1．直角三角形中有兩條邊的長分別為4，8，則此直角三角形斜邊上的中線長等于（ ）
A．4B．4C．4或4D．4或2
2．如圖，點D是Rt△ABC的斜邊BC的中點，點E、F分別在邊AB、AC上，且BE＝BD＝CF，連接DE、DF，若DE＝7，DF＝10，則線段BE的長為 ．
3．如圖所示，已知四邊形ABCD，R、P分別是DC、BC上的點，點E、F分別是AP、RP的中點，當點P在邊BC上從點B向點C移動，且點R從點D向點C移動時，那么下列結論成立的是（ ）
A．線段EF的長逐漸增大
B．線段EF的長逐漸減少
C．線段EF的長不變
D．△ABP和△CRP的面積和不變
4．求證：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．
已知：如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，點O是AC的中點．
求證：OB＝AC．
證明：延長BO到D，使OD＝OB，連接AD、CD，
中間的證明過程排亂了：
①∵∠ABC＝90°，
②∵OB＝OD，OA＝OC，
③∴四邊形ABCD是平行四邊形，
④∴四邊形ABCD是矩形．
∴AC＝BD，∴OB＝BD＝AC．
則中間證明過程正確的順序是（ ）
A．①④②③B．①③②④C．②④①③D．②③①④
5．如圖，AB為⊙O的直徑，CA與⊙O相切于點A，BC交⊙O于點D，E是的中點，連接OE并延長交AC于點F，若BD＝CD，AB＝5，則AF的長為（ ）
A．B．C．D．4
6．如圖，將△ABC沿DE折疊，使點A與BC邊的中點F重合，下列結論中：①EF∥AB且2EF＝AB；②∠BAF＝∠CAF；③S四邊形ADEF＝AF?DE；④∠BDF+∠FEC＝2∠BAC，正確的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．矩形ABCD與CEFG，如圖放置，點B、C、E共線，點C、D、G共線，連接AF，取AF的中點H，連接GH，若BC＝EF＝4，CD＝CE＝2，則GH＝ ．
8．如圖，在△ABC中，延長CA到點D，使AD＝AC，點E是AB的中點，連接DE，并延長DE交BC于點F，已知BC＝4，則BF＝ ．
9．如圖，△ABC中，AB＝AC，點D在AC上，連接BD，△ABD的中線AE的延長線交BC于點F，∠FAC＝60°，若AD＝5，AB＝7，則EF的長為 ．
10．如圖，閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進行證明．
已知：如圖，E是BC的中點，點A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．
分析：證明兩條線段相等，常用的一般方法是應用全等三角形或等腰三角形的判定和性質，觀察本題中要證AB＝CD，必須添加適當?shù)妮o助線，構造全等三角形或等腰三角形．請根據(jù)上述分析寫出詳細的證明過程（只需寫一種思路）．
11．如圖所示，D是△ABC邊BC的中點，E是AD上一點，滿足AE＝BD＝DC，F(xiàn)A＝FE．求∠ADC的度數(shù)．
12．（1）如圖1，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，AD平分∠BAC．求證：AD＝AC；
（2）如圖2，在△ABC中，點E在BC邊上，中線BD與AE相交于點P，AP＝BC．求證：PE＝BE．
13．數(shù)學興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D是BC的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
小明在組內經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使DE＝AD，再證明“△ADC≌△EDB”．
（1）探究得出AD的取值范圍是 ；
（2）【問題解決】如圖2，△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，AD是△ABC的中線，CE⊥BC，CE＝4，且∠ADE＝90°，求AE的長．
14．如圖，BC為⊙O直徑，AB切⊙O于B點，AC交⊙O于D點，E為AB中點．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若∠A＝30°，BC＝4，求陰影部分的面積．
