1．（2022?攀枝花）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于O（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），A兩點(diǎn)，且二次函數(shù)的最小值為﹣1，點(diǎn)M（1，m）是其對(duì)稱軸上一點(diǎn)，y軸上一點(diǎn)B（0，1）．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（）在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)N，使得以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
2．（2022?內(nèi)蒙古）如圖，拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過B（3，0），D（﹣2，﹣）兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，與y軸相交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線上，要使以點(diǎn)A，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．（請(qǐng)?jiān)趫D2中探索）
3．（2022?牡丹區(qū)三模）如圖，直線y＝﹣x+4與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過B，C兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）Q是拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以P，Q，B，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
4．（2022?東莞市校級(jí)一模）如圖所示，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C（0，﹣3），已知AB＝4，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)N在對(duì)稱軸上，則拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)A、O、N、M構(gòu)成平行四邊形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
5．（2022?畢節(jié)市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D（2，1），拋物線的對(duì)稱軸交直線BC于點(diǎn)E．
（1）求拋物線y＝﹣x2+bx+c的表達(dá)式；
（2）把上述拋物線沿它的對(duì)稱軸向下平移，平移的距離為h（h＞0），在平移過程中，該拋物線與直線BC始終有交點(diǎn)，求h的最大值；
（3）M是（1）中拋物線上一點(diǎn)，N是直線BC上一點(diǎn)．是否存在以點(diǎn)D，E，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
6．（2022?婁底）如圖，拋物線y＝x2﹣2x﹣6與x軸相交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)C．
（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P（m，n）（0＜m＜6）在拋物線上，當(dāng)m取何值時(shí)，△PBC的面積最大？并求出△PBC面積的最大值．
（3）點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，作FE∥AC交x軸于點(diǎn)E，是否存在點(diǎn)F，使得以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
7．（2022?宜賓）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（3，0）、B（﹣1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），其頂點(diǎn)為點(diǎn)D，連結(jié)AC．
（1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上取一點(diǎn)E，點(diǎn)F為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，使得以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)、AC為邊的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
7．（2022?重慶）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，3）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P為直線AB上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，交AB于點(diǎn)M，求PM+AM的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P′與點(diǎn)P關(guān)于拋物線y＝﹣x2+bx+c的對(duì)稱軸對(duì)稱．將拋物線y＝﹣x2+bx+c向右平移，使新拋物線的對(duì)稱軸l經(jīng)過點(diǎn)A．點(diǎn)C在新拋物線上，點(diǎn)D在l上，直接寫出所有使得以點(diǎn)A、P′、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)D的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)D的坐標(biāo)的過程寫出來．
8．（2022?青羊區(qū)校級(jí)模擬）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如圖1，點(diǎn)P在線段AC上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)（不與A，C重合），過點(diǎn)P作PD⊥AB，垂足為D，PD交AC于點(diǎn)E．作PF⊥AC，垂足為F，求△PEF的面積的最大值；
（3）如圖2，點(diǎn)Q是拋物線的對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A，P，C，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
9．（2022?九龍坡區(qū)自主招生）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A，B分別位于原點(diǎn)的左右兩側(cè)，且BO＝3AO＝3．已知直線y＝kx+n過B，C兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
