專題18：將軍飲馬型最值問題-2022年中考數(shù)學(xué)解題方法終極訓(xùn)練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題18：將軍飲馬型最值問題-2022年中考數(shù)學(xué)解題方法終極訓(xùn)練
一、單選題
1．已知線段AB及直線l，在直線上確定一點(diǎn)，使最小，則下圖中哪一種作圖方法滿足條件（???????）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根據(jù)對稱的性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短即可解決問題．
【詳解】解：∵點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，
∴作B點(diǎn)關(guān)于l的對稱點(diǎn)B'，連接AB'與l的交點(diǎn)為P，由對稱性可知BP=B'P，
∴PA+PB=PB′+PA=AB′為最小
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查軸對稱求最短距離，掌握兩點(diǎn)在直線同側(cè)時，在直線上找一點(diǎn)到兩點(diǎn)距離最短的方法是解題的關(guān)鍵．
2．如圖，等邊△ABC的邊長為6，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動點(diǎn)，E是邊AC上一點(diǎn)，若AE＝2，則EM＋CM的最小值為（???????）

A． B．3 C．2 D．4
【答案】C
【解析】連接BE，交AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EF⊥BC交于點(diǎn)F，此時EM＋CM的值最小，求出BE即可．
【詳解】解：連接BE，交AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EF⊥BC交于點(diǎn)F，
∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，
∴B點(diǎn)與C點(diǎn)關(guān)于AD對稱，
∴BM＝CM，
∴EM＋CM＝EM＋BM＝BE，此時EM＋CM的值最小，
∵AC＝6，AE＝2，
∴EC＝4，
在Rt△EFC中，∠ECF＝60°，
∴FC＝2，EF＝2，
在Rt△BEF中，BF＝4，
∴BE＝2，
故選：C．

【點(diǎn)評】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法，靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．
3．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)F在邊AC上，并且CF＝2，點(diǎn)E為邊BC上的動點(diǎn)，將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是（???????）

A．1.5 B．1.2 C．2.4 D．以上都不對
【答案】B
【解析】【詳解】思路引領(lǐng)：先依據(jù)勾股定理求得AB的長，然后依據(jù)翻折的性質(zhì)可知PF＝FC，故此點(diǎn)P在以F為圓心，以2為半徑的圓上，依據(jù)垂線段最短可知當(dāng)FP⊥AB時，點(diǎn)P到AB的距離最短，然后依據(jù)題意畫出圖形，最后，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．
答案詳解：如圖所示：當(dāng)PE∥AB．

在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB10，
由翻折的性質(zhì)可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°．
∵PE∥AB，
∴∠PDB＝90°．
由垂線段最短可知此時FD有最小值．
又∵FP為定值，
∴PD有最小值．
又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF，
∴△AFD∽△ABC．
∴，即，解得：DF＝3.2．
∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2．
故選：B．
4．如圖所示，已知A（1，y1），B（2，y2）為反比例函數(shù)y圖象上的兩點(diǎn)，動點(diǎn)P（x，0）在x軸正半軸上運(yùn)動，當(dāng)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大值時，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（???????）

A．（3，0） B．（，0） C．（，0） D．（，0）
【答案】A
【解析】【詳解】思路引領(lǐng)：求出A、B的坐標(biāo)，設(shè)直線AB的解析式是y＝kx+b，把A、B的坐標(biāo)代入求出直線AB的解析式，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得出在△ABP中，|AP﹣BP|＜AB，延長AB交x軸于P′，當(dāng)P在P′點(diǎn)時，PA﹣PB＝AB，此時線段AP與線段BP之差達(dá)到最大，求出直線AB于x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．
答案詳解：∵把A（1，y1），B（2，y2）代入反比例函數(shù)y得：y1＝2，y2＝1，
∴A（1，2），B（2，1），
∵在△ABP中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：|AP﹣BP|＜AB，
∴延長AB交x軸于P′，當(dāng)P在P′點(diǎn)時，PA﹣PB＝AB，
即此時線段AP與線段BP之差達(dá)到最大，
設(shè)直線AB的解析式是y＝kx+b，
把A、B的坐標(biāo)代入得：，
解得：k＝﹣1，b＝3，
∴直線AB的解析式是y＝﹣x+3，
當(dāng)y＝0時，x＝3，
即P（3，0）．
故選：A．

