2024年中考數(shù)學專題訓(xùn)練專題02 二次函數(shù)與將軍飲馬最值問題（專項訓(xùn)練）（原卷版+解析)-試卷下載-教習網(wǎng)

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）點M（m，0）是x軸上的一個動點，當CM+DM的值最小時，求m的值．
2．（2022?寧遠縣模擬）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，其中點A的坐標為（﹣3，0），與y軸交于點C，點D（﹣2，﹣3）在拋物線上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對稱軸上有一動點P，求出PA+PD的最小值；
3．（2022?樂業(yè)縣二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，直線l與拋物線交于A、C兩點，其中點C的橫坐標是2．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）在拋物線的對稱軸上找一點P，使得△PBC的周長最小，并求出點P的坐標；
4．（2022?江陰市校級一模）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸分別相交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，與y軸相交于點C（0，3）．
（1）求出這條拋物線的解析式及頂點M的坐標；
（2）PQ是拋物線對稱軸上長為1的一條動線段（點P在點Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；
5．（2022秋?黃岡月考）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，y與軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D．已知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上有一點M，使得|MB﹣MC|的值最大，求此點M的坐標；
6．（2022?常德）如圖，已知拋物線過點O（0，0），A（5，5），且它的對稱軸為x＝2，點B是拋物線對稱軸上的一點，且點B在第一象限．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）當△OAB的面積為15時，求B的坐標；
（3）在（2）的條件下，P是拋物線上的動點，當PA﹣PB的值最大時，求P的坐標以及PA﹣PB的最大值．
7．（2022春?良慶區(qū)校級期末）如圖，已知拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+3，拋物線與x軸交于點A和點B，與y軸交點于點C．
（1）請分別求出點A、B、C的坐標和拋物線的對稱軸；
（2）連接AC、BC，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，點A、C的對應(yīng)點分別為M、N，求點M、N的坐標；
（3）若點P為該拋物線上一動點，在（2）的條件下，請求出使|NP﹣BP|最大時點P的坐標，并請直接寫出|NP﹣BP|的最大值．
專題02 將軍飲馬最值問題（專項訓(xùn)練）
1.（黑龍江二模）如圖，拋物線y＝x2+bx﹣2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A（﹣1，0）．
（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）點M（m，0）是x軸上的一個動點，當CM+DM的值最小時，求m的值．
【解答】解：（1）∵點A（﹣1，0）在拋物線y＝x2+bx﹣2上，
∴×（﹣1）2+b×（﹣1）﹣2＝0，
解得：b＝﹣，
∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣x﹣2．
∵y＝x2﹣x﹣2＝（ x2﹣3x﹣4 ）＝，
∴頂點D的坐標為（，﹣）．
（2）設(shè)點C關(guān)于x軸的對稱點為C′，直線C′D的解析式為y＝kx+n，
則，
解得：．
∴y＝﹣x+2．
∴當y＝0時，﹣x+2＝0，
解得：x＝．
∴m＝．
2．（2022?寧遠縣模擬）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，其中點A的坐標為（﹣3，0），與y軸交于點C，點D（﹣2，﹣3）在拋物線上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對稱軸上有一動點P，求出PA+PD的最小值；
【解答】解：（1）∴二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過A（﹣3，0），D（﹣2，﹣3），
∴，
解得：．
∴二次函數(shù)解析式為y＝x2+2x﹣3；
（2）∵拋物線y＝x2+2x﹣3的對稱軸x＝﹣＝﹣1，D（﹣2，﹣3），C（0，﹣3），
∴C、D關(guān)于拋物線的對稱軸x＝﹣1對稱，
連接AC與對稱軸的交點就是點P，
此時PA+PD＝PA+PC＝AC＝＝＝3．
∴PA+PD的最小值為3；
3．（2022?樂業(yè)縣二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，直線l與拋物線交于A、C兩點，其中點C的橫坐標是2．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）在拋物線的對稱軸上找一點P，使得△PBC的周長最小，并求出點P的坐標；
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，
∴，
解得：，
∴拋物線的函數(shù)表達式為y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴拋物線的對稱軸為x＝1，
∵A、B關(guān)于直線x＝1對稱，所以AC與對稱軸的交點為點P，
此時C△PBC＝PB+PC+BC＝AC+BC，
此時△BPC的周長最短，
∵點C的橫坐標是2，
yC＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，
∴C（2，﹣3），
設(shè)直線AC的解析式為y＝mx+n（m≠0），
∴，
解得：，