15．（1）方法回顧證明：三角形中位線定理．
已知：如圖1，DE是△ABC的中位線．求證： ．
證明：
（2）問題解決：如圖2，在正方形ABCD中，E為AD的中點，G、F分別為AB、CD邊上的點，若AG＝3，DF＝4，∠GEF＝90°，求GF的長．
16．如圖1，在四邊形ABCD中，AC和BD相交于點O，AO＝CO，∠BCA＝∠CAD．
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）如圖2，E，F(xiàn)，G分別是BO，CO，AD的中點，連接EF，GE，GF，若BD＝2AB，BC＝15，AC＝16，求△EFG的周長．
17．（1）方法呈現(xiàn)：如圖①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，點D為BC邊的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE＝AD，再連接BE，可證△ACD≌△EBD，從而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關系即可判斷中線AD的取值范圍是（直接寫出范圍即可）．這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；
（2）探究應用：
如圖②，在△ABC中，點D是BC的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，判斷BE+CF與EF的大小關系并證明；
（3）問題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AF與DC的延長線交于點F、點E是BC的中點，若AE是∠BAF的角平分線．試探究線段AB，AF，CF之間的數(shù)量關系，并加以證明．
18．我們定義：如圖1，在△ABC中，把AC點繞點C順時針旋轉90°得到CA'，把BC繞點C逆時針旋轉90°得到CB′，連接A′B′．我們稱△A′B′C是△ABC的“旋補交差三角形”，連接AB′、A′B，我們將AB′、A′B所在直線的相交而成的角稱之為△ABC“旋補交差角”，C點到A′B′中點E間的距離成為“旋轉中距”．如圖1，∠B′OB即為△ABC“旋補交差角”，CE即為△ABC“旋補中距”．
（1）若已知圖1中AB的長度等于4，當∠ACB＝90°，則△ABC“旋補交差角”∠B′OB＝ 90° ，“旋補中距”CE長度＝ 2 ；
（2）若圖1中∠ACB的度數(shù)發(fā)生改變，則△ABC“旋補交差角”度數(shù)是否發(fā)生改變？請證明你的結論，并直接判斷△ABC“旋補中距”是否也發(fā)生改變；
（3）已知圖2中△A′B′C是△ABC“旋補交差三角形”，AB的長度等于4，A′B′長度等于6，問OC是否存在最小值？如果存在，請求出具體的值，如果不存在，請說明理由．
19．在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC，對角線AC、BD相交于點E，過點C作CF垂直于BD，垂足為F，
且CF＝DF．
（1）求證：△ACD∽△BCF；
（2）如圖2，連接AF，點P、M、N分別為線段AB、AF、DF的中點，連接PM、MN、PN．
①求證：∠PMN＝135°；
②若AD＝2，求△PMN的面積．
專題02 中線四大模型在三角形中的應用（能力提升）
1．直角三角形中有兩條邊的長分別為4，8，則此直角三角形斜邊上的中線長等于（ ）
A．4B．4C．4或4D．4或2
【答案】D
【解答】解：①當4和8均為直角邊時，斜邊＝4，則斜邊上的中線＝2；
②當4為直角邊，8為斜邊時，則斜邊上的中線＝4．
故選：D．
2．如圖，點D是Rt△ABC的斜邊BC的中點，點E、F分別在邊AB、AC上，且BE＝BD＝CF，連接DE、DF，若DE＝7，DF＝10，則線段BE的長為 ．
【答案】13
【解答】解：如圖，延長FD至點P，使得DP＝DF，連接BP，EP，過點E作EQ⊥FD于點Q，
在△BDP和△CDF中，
，
∴△BDP≌△CDF（SAS），
∴BP＝CF，∠PBD＝∠C，
∵∠C+∠ABC＝90°，
∴∠PBD+∠ABC＝90°，
即∠ABP＝90°，
∵BE＝CF，
∴BE＝BP，
∴△BEP為等腰直角三角形，
∴EP＝BE，
∵∠ABC+∠C＝90°，BD＝BE，CD＝CF，
∴∠BDE+∠CDF＝135°，
∴∠EDQ＝45°，
∵ED＝，
∴EQ＝DQ＝7，
