A．B．6C．2 D．4
2．如圖，在正方形ABCD中．AB＝8，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，且滿足BP＝4，則PD+PC的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
3．如圖，在扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝3，點(diǎn)A是OC中點(diǎn)，OB＝2，點(diǎn)P是為CD上一點(diǎn)，則PB+2PA的最小值為 ．
4．【新知探究】新定義：平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B，所有滿足＝k（k為定值）的P點(diǎn)形成的圖形是圓，我們把這種圓稱之為“阿氏圓”
【問題解決】如圖，在△ABC中，CB＝4，AB＝2AC，則△ABC面積的最大值為 ．
5．如圖①，在正方形ABCD中，AB＝1，點(diǎn)E，F(xiàn)為AD邊上的兩點(diǎn)，且AE＝DF，連接CF交BD于點(diǎn)G，連接AG交BE于點(diǎn)H．
（1）求證：AG⊥BE；
（2）如圖②，點(diǎn)M為DC的中點(diǎn)，連接DH，M，求DH+HM的最小值；
（3）連接BM，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)F重合時(shí)，求tan∠EBM的值．
6．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，⊙O與x軸交于點(diǎn)E（2，0），點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn)，連接CP，BP，求BP+CP的最小值．
專題03 阿氏圓（專項(xiàng)訓(xùn)練）
1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半徑為2，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，BP，則AP+BP的最小值為（ ）
A．B．6C．2 D．4
【答案】A
【解答】解：如圖1，連接CP，在CB上取點(diǎn)D，使CD＝1，則有＝＝，
又∵∠PCD＝∠BCP，
∴△PCD∽△BCP，
∴＝，
∴PD＝BP，
∴AP+BP＝AP+PD．
要使AP+BP最小，只要AP+PD最小，當(dāng)點(diǎn)A，P，D在同一條直線時(shí)，AP+PD最小，
即：AP+BP最小值為AD，
在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，
∴AD＝＝，
AP+BP的最小值為，
故選：A．
2．如圖，在正方形ABCD中．AB＝8，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，且滿足BP＝4，則PD+PC的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】C
【解答】解：在BC邊上取一點(diǎn)E，使BE＝2，連接DE，如圖
∵ABCD是正方形，AB＝8
∴AB＝BC＝CD＝8，∠BCD＝90°
∵BP＝4
∴，
∴且∠PBC＝∠PBC
∴△PBE∽△BCP
∴
∴PE＝PC
∴PD+PC＝PD+PE
在Rt△DCE中，CD＝8，CE＝BC﹣BE＝6
∴DE＝＝10
∵PD+PE≥DE
∴PD+PE≥10
∴PD+PC的最小值是10
故選：C．
3．如圖，在扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝3，點(diǎn)A是OC中點(diǎn)，OB＝2，點(diǎn)P是為CD上一點(diǎn)，則PB+2PA的最小值為 ．
【答案】
【解答】連接OP，延長OC至點(diǎn)E，使得OE＝6，
則＝，，
∴，
∵∠AOP＝∠AOP，
∴△AOP∽△POE，
∴，即2PA＝PE，
∴PB+2PA＝PB+PE，
∴當(dāng)E、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，PB+PE最小，
∴PB+2PA的最小值為BE＝＝．
故答案為：．
4．【新知探究】新定義：平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B，所有滿足＝k（k為定值）的P點(diǎn)形成的圖形是圓，我們把這種圓稱之為“阿氏圓”
【問題解決】如圖，在△ABC中，CB＝4，AB＝2AC，則△ABC面積的最大值為 ．
【答案】網(wǎng)
【解答】解：以A為頂點(diǎn)，AC為邊，在△ABC外部作∠CAP＝∠ABC，AP與BC的延長線交于點(diǎn)P，
∵∠CAP＝∠ABC，∠BPA＝∠APC，AB＝2AC，
∴△APC∽△BPA，
，
∴BP＝2AP，CP＝AP，
∵BP﹣CP＝BC＝4，
∴2AP﹣AP＝4，解得：AP＝，
∴BP＝，CP＝，即點(diǎn)P為定點(diǎn)，
∴點(diǎn)A的軌跡為以點(diǎn)P為圓心，為半徑的圓上，如圖，過點(diǎn)P作BC的垂線，交圓P與點(diǎn)A1，此時(shí)點(diǎn)A1到BC的距離最大，即△ABC的面積最大，
S△ABC＝BC?A1P＝×4×＝．
故答案為：．
5．如圖①，在正方形ABCD中，AB＝1，點(diǎn)E，F(xiàn)為AD邊上的兩點(diǎn)，且AE＝DF，連接CF交BD于點(diǎn)G，連接AG交BE于點(diǎn)H．
（1）求證：AG⊥BE；
（2）如圖②，點(diǎn)M為DC的中點(diǎn)，連接DH，M，求DH+HM的最小值；
（3）連接BM，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)F重合時(shí)，求tan∠EBM的值．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADG＝∠CDG＝45°，
∵DG＝DG，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG＝∠DCG，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，∠BAE＝∠CDF＝90°，
∵AE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠ABE＝∠DCF，
∴∠DAG＝∠ABE，
∵∠BAE＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠DAG+∠AEB＝90°，
∴∠AHE＝90°，
∴AG⊥BE；
（2）如圖1，
∵∠ABH＝90°，
∴點(diǎn)H在以AB的中點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
連接OH，OM，在OM上截取ON＝，連接HN，
∵OA＝，DM＝，AB＝CD，
∴OA＝DM，
∵AB∥CD，
∴四邊形AOMD是平行四邊形，
∵∠BAD＝90°，
∴?AOMD是矩形，
∴OM＝BC，∠DMN＝90°，
∴OM＝AB＝2OA，
∴，
∵∠HON＝∠MOH，
∴△HON∽△MOH，
∴＝，
∴HN＝，
∴DH+＝DH+HN，
∴當(dāng)D、H、N共線時(shí)，DH+HN最小，最小值為DN的長，
∵DN＝＝＝，
∴DH+的最小值為：；
（3）如圖2，
在Rt△CBM和Rt△DCE中，
tan∠CBM＝，tan∠DCE＝，
∴∠CBM＝∠DCE，
∵∠BCM＝90°，
∴∠CBM+∠CMB＝90°，
∴∠DCE+∠CMB＝90°，
∴∠BQE＝∠CQM＝90°，
設(shè)CM＝DE＝DM＝a，則CE＝BM＝a，
∴sin∠DEC＝，
∴QM＝CM?sin∠DEC＝a，
∴CQ＝2QM＝a，
∴EQ＝CE﹣CQ＝a﹣＝a，
BQ＝BM＝QM＝﹣a＝a，
∴tan∠EBM＝．
6．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，⊙O與x軸交于點(diǎn)E（2，0），點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn)，連接CP，BP，求BP+CP的最小值．
【解答】解：如圖，在OC上取一點(diǎn)T，使得OT＝，連接PT，BT，OP．
由題意C（0，3），E（2，0），A（﹣1，0），B（4，0）
∴OE＝2，OC＝3，OB＝4，OA＝1，
∴OP2＝OT?OB，
∴＝，
∵∠POT＝∠COP，
∴△POT∽△COP，
∴＝＝＝，
∴PT＝PC，
∴PB+PC＝BP+PT≥BT，
在Rt△BOT中，OB＝4，OT＝，
∴BT＝＝＝，
∴ABP+PC≥，
∴BP+PC的最小值為．

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