5．如圖，⊙M的半徑為2，圓心M的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)P是⊙M上的任意一點(diǎn)，PA⊥PB，且PA、PB與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對稱，則AB的最小值為（???????）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】【詳解】思路引領(lǐng)：由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最小值，則PO需取得最小值，連接OM，交⊙M于點(diǎn)P′，當(dāng)點(diǎn)P位于P′位置時，OP′取得最小值，據(jù)此求解可得．
答案詳解：連接OP，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，則PO需取得最小值，
連接OM，交⊙M于點(diǎn)P′，當(dāng)點(diǎn)P位于P′位置時，OP′取得最小值，
過點(diǎn)M作MQ⊥x軸于點(diǎn)Q，
則OQ＝3、MQ＝4，
∴OM＝5，
又∵M(jìn)P′＝2，
∴OP′＝3，
∴AB＝2OP′＝6，
故選：D．
6．如圖，點(diǎn)，都在雙曲線上，點(diǎn)C，D分別是x軸、y軸上的動點(diǎn)（C，D不同時與原點(diǎn)重合），則四邊形ABCD的周長的最小值為（???????）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先把A點(diǎn)和B點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中，求出a與b的值，確定出A與B坐標(biāo)，再作A點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P，B點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)Q，根據(jù)對稱的性質(zhì)得到P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，3），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-1），PQ分別交x軸、y軸于C點(diǎn)、D點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得此時四邊形PABQ的周長最小，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求解可得．
【詳解】分別把點(diǎn)，代入，得
，，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為.
如圖，分別作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P，點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)Q，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；連接PQ分別交x軸、y軸于點(diǎn)C、點(diǎn)D，此時四邊形ABCD的周長最小,
四邊形ABCD周長為:

.
故選B.

【點(diǎn)評】考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、熟練運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短解決有關(guān)幾何圖形周長最短的問題是解題的關(guān)鍵．
7．如圖1，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，點(diǎn)E是BC邊上的一動點(diǎn)，點(diǎn)P是對角線BD上一動點(diǎn)，設(shè)PD的長度為x，PE與PC的長度和為y，圖2是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，其中H（a，b）是圖象上的最低點(diǎn)，則a+b的值為（　?。?br />
A． B． C． D．36
【答案】A
【解析】從圖2知，是的最小值，從圖1作輔助線知；接下來求出，設(shè)與交于點(diǎn)，則求出，，最后得，所以，選．
【詳解】解：如下圖，在邊上取點(diǎn)，使得和關(guān)于對稱，
連接，得，
連接，作，垂足為，

由三角形三邊關(guān)系和垂線段最短知，
，
即有最小值，
菱形中，，，
在△中，，
解得，
是圖象上的最低點(diǎn)
，
此時令與交于點(diǎn)，
由于，在△中，
，又，
，
又的長度為，圖2中是圖象上的最低點(diǎn)，
，
又，
，
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查動點(diǎn)及最小值問題，解題的關(guān)鍵是在于通過翻折點(diǎn)軸對稱），然后利用三角形三邊關(guān)系及垂線段最短原理，判斷出最小值為．
8．如圖，凸四邊形中，，若點(diǎn)M、N分別為邊上的動點(diǎn)，則的周長最小值為（???????）

A． B． C．6 D．3
【答案】C
【解析】由軸對稱知識作出對稱點(diǎn)，連接兩對稱點(diǎn)，由兩點(diǎn)之間線段最短證明最短，多次用勾股定理求出相關(guān)線段的長度，平角的定義及角的和差求出角度的大小，最后計算出的周長最小值為6．
【詳解】解：作點(diǎn)關(guān)于、的對稱點(diǎn)分別為點(diǎn)和點(diǎn)，
連接交和于點(diǎn)和點(diǎn)，，連接、；
再和上分別取一動點(diǎn)和（不同于點(diǎn)和，
連接，，和，如圖1所示：