∴EP＝＝，
∴BE＝13．
故答案為：13．
3．如圖所示，已知四邊形ABCD，R、P分別是DC、BC上的點，點E、F分別是AP、RP的中點，當點P在邊BC上從點B向點C移動，且點R從點D向點C移動時，那么下列結論成立的是（ ）
A．線段EF的長逐漸增大
B．線段EF的長逐漸減少
C．線段EF的長不變
D．△ABP和△CRP的面積和不變
【答案】A
【解答】解：連接AR，
∵E，F(xiàn)分別是AP，RP的中點，
∴EF＝AR，
∵當點P在BC上從點C向點B移動，點R從點D向點C移動時，AR的長度逐漸增大，
∴線段EF的長逐漸增大．
S△ABP+S△CRP＝BC?（AB+CR）．
∵CR隨著點R的運動而減小，
∴△ABP和△CRP的面積和逐漸減?。?br>觀察選項，只有選項A符合題意．
故選：A．
4．求證：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．
已知：如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，點O是AC的中點．
求證：OB＝AC．
證明：延長BO到D，使OD＝OB，連接AD、CD，
中間的證明過程排亂了：
①∵∠ABC＝90°，
②∵OB＝OD，OA＝OC，
③∴四邊形ABCD是平行四邊形，
④∴四邊形ABCD是矩形．
∴AC＝BD，∴OB＝BD＝AC．
則中間證明過程正確的順序是（ ）
A．①④②③B．①③②④C．②④①③D．②③①④
【答案】D
【解答】解：延長BO到D，使OD＝OB，連接AD、CD，
∵OB＝OD，OA＝OC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四邊形ABCD是矩形．
∴AC＝BD，
∴OB＝BD＝AC．
則中間證明過程正確的順序是②③①④，
故選：D．
5．如圖，AB為⊙O的直徑，CA與⊙O相切于點A，BC交⊙O于點D，E是的中點，連接OE并延長交AC于點F，若BD＝CD，AB＝5，則AF的長為（ ）
A．B．C．D．4
【答案】A
【解答】解：連接AD交OF于點G，
∵E是的中點，
∴OE⊥AD，
∴∠AGO＝90°，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝∠AGO＝90°，
∴BC∥OF，
∵OA＝OB，
∴AF＝CF，
∴OF是△ABC的中位線，
∴OF＝BC，
∵BD＝CD，
∴BD＝BC，
∵CA與⊙O相切于點A，
∴∠CAB＝90°，
∴∠CAB＝∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△BDA∽△BAC，
∴＝，
∴BA2＝BD?BC，
∴25＝BC2，
∴BC＝10，
∴OF＝BC＝5，
∵OA＝AB＝2.5，
∴AF＝＝＝2.5，
故選：A．
6．如圖，將△ABC沿DE折疊，使點A與BC邊的中點F重合，下列結論中：①EF∥AB且2EF＝AB；②∠BAF＝∠CAF；③S四邊形ADEF＝AF?DE；④∠BDF+∠FEC＝2∠BAC，正確的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解答】解：設AF與DE相交于點G，
由折疊得：
∠DAE＝∠DFE，DE是AF的垂直平分線，AE＝EF，
∵點F是BC的中點，點E不是AC的中點，
∴EF不是△ABC的中位線，
∴EF不平行于AB，2EF≠AB，
故①不正確；
∵AB≠AC，點F是BC的中點，
∴∠BAF≠∠CAF，
故②不正確；
∵AF⊥DE，
∴S四邊形ADEF＝S△ADF+S△AEF
＝AF?DG+AF?EG
＝AF（DG+EG）
＝AF?DE，
故③正確；
∵∠BDF是△ADF的一個外角，
∴∠BDF＝∠DAF+∠AFD，
∵∠CEF是△AEF的一個外角，
∴∠CEF＝∠EAF+∠EFA，
∴∠BDF+∠FEC＝∠DAF+∠AFD+∠EAF+∠EFA
＝∠DAE+∠DFE
＝2∠DAE，
故④正確；
∴上列結論中，正確的個數(shù)是2，
故選：B．
7．矩形ABCD與CEFG，如圖放置，點B、C、E共線，點C、D、G共線，連接AF，取AF的中點H，連接GH，若BC＝EF＝4，CD＝CE＝2，則GH＝ ．
【答案】
【解答】解：如圖，延長GH交AD于點P，
∵四邊形ABCD和四邊形CEFG都是矩形，
∴∠ADC＝∠ADG＝∠CGF＝90°，AD＝BC＝4、GF＝CE＝2，
∴AD∥GF，
∴∠GFH＝∠PAH，
