二次函數(shù)與將軍飲馬問題必備的基礎(chǔ)模型有：
模型1：當兩定點A、B在直線l同側(cè)時，在直線l上找一點P，使得PA＋PB最?。?br>
作點B關(guān)于直線l的對稱點B'，連接AB'交直線l于點P，點P即為所求作的點．PA＋PB的最小值為AB'
模型2：當兩定點A、B在直線l同側(cè)時，在直線l上找一點P，使得最大．

連接AB并延長交直線l于點P，點P即為所求作的點，的最大值為AB
模型3：當兩定點A、B在直線l異側(cè)時，在直線l上找一點P，使得最大．

作點B關(guān)于直線I的對稱點B'，連接AB'并延長交直線l于點P，點P即為所求作的點．的最大值為AB'
模型4：點P在∠AOB內(nèi)部，在OB邊上找點D，OA邊上找點C，使得△PCD周長最?。?br>
分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點P′、P″，連接P′P″，交OA、OB于點C、D，點C、D即為所求．△PCD周長的最小值為P′P″
模型5：點P在∠AOB內(nèi)部，在OB邊上找點D，OA邊上找點C，使得PD＋CD最?。?br>
作點P關(guān)于OB的對稱點P′，過P′作P′C⊥OA交OB，PD＋CD的最小值為P′C
【例1】（2022?黑龍江）如圖，已知拋物線y＝（x﹣2）（x+a）（a＞0）與x軸交于點B、C，與y軸交于點E，且點B在點C的左側(cè)．
（1）若拋物線過點M（﹣2，﹣2），求實數(shù)a的值；
（2）在（1）的條件下，解答下列問題；
①求出△BCE的面積；
②在拋物線的對稱軸上找一點H，使CH+EH的值最小，直接寫出點H的坐標．
【例2】（2022?甘肅）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝（x+3）（x﹣a）與x軸交于A，B（4，0）兩點，點C在y軸上，且OC＝OB，D，E分別是線段AC，AB上的動點（點D，E不與點A，B，C重合）．
（1）求此拋物線的表達式；
（2）連接DE并延長交拋物線于點P，當DE⊥x軸，且AE＝1時，求DP的長；
（3）連接BD．
①如圖2，將△BCD沿x軸翻折得到△BFG，當點G在拋物線上時，求點G的坐標；
②如圖3，連接CE，當CD＝AE時，求BD+CE的最小值．
【例3】．（2022?達州）如圖1，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+2的圖象經(jīng)過點A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點C．
（1）求該二次函數(shù)的表達式；
（2）連接BC，在該二次函數(shù)圖象上是否存在點P，使∠PCB＝∠ABC？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖2，直線l為該二次函數(shù)圖象的對稱軸，交x軸于點E．若點Q為x軸上方二次函數(shù)圖象上一動點，過點Q作直線AQ，BQ分別交直線l于點M，N，在點Q的運動過程中，EM+EN的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．
【例4】．（2022?天津）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a＞0）的頂點為P，與x軸相交于點A（﹣1，0）和點B．
（Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3，
①求點P的坐標；
②直線x＝m（m是常數(shù)，1＜m＜3）與拋物線相交于點M，與BP相交于點G，當MG取得最大值時，求點M，G的坐標；
（Ⅱ）若3b＝2c，直線x＝2與拋物線相交于點N，E是x軸的正半軸上的動點，F(xiàn)是y軸的負半軸上的動點，當PF+FE+EN的最小值為5時，求點E，F(xiàn)的坐標．
【例5】（2022?常德）如圖，已知拋物線過點O（0，0），A（5，5），且它的對稱軸為x＝2，點B是拋物線對稱軸上的一點，且點B在第一象限．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）當△OAB的面積為15時，求B的坐標；
（3）在（2）的條件下，P是拋物線上的動點，當PA﹣PB的值最大時，求P的坐標以及PA﹣PB的最大值．
1．（2022?濱城區(qū)二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0），經(jīng)過點A（﹣1，0），B（3，0）兩點．
（1）求拋物線的解析式及頂點M的坐標；
（2）連接AC、BC，N為拋物線上的點且在第四象限，當S△NBC＝S△ABC時，求N點的坐標；
（3）在（2）問的條件下，過點C作直線l∥x軸，動點P（m，3）在直線l上，動點Q（m，0）在x軸上，連接
PM、PQ、NQ，當m為何值時，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值．
2．（2022?淮北模擬）已知拋物線l1：y＝ax2+bx﹣2和直線l2：y＝﹣x﹣均與x軸相交于點A，拋物線l1與x軸的另一個交點為點B（3，0）．
（1）求a，b的值；
（2）將拋物線l1向右平移h個單位長度，使其頂點C落在直線l2上，求h的值；
（3）設(shè)拋物線l1和直線l2的另一個交點為點D，點P為拋物線上一個動點，且點P在線段AD的下方（點P不與點A，D重合），過點P分別作x軸和y軸的平行線，交直線l2于點M，N，記W＝PM+PN，求W的最大值．
3．（2022?南寧一模）如圖1所示拋物線與x軸交于O，A兩點，OA＝6，其頂點與x軸的距離是6．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P在拋物線上，過點P的直線y＝x+m與拋物線的對稱軸交于點Q．
①當△POQ與△PAQ的面積之比為1：3時，求m的值；