，
，，
，
又，
，，
，
時周長最??；
連接，過點(diǎn)作于的延長線于點(diǎn)，
如圖示2所示：

在中，，，
，
，
，，
又，
，
，，
，
，
又，
，
，，
在△中，由勾股定理得：
．
，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題綜合考查了軸對稱最短路線問題，勾股定理，平角的定義和兩點(diǎn)之間線段最短等相關(guān)知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱最短路線問題，難點(diǎn)是構(gòu)建直角三角形求兩點(diǎn)之間的長度．
9．如圖，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分別為E，F(xiàn)，則AE+BF的最大值為（　　）

A． B．2 C．2 D．3
【答案】A
【解析】把要求的最大值的兩條線段經(jīng)過平移后形成一條線段，然后再根據(jù)垂線段最短來進(jìn)行計算即可．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CK⊥l于點(diǎn)K，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，

在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AC＝，
∵點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，
∴BD＝CD，
在△BFD與△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延長AE，過點(diǎn)C作CN⊥AE于點(diǎn)N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
當(dāng)直線l⊥AC時，最大值為，
綜上所述，AE+BF的最大值為．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題主要考查了全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理及平移的性質(zhì)，構(gòu)建全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．
10．如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，，點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，連接，則的最大值為（）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖所示，取AB的中點(diǎn)N，連接ON，MN，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知OM＜ON+MN，則當(dāng)ON與MN共線時，OM= ON+MN最大，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形的中位線即可解答．
【詳解】解：如圖所示，取AB的中點(diǎn)N，連接ON，MN，三角形的三邊關(guān)系可知OM＜ON+MN，則當(dāng)ON與MN共線時，OM= ON+MN最大，
∵，
則△ABO為等腰直角三角形，
∴AB=，N為AB的中點(diǎn)，
∴ON=，
又∵M(jìn)為AC的中點(diǎn)，
∴MN為△ABC的中位線，BC=1，
則MN=，
∴OM=ON+MN=，
∴OM的最大值為
故答案選：B．

【點(diǎn)評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定當(dāng)ON與MN共線時，OM= ON+MN最大．
二、填空題
11．如圖，正△ABC的邊長為2，過點(diǎn)B的直線l⊥AB，且△ABC與△A′BC′關(guān)于直線l對稱，D為線段BC′上一動點(diǎn)，則AD+CD的最小值是_____．

【答案】4
【解析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及軸對稱的性質(zhì)得到∠ABC=∠B=60°，B=AB=BC=2，證明△CBD≌△BD，得到CD=D，推出當(dāng)A、D、三點(diǎn)共線時，AD+CD最小，此時AD+CD=B+AB=4．
【詳解】解：如圖，連接D，
∵正△ABC的邊長為2，△ABC與△A′BC′關(guān)于直線l對稱，
∴∠ABC=∠B=60°，B=AB=BC=2，
∴∠CB=60°，
∴∠CB=∠B，
∵BD=BD，
∴△CBD≌△BD，
∴CD=D，
∴AD+CD=D+CD，
∴當(dāng)A、D、三點(diǎn)共線時，AD+CD最小，此時AD+CD=B+AB=4，
故答案為：4．
．
【點(diǎn)評】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，最短路徑問題，正確掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．
12．如圖，在等邊△ABC中，E為AC邊的中點(diǎn)，AD垂直平分BC，P是AD上的動點(diǎn)．若AD=6，則EP+CP的最小值為_______________．

【答案】6
【解析】要求EP+CP的最小值，需考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化EP，CP的值，從而找出其最小值求解．
【詳解】解：作點(diǎn)E關(guān)于AD的對稱點(diǎn)F，連接CF，

∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中垂線，
∴點(diǎn)E關(guān)于AD的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，
∴CF就是EP+CP的最小值．
∵△ABC是等邊三角形，E是AC邊的中點(diǎn)，
∴F是AB的中點(diǎn)，
∴CF=AD=6，
即EP+CP的最小值為6，
故答案為6．
【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和軸對稱等知識，熟練掌握等邊三角形和軸對稱的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
13．如圖所示，在中，，直線EF是AB的垂直平分線，D是BC的中點(diǎn)，M是EF上一個動點(diǎn)，的面積為12，，則周長的最小值是_______________．

【答案】8
【解析】連接AD，AM，由EF是線段AB的垂直平分線，得到AM=BM，則△BDM的周長=BD+BM+DM=AM+DM+BD，要想△BDM的周長最小，即要使AM+DM的值最小，故當(dāng)A、M、D三點(diǎn)共線時，AM+DM最小，即為AD，由此再根據(jù)三線合一定理求解即可．
【詳解】解：如圖所示，連接AD，AM，
∵EF是線段AB的垂直平分線，
∴AM=BM，
∴△BDM的周長=BD+BM+DM=AM+DM+BD，
∴要想△BDM的周長最小，即要使AM+DM的值最小，
∴當(dāng)A、M、D三點(diǎn)共線時，AM+DM最小，即為AD，
∵AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，，
∴，
∴AD=6，
∴△BDM的周長最小值=AD+BD=8，
故答案為：8．

【點(diǎn)評】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三線合一定理，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意得到當(dāng)A、M、D三點(diǎn)共線時，AM+DM最小，即為AD．
14．如圖，將△ABC沿AD折疊使得頂點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)M處，D在BC上，點(diǎn)P在線段AD上移動，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，則△PMB周長的最小值為 ___．

【答案】18
【解析】首先明確要使得△PMB周長最小，即使得PM+PB最小，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可知PM=PC，從而可得滿足PC+PB最小即可，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短確定BC即為最小值，從而求解即可．
【詳解】解：由翻折的性質(zhì)可知，AM=AC，PM=PC，
∴M點(diǎn)為AB上一個固定點(diǎn)，則BM長度固定，
∵△PMB周長=PM+PB+BM，
∴要使得△PMB周長最小，即使得PM+PB最小，
∵PM=PC，
∴滿足PC+PB最小即可，
顯然，當(dāng)P、B、C三點(diǎn)共線時，滿足PC+PB最小，如圖所示，
此時，P點(diǎn)與D點(diǎn)重合，PC+PB=BC，
∴△PMB周長最小值即為BC+BM，
此時，作DS⊥AB于S點(diǎn)，DT⊥AC延長線于T點(diǎn)，AQ⊥BC延長線于Q點(diǎn)，
由題意，AD為∠BAC的角平分線，
∴DS=DT，
∵，，
∴，
即：，
∴，
解得：AB=14，
∵AM=AC=6，
∴BM=14-6=8，
∴△PMB周長最小值為BC+BM=3+7+8=18，
故答案為：18．

【點(diǎn)評】本題考查翻折的性質(zhì)，以及最短路徑問題等，掌握翻折的基本性質(zhì)，利用角平分線的性質(zhì)進(jìn)行推理求解，理解并熟練運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短是解題關(guān)鍵．
15．在邊長為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊的中點(diǎn)，若線段MA繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)得線段MA′．
（1）如圖①，線段MA'的長＝___．
（2）如圖②，連接A'C，則A'C長度的最小值是___．