又∵H是AF的中點，
∴AH＝FH，
在△APH和△FGH中，
∵，
∴△APH≌△FGH（ASA），
∴AP＝GF＝2，PH＝HG＝PG，
∵PD＝AD﹣AP＝2，GD＝GC﹣CD＝4﹣2＝2
∴GP＝＝2
∴GH＝GP＝
故答案為：
8．如圖，在△ABC中，延長CA到點D，使AD＝AC，點E是AB的中點，連接DE，并延長DE交BC于點F，已知BC＝4，則BF＝ ．
【答案】
【解答】解：過點B作BG∥CD，交DF的延長線于點G，
∴∠D＝∠G，∠DAE＝∠EBG，
∴點E是AB的中點，
∴AE＝BE，
∴△ADE≌△BGE（AAS），
∴AD＝BG，
∵AD＝AC，
∴AD＝AC＝BG，
∴DC＝2BG，
∵CD∥BG，
∴∠C＝∠FBG，
∵∠D＝∠G，
∴△DCF∽△GBF，
∴＝＝2，
∴BF＝BC＝，
故答案為：．
9．如圖，△ABC中，AB＝AC，點D在AC上，連接BD，△ABD的中線AE的延長線交BC于點F，∠FAC＝60°，若AD＝5，AB＝7，則EF的長為 ．
【答案】
【解答】解：延長AE至點G，使得AE＝EG，
∵E是BD的中點，
∴BE＝DE，
在△ADE和△GBE中，
，
∴△ADE≌△GBE（SAS），
∴AD＝GB＝5，∠G＝∠FAC＝60°，
過點B作BH⊥GE于點H，
在Rt△BGH中，∠GBH＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴GH＝＝，BH＝＝，
在Rt△ABH中，AH＝＝，
∴AG＝AH+GH＝8，
∴AE＝GE＝4，
過點D作DM∥EF，交BC于點M．
∴，
設EF＝x，則DM＝2x，
∵DM∥EF，
∴，
∴AF＝7x，
∴AE＝7x﹣x＝6x＝4，
∴x＝，
∴EF＝，
故答案為：．
10．如圖，閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進行證明．
已知：如圖，E是BC的中點，點A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．
分析：證明兩條線段相等，常用的一般方法是應用全等三角形或等腰三角形的判定和性質，觀察本題中要證AB＝CD，必須添加適當?shù)妮o助線，構造全等三角形或等腰三角形．請根據(jù)上述分析寫出詳細的證明過程（只需寫一種思路）．
【解答】證明：方法一：如圖1中，作BF⊥DE于點F，CG⊥DE于點G．
∴∠F＝∠CGE＝90°，
在△BFE和△CGE中，
，
∴△BFE≌△CGE．
∴BF＝CG．
在△ABF和△DCG中，
，
∴△ABF≌△DCG．
∴AB＝CD．
或方法二：如圖2中，作CF∥AB，交DE的延長線于點F．
∴∠F＝∠BAE．
又∵∠ABE＝∠D，
∴∠F＝∠D．
∴CF＝CD．
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE．
∴AB＝CF．
∴AB＝CD．
11．如圖所示，D是△ABC邊BC的中點，E是AD上一點，滿足AE＝BD＝DC，F(xiàn)A＝FE．求∠ADC的度數(shù)．
【解答】解：延長AD至G，使AD＝DG，連接BG，在DG上截取DH＝DC，
在△ADC和△GDB中，，
∴△ADC≌△GDB（SAS），
∴AC＝BG，∠G＝∠CAD，
∵FA＝FE，
∴∠CAD＝∠AEF，
∴∠G＝∠CAD＝∠AEF＝∠BED，
∴BG＝BE＝AC，
∵AE＝DC＝BD，
∴AE+ED＝DH+ED，
∴AD＝EH，
在△DAC和△HEB中，
，
∴△DAC≌△HEB（SAS），
∴CD＝BH，
∴BD＝BH＝DH，
∴△BDH為等邊三角形，
∴∠C＝∠BDH＝60°＝∠ADC．
故答案為：60°．
12．（1）如圖1，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，AD平分∠BAC．求證：AD＝AC；
（2）如圖2，在△ABC中，點E在BC邊上，中線BD與AE相交于點P，AP＝BC．求證：PE＝BE．
【解答】證明：（1）在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣60°﹣80°＝40°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝BAC＝20°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°+20°＝80°，