①如圖1，若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，連接PA，交直線BC于點(diǎn)D．記△PDC的面積為S1，△ADC的面積為S2，若S1：S2＝1：2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②如圖2，拋物線的對(duì)稱軸l與x軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為F．點(diǎn)Q是對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)E，F(xiàn)，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
10．（2022?鄂爾多斯）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+2經(jīng)過A（，0），B（3，）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P在拋物線上，過P作PD⊥x軸，交直線BC于點(diǎn)D，若以P、D、O、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；
專題08 二次函數(shù)與平行四邊形有關(guān)問題（專項(xiàng)訓(xùn)練）
1．（2022?攀枝花）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于O（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），A兩點(diǎn)，且二次函數(shù)的最小值為﹣1，點(diǎn)M（1，m）是其對(duì)稱軸上一點(diǎn)，y軸上一點(diǎn)B（0，1）．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（）在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)N，使得以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)的最小值為﹣1，點(diǎn)M（1，m）是其對(duì)稱軸上一點(diǎn)，
∴二次函數(shù)頂點(diǎn)為（1，﹣1），
設(shè)二次函數(shù)解析式為y＝a（x﹣1）2﹣1，
將點(diǎn)O（0，0）代入得，a﹣1＝0，
∴a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x；
（2）連接OP，
當(dāng)y＝0時(shí)，x2﹣2x＝0，
∴x＝0或2，
∴A（2，0），
∵點(diǎn)P在拋物線y＝x2﹣2x上，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為t2﹣2t，
∴S＝S△AOB+S△OAP﹣S△OBP
＝+（﹣t2+2t）﹣t
＝﹣t2++1；
（3）設(shè)N（n，n2﹣2n），
當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，2+0＝1+n，
∴n＝1，
∴N（1，﹣1），
當(dāng)AM為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，2+1＝n+0，
∴n＝3，
∴N（3，3），
當(dāng)AN為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，2+n＝0+1，
∴n＝﹣1，
∴N（﹣1，3），
綜上：N（1，﹣1）或（3，3）或（﹣1，3）．
2．（2022?內(nèi)蒙古）如圖，拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過B（3，0），D（﹣2，﹣）兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，與y軸相交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線上，要使以點(diǎn)A，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．（請(qǐng)?jiān)趫D2中探索）
【解答】解：（1）將B（3，0），D（﹣2，﹣）代入y＝ax2+x+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+，
令x＝0，則y＝，
∴C（0，）；
（3）令y＝0，則﹣x2+x+＝0，
解得x＝3或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
設(shè)Q（0，t），P（m，﹣m2+m+），
①當(dāng)AB為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，m＝3﹣1＝2，
∴P（2，）；
②當(dāng)AQ為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，3+m＝﹣1，
解得m＝﹣4，
∴P（﹣4，﹣）；
③當(dāng)AP為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，m﹣1＝3，
解得m＝4，
∴P（4，﹣）；
綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，）或（﹣4，﹣）或（4，﹣）．
3．（2022?牡丹區(qū)三模）如圖，直線y＝﹣x+4與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過B，C兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）Q是拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以P，Q，B，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）∵直線y＝﹣x+4與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，
∴點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為B（0，4），C（4，0），
把點(diǎn)B（0，4）和點(diǎn)C（4，0）代入拋物線y＝ax2+x+c，
得：，
解之，得，
∴拋物線的解析式為．
（32存在．由拋物線可得對(duì)稱軸是直線x＝1．
∵Q是拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為1．
①當(dāng)BC為邊時(shí)，點(diǎn)B到點(diǎn)C的水平距離是4，
∴點(diǎn)Q到點(diǎn)P的水平距離也是4．
