD交以CD為直徑的圓于點(diǎn)E．則線段BE長(zhǎng)度的最小值為（ ）
A．1B．C．D．
【解答】解：如圖，作以AC為直徑的圓，圓心為O
∵E點(diǎn)在以CD為直徑的圓上
∴∠CED＝90°
∴∠AEC＝180°﹣∠CED＝90°
∴點(diǎn)E也在以AC為直徑的圓上，
可得當(dāng)O、E、B三點(diǎn)共線時(shí)，BE是最短，
∵AC＝8，
∴OC＝4
∵BC＝3，∠ACB＝90°
∴OB＝＝＝5
∵OE＝OC＝4
∴BE＝OB﹣OE＝5﹣4＝1
故選：A．
5．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AE＝2，△APE沿PE翻折形成△FPE，連接PF、EF，則FC的最小值是 ，點(diǎn)F到線段BC的最短距離是 ．
【解答】解：連接CE，作EG⊥BC于G，
∵AE＝EF＝2，
∴點(diǎn)F在以E為圓心，AE為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
在Rt△CDE中，由勾股定理得，
CE＝＝＝2，
∴FC的最小值為CE﹣2＝2﹣2，
∵∠DAB＝∠ABC＝∠BGE＝90°，
∴四邊形ABGE是矩形，
∴EG＝AB＝4，
∴點(diǎn)F到線段BC的最短距離是2，
故答案為：2﹣2，2．
6．如圖，P是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，AB＝4，AD＝2，AP⊥BP，則當(dāng)線段DP最短時(shí)，CP＝ ．
【解答】解：以AB為直徑作半圓O，連接OD，與半圓O交于點(diǎn)P′，當(dāng)點(diǎn)P與P′重合時(shí)，DP最短，
則AO＝OP′＝OB＝AB＝2，
∵AD＝2，∠BAD＝90°，
∴OD＝2，∠ADO＝∠AOD＝∠ODC＝45°，
∴DP′＝OD﹣OP′＝2﹣2，
過(guò)P′作P′E⊥CD于點(diǎn)E，則
P′E＝DE＝DP′＝2﹣，
∴CE＝CD﹣DE＝+2，
∴CP′＝．
故答案為：2．

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