∵∠C＝80°，
∴∠C＝∠ADC，
∴AD＝AC；
（2）過點A作AF∥BC交BD的延長線于點F，
∴∠F＝∠DBC，∠FAD＝∠C，
∵AD＝CD，
∴△ADF≌△CDB（AAS），
∴AF＝BC，
∵AP＝BC，
∴AP＝AF，
∴∠APF＝∠F，
∵∠APF＝∠BPE，∠F＝∠DBC，
∴∠BPE＝∠PBE，
∴PE＝BE．
13．數(shù)學興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D是BC的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
小明在組內經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使DE＝AD，再證明“△ADC≌△EDB”．
（1）探究得出AD的取值范圍是 ；
（2）【問題解決】如圖2，△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，AD是△ABC的中線，CE⊥BC，CE＝4，且∠ADE＝90°，求AE的長．
【解答】解：（1）AD的取值范圍是1＜AD＜7；
故答案為：1＜AD＜7
（2）延長AD交EC的延長線于F，
∵AB⊥BC，EF⊥BC，
∴∠ABD＝∠FCD，
在△ABD和△FCD中，
，
∴△ABD≌△FCD（ASA）
∴CF＝AB＝2，AD＝DF，
∵∠ADE＝90°，
∴AE＝EF，
∵EF＝CE+CF＝CE+AB＝4+2＝6，
∴AE＝6
14．如圖，BC為⊙O直徑，AB切⊙O于B點，AC交⊙O于D點，E為AB中點．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若∠A＝30°，BC＝4，求陰影部分的面積．
【解答】（1）證明：連接OD，OE，
∵AB切⊙O于B點，
∴∠OBE＝90°，
∵E為AB中點，O為BC的中點，
∴OE是△ABC的中位線，
∴OE∥AC，
∴∠BOE＝∠C，∠DOE＝∠CDO，
∵OC＝OD，
∴∠C＝∠CDO，
∴∠BOE＝∠DOE，
∵OB＝OD，OE＝OE，
∴△BOE≌△DOE（SAS），
∴∠ODE＝∠OBE＝90°，
∵OD是⊙O的半徑，
∴DE是⊙O的切線；
（2）解：過點O作OF⊥CD，垂足為F，過點E作EG⊥AD，垂足為G，
∵∠ABC＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝BC＝4，AC＝2BC＝8，∠C＝90°﹣∠A＝60°，
∵OC＝OD，
∴△COD是等邊三角形，
∴∠COD＝∠CDO＝60°，OC＝OD＝CD＝BC＝2，
∴∠BOD＝180°﹣∠COD＝120°，AD＝AC﹣DC＝8﹣2＝6，
∴OF＝OC?sin60°＝2×＝，
∵∠ODE＝90°，
∴∠ADE＝180°﹣∠ODE﹣∠CDO＝30°，
∴∠A＝∠ADE＝30°，
∴AE＝DE，
∴AG＝DG＝AD＝3，
∴GE＝AG?tan30°＝3×＝，
∴陰影部分的面積＝△ABC的面積﹣△COD的面積﹣扇形BOD的面積﹣△DEA的面積
＝AB?BC﹣CD?OF﹣﹣AD?EG
＝×4×4﹣×2×﹣π﹣×6×
＝4﹣π，
∴陰影部分的面積為4﹣π．
15．（1）方法回顧證明：三角形中位線定理．
已知：如圖1，DE是△ABC的中位線．求證： ．
證明：
（2）問題解決：如圖2，在正方形ABCD中，E為AD的中點，G、F分別為AB、CD邊上的點，若AG＝3，DF＝4，∠GEF＝90°，求GF的長．
【解答】（1）已知：如圖1，DE是△ABC的中位線．求證：DE∥BC，DE＝BC，
證明：過點C作CF∥BA交DE的延長線于點F，
∴∠A＝∠ACF，∠F＝∠ADF，
∵點E是AC的中點，
∴AE＝EC，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴DE＝EF＝DF，AD＝CF，
∵點D是AB的中點，
∴AD＝DB，
∴DB＝CF，
∴四邊形DBCF是平行四邊形，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴DE∥BC，DE＝BC，
故答案為：DE∥BC，DE＝BC；
（2）延長GE，CD交于點H，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠ADH，∠AGE＝∠H，
∵點E是AD的中點，
∴AE＝DE，