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是5或﹣3，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；
②當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)Q到點(diǎn)C的水平距離是3，
∴點(diǎn)B到點(diǎn)P的水平距離也是3，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．
綜上所述，在拋物線上存在點(diǎn)P，使得以P，Q，B，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
點(diǎn)P的坐標(biāo)是或或．
4．（2022?東莞市校級(jí)一模）如圖所示，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C（0，﹣3），已知AB＝4，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)N在對(duì)稱軸上，則拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)A、O、N、M構(gòu)成平行四邊形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c交y軸于點(diǎn)C（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∴拋物線的解析式為y＝x2+bx﹣3，
設(shè)A（x1，0），B（x2，0），
由題意得x2﹣x1＝4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，
∵x1+x2＝﹣b，x1x2＝﹣3，
∴b2+12＝16，
∴b＝±2，
又∵對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，
∴b＝2，
∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2+2x﹣3；
（2）存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)A、O、N、M構(gòu)成平行四邊形．
∵拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3，
∴y＝0時(shí)，x＝﹣3或x＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
①若OA為邊，
∴AO∥MN，OA＝MN＝3，
∵N在對(duì)稱軸x＝﹣1上，
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2或﹣4，
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝5，當(dāng)x＝﹣4時(shí)，y＝5，
∴M（2，5）或（﹣4，5）；
②若OA為對(duì)角線時(shí)，
∵A（﹣3，0），O（0，0），
∴OA的中點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，0），
∵N在直線x＝﹣1上，
設(shè)M的橫坐標(biāo)為m，
∴，
∴m＝﹣2，
把m＝﹣2代入拋物線解析式得y＝﹣3，
∴M（﹣2，﹣3）．
綜上所述，M的坐標(biāo)為（2，5）或（﹣4，5）或（﹣2，﹣3）；
5．（2022?畢節(jié)市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D（2，1），拋物線的對(duì)稱軸交直線BC于點(diǎn)E．
（1）求拋物線y＝﹣x2+bx+c的表達(dá)式；
（2）把上述拋物線沿它的對(duì)稱軸向下平移，平移的距離為h（h＞0），在平移過程中，該拋物線與直線BC始終有交點(diǎn)，求h的最大值；
（3）M是（1）中拋物線上一點(diǎn)，N是直線BC上一點(diǎn)．是否存在以點(diǎn)D，E，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c的頂點(diǎn)為D（2，1），
∴拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3．
（2）由（1）知，拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+4x﹣3，
令x＝0，則y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
令y＝0，則x＝1或x＝3，
∴A（1，0），B（3，0）．
∴直線BC的解析式為：y＝x﹣3．
設(shè)平移后的拋物線的解析式為：y＝﹣（x﹣2）2+1﹣h，
令﹣（x﹣2）2+1﹣h＝x﹣3，整理得x2﹣3x+h＝0，
∵該拋物線與直線BC始終有交點(diǎn)，
∴Δ＝9﹣4h≥0，
∴h≤．
∴h的最大值為．
（3）存在，理由如下：
由題意可知，拋物線的對(duì)稱軸為：直線x＝2，
∴E（2，﹣1），
∴DE＝2，
設(shè)點(diǎn)M（m，﹣m2+4m﹣3），
若以點(diǎn)D，E，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則分以下兩種情況：
①當(dāng)DE為邊時(shí)，DE∥MN，
則N（m，m﹣3），
∴MN＝|﹣m2+4m﹣3﹣（m﹣3）|＝|﹣m2+3m|，
∴|﹣m2+3m|＝2，解得m＝1或m＝2（舍）或m＝或m＝．
∴N（1，﹣2）或（，）或（，）．
②當(dāng)DE為對(duì)角線時(shí)，
設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為t，
則N（t，t﹣3），
∴，
解得m或（舍），
∴N（3，0）．
綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（1，﹣2）或（，）或（，）或（3，0）．
6．（2022?婁底）如圖，拋物線y＝x2﹣2x﹣6與x軸相交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)C．
（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P（m，n）（0＜m＜6）在拋物線上，當(dāng)m取何值時(shí)，△PBC的面積最大？并求出△PBC面積的最大值．
（3）點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，作FE∥AC交x軸于點(diǎn)E，是否存在點(diǎn)F，使得以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
當(dāng)y＝0時(shí)，x2﹣2x﹣6＝0，
∴x1＝6，x2＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（6，0）；
（2）方法一：如圖1，
連接OP，
設(shè)點(diǎn)P（m，﹣2m﹣6），
∴S△POC＝xP＝＝3m，
S△BOP＝|yP|＝+2m+6），
∵S△BOC＝＝18，