【答案】???? 1????
【解析】【詳解】思路引領(lǐng)：（Ⅰ）由中點(diǎn)的定義和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求解；
（Ⅱ）當(dāng)A'在MC上時，線段A'C長度最小，作ME⊥CD于點(diǎn)E，首先在直角△DME中利用三角函數(shù)求得ED和EM的長，然后在直角△MEC中利用勾股定理求得MC的長，然后減去MA的長即可求解．
答案詳解：（Ⅰ）∵M(jìn)是AD邊的中點(diǎn)，
∴MA＝1，
∵線段MA繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)得線段MA'．
∴MA'＝1，
故答案為：1；
（Ⅱ）如圖②，作ME⊥CD于點(diǎn)E．
∵菱形ABCD中，∠A＝60°，
∴∠EDM＝60°，
在直角△MDE中，DE＝MD?cos∠EDM1，ME＝MD?sin∠EDM，
則EC＝CD+ED＝2，
在直角△CEM中，MC，
當(dāng)A'在MC上時A'C最小，則A′C長度的最小值是：1，
故答案為1．
16．如圖所示，已知A（，y1），B（2，y2）為反比例函數(shù)y圖象上的兩點(diǎn)，動點(diǎn)P（x，0）在x正半軸上運(yùn)動，當(dāng)線段AP與線段BP之和達(dá)到最小時，點(diǎn)P的坐標(biāo)是___；當(dāng)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大時，點(diǎn)P的坐標(biāo)是___．

【答案】???? ????
【解析】【詳解】思路引領(lǐng)：（1）如圖1，過x軸作點(diǎn)B的對稱點(diǎn)B′，連接AB′與x軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P．根據(jù)點(diǎn)A、B′的坐標(biāo)可以求得直線AB′的解析式，根據(jù)該解析式可以求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）如圖2，求出AB的坐標(biāo)，設(shè)直線AB的解析式是y＝kx+b，把A、B的坐標(biāo)代入求出直線AB的解析式，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得出在△ABP中，|AP﹣BP|＜AB，延長AB交x軸于P′，當(dāng)P在P′點(diǎn)時，PA﹣PB＝AB，此時線段AP與線段BP之差達(dá)到最大，求出直線AB于x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．
答案詳解：∵把A（，y1），B（2，y2）代入反比例函數(shù)y得：y1＝2，y2，
∴A（，2），B（2，）．
（1）如圖1，過x軸作點(diǎn)B的對稱點(diǎn)B′，連接AB′與x軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，則B′（2，）．
設(shè)直線AB′為y＝kx+b（k≠0），則．
解得．
故直線AB′的解析式為：yx．
令y＝0，
解得，x＝1.7．
故P（1.7，0）；
（2）∵在△ABP中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：|AP﹣BP|＜AB，
∴延長AB交x軸于P′，當(dāng)P在P′點(diǎn)時，PA﹣PB＝AB，
即此時線段AP與線段BP之差達(dá)到最大，
設(shè)直線AB的解析式是y＝ax+c（a≠0）
把A、B的坐標(biāo)代入得：，
解得：，
∴直線AB的解析式是y＝﹣x，
當(dāng)y＝0時，x，
即P（，0）；
故答案是：（1.7，0）；（，0）．

17．如圖，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，邊BC上運(yùn)動，點(diǎn)G在矩形內(nèi)，且DG⊥CG，EF⊥FG，F(xiàn)G：EF＝1：2，則線段GF的最小值為_______．

【答案】
【解析】取CD的中點(diǎn)M，取EF的中點(diǎn)N，連接GM，GN、NB、BM，根據(jù)矩形的性質(zhì)和題中所給的條件得GM=DM=CM=1，設(shè)FG=a，則EF=2a，因為N是EF的中點(diǎn)，所以FN=EN=a，根據(jù)和勾股定理得，因為，所以當(dāng)且僅當(dāng)B、N、G、M四點(diǎn)共線時，值最小，解得，即可得線段GF的最小值為：．
【詳解】解：如圖所示，取CD的中點(diǎn)M，取EF的中點(diǎn)N，連接GM，GN、NB、BM，

∴,
∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD=AB=2，AD=BC=3，,
∵，
∴，
∴，
∴GM=DM=CM=1，
∵，
∴設(shè)FG=a，則EF=2a，
∵N是EF的中點(diǎn)，
∴FN=EN=a，
∵，
∴BN=EN=FN=a，
∵，F(xiàn)G=FN=a，
∴
在中，根據(jù)勾股定理
，
在中，BC=3，CM=1，根據(jù)勾股定理，
，
∵，
∴當(dāng)且僅當(dāng)B、N、G、M四點(diǎn)共線時，值最小，
∴，