∴△AGE≌△DHE（AAS），
∴AG＝DH＝3，GE＝EH，
∵DF＝4，
∴FH＝DH+DF＝7，
∵∠GEF＝90°，
∴FE是GH的垂直平分線，
∴GF＝FH＝7，
∴GF的長為7．
16．如圖1，在四邊形ABCD中，AC和BD相交于點O，AO＝CO，∠BCA＝∠CAD．
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）如圖2，E，F(xiàn)，G分別是BO，CO，AD的中點，連接EF，GE，GF，若BD＝2AB，BC＝15，AC＝16，求△EFG的周長．
【解答】（1）證明：∵∠BCA＝∠CAD，
∴AD∥BC，
在△AOD與△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）解：連接DF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC＝15，AB＝CD，AD∥BC，BD＝2OD，OA＝OC＝AC＝8，
∵BD＝2AB，
∴AB＝OD，
∴DO＝DC，
∵點F是OC的中點，
∴OF＝OC＝4，DF⊥OC，
∴AF＝OA+OF＝12，
在Rt△AFD中，DF＝＝＝9，
∴點G是AD的中點，∠AFD＝90°，
∴DG＝FG＝AD＝7.5，
∵點E，點F分別是OB，OC的中點，
∴EF是△OBC的中位線，
∴EF＝BC＝7.5，EF∥BC，
∴EF＝DG，EF∥AD，
∴四邊形GEFD是平行四邊形，
∴GE＝DF＝9，
∴△EFG的周長＝GE+GF+EF＝9+7.5+7.5＝24，
∴△EFG的周長為24．
17．（1）方法呈現(xiàn)：如圖①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，點D為BC邊的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE＝AD，再連接BE，可證△ACD≌△EBD，從而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關系即可判斷中線AD的取值范圍是（直接寫出范圍即可）．這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；
（2）探究應用：
如圖②，在△ABC中，點D是BC的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，判斷BE+CF與EF的大小關系并證明；
（3）問題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AF與DC的延長線交于點F、點E是BC的中點，若AE是∠BAF的角平分線．試探究線段AB，AF，CF之間的數(shù)量關系，并加以證明．
【解答】解：（1）1＜AD＜5．
∵AD是BC邊上的中線，
∴BD＝CD，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜AE＜6+4，
∴2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5．
證明：（2）延長FD至點M，使DM＝DF，連接BM、EM，如圖②所示．
同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），
∴BM＝CF，
∵DE⊥DF，DM＝DF，
∴EM＝EF，
在△BME中，由三角形的三邊關系得：
BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF．
（3）如圖③，延長AE，DF交于點G，
∵AB∥CD，
∴∠BAG＝∠G，
在△ABE和△GCE中，
CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，
∴△ABE≌△GEC（AAS），
∴CG＝AB，
∵AE是∠BAF的平分線，
∴∠BAG＝∠GAF，
∴∠FAG＝∠G，
∴AF＝GF，
∵FG+CF＝CG，
∴AF+CF＝AB．
18．我們定義：如圖1，在△ABC中，把AC點繞點C順時針旋轉90°得到CA'，把BC繞點C逆時針旋轉90°得到CB′，連接A′B′．我們稱△A′B′C是△ABC的“旋補交差三角形”，連接AB′、A′B，我們將AB′、A′B所在直線的相交而成的角稱之為△ABC“旋補交差角”，C點到A′B′中點E間的距離成為“旋轉中距”．如圖1，∠B′OB即為△ABC“旋補交差角”，CE即為△ABC“旋補中距”．