②如圖2，當點P在x軸下方的拋物線上時，過點B（3，3）的直線AB與直線PQ交于點C，求PC+CQ的最大值．
4．（2022?成都模擬）如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與y軸，x軸分別相交于A（0，2），B（2，0），C（4，0）三點，點D是二次函數(shù)圖象的頂點．
（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）點P為拋物線上異于點B的一點，連接AC，若S△ACP＝S△ACB，求點P的坐標；
（3）M是第四象限內(nèi)一動點，且∠AMB＝45°，連接MD，MC，求2MD+MC的最小值．
5．（2022?成都模擬）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝a（x﹣1）（x+3）的圖象與x軸交于點A，B（A在B的左邊），且經(jīng)過點C（﹣2，3），P為拋物線的頂點．
（1）求拋物線的解析式及點P的坐標；
（2）平面內(nèi)一動點H自點C出發(fā)，先到達x軸上的某點M，再到達y軸上某點N，最后運動到點P，求使點H運動的總路徑最短的點M，點N的坐標，并求出這個最短總路徑的長；
（3）如圖2，過點C的直線l與拋物線有唯一的公共點，將直線l向下平移交拋物線于D，E兩點，連BD交y軸正半軸于F，連BE交y軸負半軸于G，試判斷|OF﹣OG|是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
6．（2022?沈陽模擬）定義：在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c的“衍生直線”為y＝﹣ax+b，有一個頂點在拋物線上，另一個頂點在“衍生直線”上的三角形為該拋物線的“衍生三角形”．
如圖1，已知拋物線y＝﹣x2+2x+3與其“衍生直線”交于A，D兩點（點A在點D的左側(cè)），與x軸正半軸相交于點B，與y軸正半軸相交于點C，點P為拋物線的頂點．
（1）填空：該拋物線的“衍生直線”的解析式為 ；B的坐標為 ；D的坐標為 ．
（2）如圖1，動點E在線段AB上，連接DE，DB，將△BDE以DE所在直線為對稱軸翻折，點B的對稱點為F，若三角形△DEF為該拋物線的“衍生三角形”，且F不在拋物線上，求點F坐標．
（3）拋物線的“衍生直線”上存在兩點M，N（點M在點N的上方），且MN＝，連接PM，CN，當PM+MN+CN最短時，請直接寫出此時點N的坐標．
7．（2022?沈陽模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+（a≠0）經(jīng)過點A（3，2）和點B（4，﹣），且與y軸交于點C．
（1）分別求拋物線和直線BC的解析式；
（2）在x軸上有一動點G，拋物線上有一動點H，是否存在以O(shè)，A，G，H為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點H的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）點D為拋物線上位于直線BC上方的一點，過點D作DE⊥x軸交直線BC于點E，點P為對稱軸上一動點，當線段DE的長度最大時，求PD+PA的最小值．
8．（2022?沈河區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+x+c（a≠0）與x軸交于點A（﹣1，0）和B（點B在A的右側(cè)），與y軸交于點C（0，2），點P是拋物線上的一個動點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接AP，與y軸交于點D，連接BD，當△BOD≌△COA時，求點P的坐標；
（3）連接OP，與線段BC交于點E，點Q是x軸正半軸上一點，且CE＝BQ，當OE+CQ的值最小時，請直接寫出點Q的坐標．
9．（2022?邵陽縣模擬）如圖，直線l：y＝﹣3x﹣6與x軸、y軸分別相交于點A、C；經(jīng)過點A、C的拋物線C：與x軸的另一個交點為點B，其頂點為點D，對稱軸與x軸相交于點E．
（1）求拋物線C的對稱軸．
（2）將直線l向右平移得到直線l1．
①如圖①，直線l1與拋物線C的對稱軸DE相交于點P，要使PB+PC的值最小，求直線l1的解析式．
②如圖 ②，直線l1與直線BC相交于點F，直線l1上是否存在點M，使得以點A、C、F、M為頂點的四邊形是菱形，若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
10．（2021?越秀區(qū)校級二模）在平面直角坐標系中，直線y＝﹣x+2與x軸交于點B，與y軸交于點C，拋物線y＝﹣x2+bx+c的對稱軸是直線x＝與x軸的交點為點A，且經(jīng)過點B、C兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點M為拋物線對稱軸上一動點，當|BM﹣CM|的值最小時，求出點M的坐標；
（3）拋物線上是否存在點N，過點N作NH⊥x軸于點H，使得以點B、N、H為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．
11．（2022?立山區(qū)一模）已知點A（﹣2，0），B（3，0），拋物線y＝ax2+bx+4過A，B兩點，交y軸于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是線段AC上一動點（不與C點重合），作PQ⊥BC交拋物線于點Q，PH⊥x軸于點H．
①連結(jié)CQ，BQ，PB，當四邊形PCQB的面積為時，求P點的坐標；
②直接寫出PH+PQ的取值范圍．
12．（2021?招遠市一模）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與一直線相交于A（﹣1，0），C（2，3）兩點，與y軸交于點N．其頂點為D．