則線段GF的最小值為：，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理和直角三角形的性質(zhì)解題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助線，當(dāng)B、N、G、M四點(diǎn)共線時，值最小，則線段GF有最小值．
18．如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點(diǎn)，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個動點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為______．

【答案】
【解析】【詳解】解：由題意可知，點(diǎn)F是主動點(diǎn)，點(diǎn)G是從動點(diǎn)，點(diǎn)F在線段上運(yùn)動，點(diǎn)G也一定在直線軌跡上運(yùn)動

將△EFB繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)60°，使EF與EG重合，得到△EFB≌△EHG
從而可知△EBH為等邊三角形，點(diǎn)G在垂直于HE的直線HN上
作CM⊥HN，則CM即為CG的最小值
作EP⊥CM，可知四邊形HEPM為矩形，
則CM＝MP+CP＝HEEC＝1

故答案為．
19．在綜合實踐課上，小明把邊長為2cm的正方形紙片沿著對角線AC剪開，如圖l所示．然后固定紙片△ABC，把紙片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，連A′B，D′B，D′C，在平移過程中：（1）四邊形A′BCD′的形狀始終是 __；（2）A′B+D′B的最小值為 __．

【答案】???? 平行四邊形???? 2
【解析】（1）利用平移的性質(zhì)證明即可．
（2）如圖2中，作直線DD′，作點(diǎn)C關(guān)于直線DD′的對稱點(diǎn)C″，連接D′C″，BC″，過點(diǎn)B作BH⊥CC″于H．求出BC″，證明A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″，可得結(jié)論．
【詳解】解：（1）如圖2中，∵A′D′=BC，A′D′∥BC，
∴四邊形A′BCD′是平行四邊形，
故答案為：平行四邊形．
（2）如圖2中，作直線DD′，作點(diǎn)C關(guān)于直線DD′的對稱點(diǎn)C″，連接D′C″，BC″，過點(diǎn)B作BH⊥CC″于H．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=2，∠ABC=90°，
∴AC=AB=2，
∵BJ⊥AC，
∴AJ=JC，
∴BJ=AC=，
∵∠BJC=∠JCH=∠H=90°，
∴四邊形BHCJ是矩形，
∵BJ=CJ，
∴四邊形BHCJ是正方形，
∴BH=CH=，
在Rt△BHC″中，BH=，HC″=3，
∴，
∵四邊形A′BCD′是平行四邊形，
∴A′B=CD′，
∴A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″，
∴A′B+BD′≥2，
∴A′B+D′B的最小值為2，
故答案為：2．
【點(diǎn)評】本題考查作圖-平移變換，軸對稱最短問題，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考?？碱}型．
20．如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝，AD＝，點(diǎn)P為邊AB上一點(diǎn)．以DP為折痕將△DAP翻折，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A'．連結(jié)AA'，AA' 交PD于點(diǎn)M，點(diǎn)Q為線段BC上一點(diǎn)，連結(jié)AQ，MQ，則AQ＋MQ的最小值是________

【答案】
【解析】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)T，取AD的中點(diǎn)R，連接BT，QT，RT，RM．想辦法求出RM，RT，求出MT的最小值，再根據(jù)QA＋QM＝QM＋QT≥MT，可得結(jié)論．
【詳解】解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)T，
取AD的中點(diǎn)R，連接BT，QT，RT，RM．

∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠RAT＝90°，
∵AR＝DR＝，AT＝2AB＝4，
∴RT＝，
∵A，A′關(guān)于DP對稱，
∴AA′⊥DP，
∴∠AMD＝90°，
∵AR＝RD，
∴RM＝AD＝，
∵M(jìn)T≥RT?RM，
∴MT≥4，
∴MT的最小值為4，
∵QA＋QM＝QT＋QM≥MT，
∴QA＋QM≥4，
∴QA＋QM的最小值為4．
故答案為：4．
【點(diǎn)評】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是求出MT的最小值，屬于中考?？碱}型

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