（1）若已知圖1中AB的長度等于4，當∠ACB＝90°，則△ABC“旋補交差角”∠B′OB＝ 90° ，“旋補中距”CE長度＝ 2 ；
（2）若圖1中∠ACB的度數(shù)發(fā)生改變，則△ABC“旋補交差角”度數(shù)是否發(fā)生改變？請證明你的結論，并直接判斷△ABC“旋補中距”是否也發(fā)生改變；
（3）已知圖2中△A′B′C是△ABC“旋補交差三角形”，AB的長度等于4，A′B′長度等于6，問OC是否存在最小值？如果存在，請求出具體的值，如果不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）如圖1，
∵把AC點繞點C順時針旋轉90°得到CA'，把BC繞點C逆時針旋轉90°得到CB′，
∴∠ACA'＝90°＝∠BCB'，AC＝A'C，BC＝B'C，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A'CB'＝∠ACB＝90°，∠ACB+∠ACA'＝180°，∠ACB+∠BCB'＝180°，
∴點A，點C，點B'共線，點B，點C，點A'共線，
∴AB′、A′B的交點O與點C重合，
∴△ABC“旋補交差角”∠B′OB＝90°，
∵AC＝A'C，∠A'CB'＝∠ACB＝90°，BC＝B'C，
∴△ACB≌△A'CB'（SAS），
∴AB＝A'B'＝4，
∵點E是A'B'的中點，∠A'CB'＝90°，
∴CE＝2，
故答案為：90°，2；
（2）△ABC“旋補交差角”度數(shù)不變，△ABC“旋補中距”長度不變，理由如下：
∵把AC點繞點C順時針旋轉90°得到CA'，把BC繞點C逆時針旋轉90°得到CB′，
∴∠ACA'＝90°＝∠BCB'，AC＝A'C，BC＝B'C，
∴∠ACB'＝∠BCA'，
在△ACB'和△A'CB中，
，
∴△ACB'≌△A'CB（SAS），
∴∠CAB'＝∠CA'B，
∴點A，點A'，點C，點O四點共圓，
∴∠ACA'＝∠AOA'＝90°＝∠BOB'，
如圖2，延長CE至F，使CE＝EF，連接A'F，B'F，
∵CE＝EF，A'E＝B'E，
∴四邊形A'CB'F是平行四邊形，
∴∠A'CB'+∠FA'C＝180°，A'F＝B'C，
∵∠A'CB'+∠ACB＝360°﹣∠A'CA﹣∠B'CB＝180°，
∴∠ACB＝∠CA'F，
又∵A'C＝AC，A'F＝B'C＝BC，
∴△ACB≌△CA'F（SAS），
∴AB＝CF＝4，
∴CE＝2；
（3）OC存在最小值，最小值為1，理由如下：
如圖3，取A'B'中點E，連接CE，CO，EO，
∵△A′B′C是△ABC“旋補交差三角形”，
∴∠BOB'＝90°，CE＝AB＝2，
∵點E是A'B'中點，∠A'OB'＝90°，
∴OE＝A'B'＝3，
在△OCE中，OC＞OE﹣CE，
∴當點C在線段OE上時，OC有最小值為OE﹣CE＝1．
19．在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC，對角線AC、BD相交于點E，過點C作CF垂直于BD，垂足為F，
且CF＝DF．
（1）求證：△ACD∽△BCF；
（2）如圖2，連接AF，點P、M、N分別為線段AB、AF、DF的中點，連接PM、MN、PN．
①求證：∠PMN＝135°；
②若AD＝2，求△PMN的面積．
【解答】（1）證明：∵△ABC、△CDF都是等腰直角三角形，
∴∠BCF＝45°+∠ECF，∠ACD＝45°+∠ECF，
∴∠ACD＝∠BCF，
∵BC：AC＝CF：CD＝1：，
∴BC：CF＝AC：CD，
∴△ACD∽△BCF；
（2）①證明：∵△ACD∽△BCF，
∴∠ADC＝∠BFC＝90°，
∵∠CDF＝45°，
∴∠ADB＝45°，
如圖，作PM延長線，交AD于點H，
∵點P、M、N分別為線段AB、AF、DF的中點，
∴MH∥DN、MN∥DH，
∴四邊形MNDH為平行四邊形，
∴∠HMN＝∠ADB＝45°，
∴∠PMN＝135°；
②如圖，作PG⊥NM，交NM延長線于點G，
∵△ACD∽△BCF，
∴，
∴BF＝＝2，
∵PM為△ABF中位線，
∴PM＝BF＝1，
同理MN＝AD＝，
又∵∠PMN＝135°，
∴∠PMG＝180°﹣135°＝45°，
∴PG＝＝，
∴S△PMN＝?MN?PG＝××＝．

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