【專(zhuān)題說(shuō)明】
“將軍飲馬”問(wèn)題主要利用構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形解決求兩條線(xiàn)段和差、三角形周長(zhǎng)、四邊形周長(zhǎng)等 一類(lèi)最值問(wèn)題，會(huì)與直線(xiàn)、角、三角形、四邊形、圓、拋物線(xiàn)等圖形結(jié)合，在近年的中考和競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)，而且大多以壓軸題的形式出現(xiàn)。
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
考點(diǎn)1：兩條線(xiàn)段和最小值問(wèn)題
一）、已知兩個(gè)定點(diǎn)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)：（對(duì)稱(chēng)軸為：動(dòng)點(diǎn)所在的直線(xiàn)上）
1、在一條直線(xiàn)m上，求一點(diǎn)P，使PA+PB最??；
（1）點(diǎn)A、B在直線(xiàn)m兩側(cè)：

（2）點(diǎn)A、B在直線(xiàn)同側(cè)：


A’ 是關(guān)于直線(xiàn)m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。
考點(diǎn)2：三條線(xiàn)段和最小值問(wèn)題
在直線(xiàn)m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）兩個(gè)點(diǎn)都在直線(xiàn)外側(cè)：



（2）一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè)：
（3）兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：
（4）臺(tái)球兩次碰壁模型
變式一：已知點(diǎn)A、B位于直線(xiàn)m,n 的內(nèi)側(cè)，在直線(xiàn)n、m分別上求點(diǎn)D、E點(diǎn)，使得圍成的四邊形ADEB周長(zhǎng)最短.

變式二：已知點(diǎn)A位于直線(xiàn)m,n 的內(nèi)側(cè), 在直線(xiàn)m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)PA+PQ+QA周長(zhǎng)最短.
考點(diǎn)3：兩條線(xiàn)段差最大值問(wèn)題
求兩線(xiàn)段差的最大值問(wèn)題 (運(yùn)用三角形兩邊之差小于第三邊)
基本圖形解析：
1、在一條直線(xiàn)m上，求一點(diǎn)P，使PA與PB的差最大；
（1）點(diǎn)A、B在直線(xiàn)m同側(cè)：
解析：延長(zhǎng)AB交直線(xiàn)m于點(diǎn)P，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此時(shí)最大，因此點(diǎn)P為所求的點(diǎn)。
（2）點(diǎn)A、B在直線(xiàn)m異側(cè)：
解析：過(guò)B作關(guān)于直線(xiàn)m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B’,連接AB’交點(diǎn)直線(xiàn)m于P,此時(shí)PB=PB’，PA-PB最大值為AB’
【典例分析】
【考點(diǎn)1 兩條線(xiàn)段和最小值問(wèn)題】
【典例1】（2019秋?東莞市校級(jí)期末）已知，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c，過(guò)A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3），M為頂點(diǎn)．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）在該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)P，使得PA+PC的值最小，并求出P的坐標(biāo)；
【變式1】（2019?赤峰）如圖，直線(xiàn)y＝﹣x+3與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，與x軸另一交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為D．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）在x軸上找一點(diǎn)E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；
【考點(diǎn)2兩條線(xiàn)段和最小值問(wèn)題】
【典例2】（2022?恩施州模擬）如圖1，已知拋物線(xiàn)．點(diǎn)A（﹣1，2）在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，是拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)，D為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)C．
（1）直接寫(xiě)出h，k的值；
（2）如圖1，若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，m），點(diǎn)Q為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)QK與拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸垂直，垂足為點(diǎn)K．探求DK+KQ+QC的值是否存在最小值，若存在，求出這個(gè)最小值及點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
【變式2】（2022?桂林）如圖，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+3x+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l與x軸交于點(diǎn)N，長(zhǎng)為1的線(xiàn)段PQ（點(diǎn)P位于點(diǎn)Q的上方）在x軸上方的拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上運(yùn)動(dòng)．
（1）直接寫(xiě)出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求CP+PQ+QB的最小值；
【考點(diǎn)3兩條線(xiàn)段差最大值問(wèn)題】
【典例3】（2020秋?椒江區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求此拋物線(xiàn)的解析式；
（2）若點(diǎn)T為對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)x＝2上一點(diǎn)，則TC﹣TB的最大值為多少？
【變式1】（2020?連云港）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把與x軸交點(diǎn)相同的二次函數(shù)圖象稱(chēng)為“共根拋物線(xiàn)”．如圖，拋物線(xiàn)L1：y＝x2﹣x﹣2的頂點(diǎn)為D，交x軸于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C．拋物線(xiàn)L2與L1是“共根拋物線(xiàn)”，其頂點(diǎn)為P．
（1）若拋物線(xiàn)L2經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，﹣12），求L2對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)BP﹣CP的值最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
專(zhuān)題02 二次函數(shù)與將軍飲馬最值問(wèn)題（知識(shí)解讀）
【專(zhuān)題說(shuō)明】
“將軍飲馬”問(wèn)題主要利用構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形解決求兩條線(xiàn)段和差、三角形周長(zhǎng)、四邊形周長(zhǎng)等 一類(lèi)最值問(wèn)題，會(huì)與直線(xiàn)、角、三角形、四邊形、圓、拋物線(xiàn)等圖形結(jié)合，在近年的中考和競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)，而且大多以壓軸題的形式出現(xiàn)。
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
考點(diǎn)1：兩條線(xiàn)段和最小值問(wèn)題
一）、已知兩個(gè)定點(diǎn)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)：（對(duì)稱(chēng)軸為：動(dòng)點(diǎn)所在的直線(xiàn)上）
1、在一條直線(xiàn)m上，求一點(diǎn)P，使PA+PB最??；
（1）點(diǎn)A、B在直線(xiàn)m兩側(cè)：