∴直線AC的解析式為y＝﹣x﹣1，
當x＝1時，y＝﹣1﹣1＝﹣2，
∴P（1，﹣2）；
4．（2022?江陰市校級一模）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸分別相交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，與y軸相交于點C（0，3）．
（1）求出這條拋物線的解析式及頂點M的坐標；
（2）PQ是拋物線對稱軸上長為1的一條動線段（點P在點Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；
【解答】解：（1）∵拋物線過點A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），
將C（0，3）代入，得：3＝a（0+1）（0﹣3），
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴該拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3，頂點坐標為M（1，4）．
（2）如圖1，將點C沿y軸向下平移1個單位得C′（0，2），連接BC′交拋物線對稱軸x＝1于點Q′，
過點C作CP′∥BC′，交對稱軸于點P′，連接AQ′，
∵A、B關(guān)于直線x＝1對稱，
∴AQ′＝BQ′，
∵CP′∥BC′，P′Q′∥CC′，
∴四邊形CC′Q′P′是平行四邊形，
∴CP′＝C′Q′，Q′P′＝CC′＝1，
在Rt△BOC′中，BC′＝，
＝
＝．
∴AQ′+Q′P′+P′C＝BQ′+C′Q′+Q′P′＝BC′+Q′P′＝+1，
此時，C′、Q′、B三點共線，BQ′+C′Q′的值最小，
∴AQ+QP+PC的最小值為 +1．
5．（2022秋?黃岡月考）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，y與軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D．已知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上有一點M，使得|MB﹣MC|的值最大，求此點M的坐標；
【解答】解：（1）將A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，
∵A、B關(guān)于對稱軸對稱，
∴|MB﹣MC|＝|MA﹣MC|≤AC，
∴當A、C、M三點共線時，|MB﹣MC|有最大值，
設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+m，
∴，
解得，
∴y＝3x+3，
∴M（1，6）；
6．（2022?常德）如圖，已知拋物線過點O（0，0），A（5，5），且它的對稱軸為x＝2，點B是拋物線對稱軸上的一點，且點B在第一象限．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）當△OAB的面積為15時，求B的坐標；
（3）在（2）的條件下，P是拋物線上的動點，當PA﹣PB的值最大時，求P的坐標以及PA﹣PB的最大值．
【解答】解：（1）∵拋物線過點O（0，0），A（5，5），且它的對稱軸為x＝2，
∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為（4，0），
設(shè)拋物線解析式為y＝ax（x﹣4），把A（5，5）代入，得5a＝5，
解得：a＝1，
∴y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x，
故此拋物線的解析式為y＝x2﹣4x；
（2）∵點B是拋物線對稱軸上的一點，且點B在第一象限，
∴設(shè)B（2，m）（m＞0），
設(shè)直線OA的解析式為y＝kx，
則5k＝5，
解得：k＝1，
∴直線OA的解析式為y＝x，
設(shè)直線OA與拋物線對稱軸交于點H，則H（2，2），
∴BH＝m﹣2，
∵S△OAB＝15，
∴×（m﹣2）×5＝15，
解得：t＝8，
∴點B的坐標為（2，8）；
（3）設(shè)直線AB的解析式為y＝cx+d，把A（5，5），B（2，8）代入得：，
解得：，
∴直線AB的解析式為y＝﹣x+10，
當PA﹣PB的值最大時，A、B、P在同一條直線上，
∵P是拋物線上的動點，
∴，
解得：，（舍去），
∴P（﹣2，12），
此時，PA﹣PB＝AB＝＝3．
7．（2022春?良慶區(qū)校級期末）如圖，已知拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+3，拋物線與x軸交于點A和點B，與y軸交點于點C．
（1）請分別求出點A、B、C的坐標和拋物線的對稱軸；
（2）連接AC、BC，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，點A、C的對應(yīng)點分別為M、N，求點M、N的坐標；
（3）若點P為該拋物線上一動點，在（2）的條件下，請求出使|NP﹣BP|最大時點P的坐標，并請直接寫出|NP﹣BP|的最大值．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+4）（x﹣1）＝﹣（x+）2+，
∴A（﹣4，0），B（1，0），C（0，3），
對稱軸為直線x＝﹣；
（2）如圖所示：
過N作NQ⊥x軸于點Q，
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得MB⊥x軸，∠CBN＝90°，BM＝AB＝5，BN＝BC，
∴M（1，5），∠OBC+∠QBN＝90°，
∵∠OBC+∠BCO＝90°，
∴∠BCO＝∠QBN，
又∵∠BOC＝∠NQB＝90°，BN＝BC，
∴△OBC≌△QNB（AAS），
∴BQ＝OC＝3，NQ＝OB＝1，
∴OQ＝1+3＝4，
∴N（4，1）；
（3）設(shè)直線NB的解析式為y＝kx+b．
∵B（1，0）、N（4，1）在直線NB上，
∴，
解得：，
∴直線NB的解析式為：y＝x﹣，
當點P，N，B在同一直線上時|NP﹣BP|＝NB＝＝，
當點P，N，B不在同一條直線上時|NP﹣BP|＜NB，
∴當P，N，B在同一直線上時，|NP﹣BP|的值最大，
即點P為直線NB與拋物線的交點．
解方程組：，
解得：或，
∴當P的坐標為（1，0）或（﹣，﹣）時，|NP﹣BP|的值最大，此時最大值為．

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