（1）拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點B，E為直線AC上的任意一點，過點E作EF∥BD交拋物線于點F，以B，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標；若不能，請說明理由；
（3）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求△APC的面積的最大值．
（4）設(shè)點M的坐標為（3，m），直接寫出使MN+MD的和最小時m的值．
13．（2021?桓臺縣二模）在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于A，B兩點，點A，B的坐標分別為（﹣1，0），（3，0），點M為頂點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過點M作y軸的垂線，垂足為C，過點B作y軸的平行線，交CM于點D，點H為OC上的任一點，將線段HB繞點H逆時針旋轉(zhuǎn)90°到HP．求∠PCD的度數(shù)；
（3）在（2）的條件下，將點H改為y軸上的一動點，連接OP，BP，求OP+BP的最小值．
14．（2021?成都模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式．
（2）點D為第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，作DE⊥x軸于點E，交BC于點F，過點F作BC的垂線與拋物線的對稱軸和y軸分別交于點G，H，設(shè)點D的橫坐標為m．
①求DF+HF的最大值；
②連接EG，若∠GEH＝45°，求m的值．
15．（2020?朝陽）如圖，拋物線y＝﹣+bx+c與x軸交于點A，點B，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，點C坐標為（0，4）．
（1）求拋物線表達式；
（2）在拋物線上是否存在點P，使∠ABP＝∠BCO，如果存在，求出點P坐標；如果不存在，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，若點P在x軸上方，點M是直線BP上方拋物線上的一個動點，求點M到直線BP的最大距離；
（4）點G是線段AC上的動點，點H是線段BC上的動點，點Q是線段AB上的動點，三個動點都不與點A，B，C重合，連接GH，GQ，HQ，得到△GHQ，直接寫出△GHQ周長的最小值．
16．（2021?大慶）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于原點O和點A，且其頂點B關(guān)于x軸的對稱點坐標為（2，1）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）拋物線的對稱軸上存在定點F，使得拋物線y＝ax2+bx+c上的任意一點G到定點F的距離與點G到直線y＝﹣2的距離總相等．
①證明上述結(jié)論并求出點F的坐標；
②過點F的直線l與拋物線y＝ax2+bx+c交于M，N兩點．
證明：當直線l繞點F旋轉(zhuǎn)時，+是定值，并求出該定值；
（3）點C（3，m）是該拋物線上的一點，在x軸，y軸上分別找點P，Q，使四邊形PQBC周長最小，直接寫出P，Q的坐標．
17．（2020?濱州）如圖，拋物線的頂點為A（h，﹣1），與y軸交于點B（0，﹣），點F（2，1）為其對稱軸上的一個定點．
（1）求這條拋物線的函數(shù)解析式；
（2）已知直線l是過點C（0，﹣3）且垂直于y軸的定直線，若拋物線上的任意一點P（m，n）到直線l的距離為d，求證：PF＝d；
（3）已知坐標平面內(nèi)的點D（4，3），請在拋物線上找一點Q，使△DFQ的周長最小，并求此時△DFQ周長的最小值及點Q的坐標．
18．（2018?賀州）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于A、B兩點（A在B的左側(cè)），且OA＝3，OB＝1，與y軸交于C（0，3），拋物線的頂點坐標為D（﹣1，4）．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）過點D作直線DE∥y軸，交x軸于點E，點P是拋物線上B、D兩點間的一個動點（點P不與B、D兩點重合），PA、PB與直線DE分別交于點F、G，當點P運動時，EF+EG是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由．
19．（2018?煙臺）如圖1，拋物線y＝ax2+2x+c與x軸交于A（﹣4，0），B（1，0）兩點，過點B的直線y＝kx+分別與y軸及拋物線交于點C，D．
（1）求直線和拋物線的表達式；
（2）動點P從點O出發(fā)，在x軸的負半軸上以每秒1個單位長度的速度向左勻速運動，設(shè)運動時間為t秒，當t為何值時，△PDC為直角三角形？請直接寫出所有滿足條件的t的值；
（3）如圖2，將直線BD沿y軸向下平移4個單位后，與x軸，y軸分別交于E，F(xiàn)兩點，在拋物線的對稱軸上是否存在點M，在直線EF上是否存在點N，使DM+MN的值最??？若存在，求出其最小值及點M，N的坐標；若不存在，請說明理由．
20．（2018?湘潭）如圖，點P為拋物線y＝x2上一動點．
（1）若拋物線y＝x2是由拋物線y＝（x+2）2﹣1通過圖象平移得到的，請寫出平移的過程；
（2）若直線l經(jīng)過y軸上一點N，且平行于x軸，點N的坐標為（0，﹣1），過點P作PM⊥l于M．
①問題探究：如圖一，在對稱軸上是否存在一定點F，使得PM＝PF恒成立？若存在，求出點F的坐標：若不存在，請說明理由．
②問題解決：如圖二，若點Q的坐標為（1，5），求QP+PF的最小值．

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