（2）點(diǎn)A、B在直線(xiàn)同側(cè)：


A’ 是關(guān)于直線(xiàn)m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。
考點(diǎn)2：三條線(xiàn)段和最小值問(wèn)題
在直線(xiàn)m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）兩個(gè)點(diǎn)都在直線(xiàn)外側(cè)：



（2）一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè)：
（3）兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：
（4）、臺(tái)球兩次碰壁模型
變式一：已知點(diǎn)A、B位于直線(xiàn)m,n 的內(nèi)側(cè)，在直線(xiàn)n、m分別上求點(diǎn)D、E點(diǎn)，使得圍成的四邊形ADEB周長(zhǎng)最短.

變式二：已知點(diǎn)A位于直線(xiàn)m,n 的內(nèi)側(cè), 在直線(xiàn)m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)PA+PQ+QA周長(zhǎng)最短.
考點(diǎn)3：兩條線(xiàn)段差最大值問(wèn)題
求兩線(xiàn)段差的最大值問(wèn)題 (運(yùn)用三角形兩邊之差小于第三邊)
基本圖形解析：
1、在一條直線(xiàn)m上，求一點(diǎn)P，使PA與PB的差最大；
（1）點(diǎn)A、B在直線(xiàn)m同側(cè)：
解析：延長(zhǎng)AB交直線(xiàn)m于點(diǎn)P，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此時(shí)最大，因此點(diǎn)P為所求的點(diǎn)。
（2）點(diǎn)A、B在直線(xiàn)m異側(cè)：
解析：過(guò)B作關(guān)于直線(xiàn)m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B’,連接AB’交點(diǎn)直線(xiàn)m于P,此時(shí)PB=PB’，PA-PB最大值為AB’
【典例分析】
【考點(diǎn)1 兩條線(xiàn)段和最小值問(wèn)題】
【典例1】（2019秋?東莞市校級(jí)期末）已知，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c，過(guò)A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3），M為頂點(diǎn)．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）在該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)P，使得PA+PC的值最小，并求出P的坐標(biāo)；
【解答】解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），
把C（0，﹣3）代入得a×（0+1）×（0﹣3）＝﹣3，解得a＝1，
∴拋物線(xiàn)解析式為y＝（x+1）（x﹣3），
即y＝x2﹣2x﹣3；
（2）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝1，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)，
連接BC交直線(xiàn)x＝1于P點(diǎn)，則PA＝PB，
∵PA+PC＝PB+PC＝BC，
∴此時(shí)PA+PC的值最小，
設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y＝mx+n，
把B（3，0），C（0，﹣3）代入得，解得，
∴直線(xiàn)BC的解析式為y＝x﹣3，
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝x﹣3＝﹣2，則滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣2）；
【變式1】（2019?赤峰）如圖，直線(xiàn)y＝﹣x+3與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，與x軸另一交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為D．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）在x軸上找一點(diǎn)E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；
【解答】解：（1）直線(xiàn)y＝﹣x+3與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，則點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，3），
將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，
故函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0，則x＝﹣1或3，故點(diǎn)A（﹣1，0）；
（2）如圖1中，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，連接CD′交x軸于點(diǎn)E，則此時(shí)EC+ED為最小，
函數(shù)頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，4），點(diǎn)C′（0，﹣3），
將C′、D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：
直線(xiàn)C′D的表達(dá)式為：y＝7x﹣3，
當(dāng)y＝0時(shí)，x＝，
故點(diǎn)E（，0），
則EC+ED的最小值為DC′＝；
【考點(diǎn)2兩條線(xiàn)段和最小值問(wèn)題】
【典例2】（2022?恩施州模擬）如圖1，已知拋物線(xiàn)．點(diǎn)A（﹣1，2）在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，是拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)，D為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)C．
（1）直接寫(xiě)出h，k的值；
（2）如圖1，若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，m），點(diǎn)Q為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)QK與拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸垂直，垂足為點(diǎn)K．探求DK+KQ+QC的值是否存在最小值，若存在，求出這個(gè)最小值及點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（﹣1，2）在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，
∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣1，
∴h＝1，
∴y＝（x+1）2+k，
∵是拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)，
∴+k＝，
∴k＝1；
（2）存在最小值，理由如下：
由（1）可知y＝（x+1）2+1，
作C點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)x＝﹣的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C'，連接C'D交拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)K，連接CQ，
由對(duì)稱(chēng)性可知C'K＝CQ，
∴CQ+KQ+KD＝C'K+KD+KQ≥C'D+KQ，
當(dāng)C'、K、D三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，CQ+KQ+KD的值最小，
∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣1，
∴KQ＝1，
∵D（3，5），CD⊥x軸，
∵C（3，0），
∴C'（﹣4，0），
∴C'D＝，
∴CQ+KQ+KD的最小值為+1，
設(shè)直線(xiàn)C'D的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+，
∴K（﹣1，），
∴Q（0，）；
【變式2】（2022?桂林）如圖，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+3x+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l與x軸交于點(diǎn)N，長(zhǎng)為1的線(xiàn)段PQ（點(diǎn)P位于點(diǎn)Q的上方）在x軸上方的拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上運(yùn)動(dòng)．
（1）直接寫(xiě)出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求CP+PQ+QB的最小值；
【解答】解：（1）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；
（2）將C（0，4）向下平移至C'，使CC'＝PQ，連接BC'交拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l于Q，如圖：
∵CC'＝PQ，CC'∥PQ，
∴四邊形CC'QP是平行四邊形，
∴CP＝C'Q，
∴CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ，
∵B，Q，C'共線(xiàn)，
∴此時(shí)CP+PQ+BQ最小，最小值為BC'+PQ的值，
∵C（0，4），CC'＝PQ＝1，
∴C'（0，3），
∵B（4，0），
∴BC'＝＝5，
∴BC'+PQ＝5+1＝6，
∴CP+PQ+BQ最小值為6
【考點(diǎn)3兩條線(xiàn)段差最大值問(wèn)題】
【典例3】（2020秋?椒江區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求此拋物線(xiàn)的解析式；
（2）若點(diǎn)T為對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)x＝2上一點(diǎn)，則TC﹣TB的最大值為多少？
【解答】解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3）＝ax2+bx+3，
解得a＝1，
故拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y＝x2﹣4x+3①；
（2）點(diǎn)B關(guān)于函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)A，連接CA交函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)T，則點(diǎn)T為所求點(diǎn)，
則TC﹣TB＝TC﹣TA＝AC為最大，
故TC﹣TB的最大值為AC＝＝，
故答案為；
【變式1】（2020?連云港）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把與x軸交點(diǎn)相同的二次函數(shù)圖象稱(chēng)為“共根拋物線(xiàn)”．如圖，拋物線(xiàn)L1：y＝x2﹣x﹣2的頂點(diǎn)為D，交x軸于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C．拋物線(xiàn)L2與L1是“共根拋物線(xiàn)”，其頂點(diǎn)為P．
（1）若拋物線(xiàn)L2經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，﹣12），求L2對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)BP﹣CP的值最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
【解答】解：（1）當(dāng)y＝0時(shí)，x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），
由題意設(shè)拋物線(xiàn)L2的解析式為y＝a（x+1）（x﹣4），
把（2，﹣12）代入y＝a（x+1）（x﹣4），
﹣12＝﹣6a，
解得a＝2，
∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝2（x+1）（x﹣4）＝2x2﹣6x﹣8．
（2）∵拋物線(xiàn)L2與L1是“共根拋物線(xiàn)”，A（﹣1，0），B（4，0），
∴拋物線(xiàn)L1，L2的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝，
∴點(diǎn)P在直線(xiàn)x＝上，
∴BP＝AP，如圖1中，當(dāng)A，C，P共線(xiàn)時(shí)，BP﹣PC的值最大，
此時(shí)點(diǎn)P為直線(xiàn)AC與直線(xiàn)x＝的交點(diǎn)，
∵直線(xiàn)AC的解析式為y＝﹣2x﹣2，
∴P（，﹣5）

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備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練 專(zhuān)題02 二次函數(shù)與將軍飲馬最值問(wèn)題(解析版)

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專(zhuān)題18：將軍飲馬型最值問(wèn)題-2022年中考數(shù)學(xué)解題方法終極訓(xùn)練

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