∴S△PBC＝S四邊形PBOC﹣S△BOC
＝（S△POC+S△POB）﹣S△BOC
＝3m+3（﹣+2m+6）﹣18
＝﹣（m﹣3）2+，
∴當(dāng)m＝3時(shí)，S△PBC最大＝；
方法二：如圖2，
作PQ⊥AB于Q，交BC于點(diǎn)D，
∵B（6，0），C（0，﹣6），
∴直線BC的解析式為：y＝x﹣6，
∴D（m，m﹣6），
∴PD＝（m﹣6）﹣（﹣2m﹣6）＝﹣+3m，
∴S△PBC＝＝＝﹣（m﹣3）2+，
∴當(dāng)m＝3時(shí)，S△PBC最大＝；
（3）如圖3，
當(dāng)?ACFE時(shí)，AE∥CF，
∵拋物線對(duì)稱軸為直線：x＝＝2，
∴F1點(diǎn)的坐標(biāo)：（4，﹣6），
如圖4，
當(dāng)?ACEF時(shí)，
作FG⊥AE于G，
∴FG＝OC＝6，
當(dāng)y＝6時(shí)，x2﹣2x﹣6＝6，
∴x1＝2+2，x2＝2﹣2，
∴F2（2+2，6），F(xiàn)3（2﹣2，6），
綜上所述：F（4，﹣6）或（2+2，6）或（2﹣2，6）．
7．（2022?宜賓）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（3，0）、B（﹣1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），其頂點(diǎn)為點(diǎn)D，連結(jié)AC．
（1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上取一點(diǎn)E，點(diǎn)F為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，使得以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)、AC為邊的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（3，0）、B（﹣1，0），C（0，3），
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）；
（2）設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，
把A（3，0），C（0，3）代入，得，
∴，
∴直線AC的解析式為y＝﹣x+3，
過點(diǎn)F作FG⊥DE于點(diǎn)G，
∵以A，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為邊的平行四邊形，
∴AC＝EF，AC∥EF，
∵OA∥FG，
∴∠OAC＝∠GFE，
∴△OAC≌△GFE（AAS），
∴OA＝FG＝3，
設(shè)F（m，﹣m2+2m+3），則G（1，﹣m2+2m+3），
∴FG＝|m﹣1|＝3，
∴m＝﹣2或m＝4，
當(dāng)m＝﹣2時(shí)，﹣m2+2m+3＝﹣5，
∴F1（﹣2，﹣5），
當(dāng)m＝4時(shí)，﹣m2+2m+3＝﹣5，
∴F2（4，﹣5）
綜上所述，滿足條件點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣2，﹣5）或（4，﹣5）；
7．（2022?重慶）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，3）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P為直線AB上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，交AB于點(diǎn)M，求PM+AM的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P′與點(diǎn)P關(guān)于拋物線y＝﹣x2+bx+c的對(duì)稱軸對(duì)稱．將拋物線y＝﹣x2+bx+c向右平移，使新拋物線的對(duì)稱軸l經(jīng)過點(diǎn)A．點(diǎn)C在新拋物線上，點(diǎn)D在l上，直接寫出所有使得以點(diǎn)A、P′、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)D的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)D的坐標(biāo)的過程寫出來．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，3）．
∴，
∴．
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣；
（2）∵A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
由勾股定理得，AB＝5，
∵PQ⊥OA，
∴PQ∥OB，
∴△AQM∽△AOB，
∴MQ：AQ：AM＝3：4：5，
∴AM＝，，
∴PM+，
∵B（0，3），A（4，0），
∴l(xiāng)AB：y＝﹣，
∴設(shè)P（m，﹣），M（m，﹣），Q（m，0），
∴PM+2MQ＝﹣＝﹣，
∵﹣，
∴開口向下，0＜m＜4，
∴當(dāng)m＝1時(shí)，PM+的最大值為，此時(shí)P（1，）；
（3）由y＝﹣知，對(duì)稱軸x＝，
∴P'（2，），
∵直線l：x＝4，
∴拋物線向右平移個(gè)單位，
∴平移后拋物線解析式為y'＝﹣，
設(shè)D（4，t），C（c，﹣），
①AP'與DC為對(duì)角線時(shí)，
，
∴，
∴D（4，），
②P'D與AC為對(duì)角線時(shí)，
，
∴，
∴D（4，﹣），
③AD與P'C為對(duì)角線時(shí)，
，
∴，
∴D（4，），
綜上：D（4，）或（4，﹣）或（4，）．
8．（2022?青羊區(qū)校級(jí)模擬）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如圖1，點(diǎn)P在線段AC上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)（不與A，C重合），過點(diǎn)P作PD⊥AB，垂足為D，PD交AC于點(diǎn)E．作PF⊥AC，垂足為F，求△PEF的面積的最大值；
（3）如圖2，點(diǎn)Q是拋物線的對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A，P，C，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，
∴設(shè)y＝a（x+3）（x﹣1），把C（0，3）代入，得：3＝a×（0+3）×（0﹣1），
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3，
∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴OA＝OC＝3，
∴∠ACO＝45°，
∵PD⊥AB，OC⊥AB，
∴PD∥OC，
∴∠PEF＝∠ACO＝45°，
∵PF⊥AC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
如圖1，過點(diǎn)F作FH⊥PE于點(diǎn)H，
則FH＝PE，
∴S△PEF＝×PE×FH＝PE2，
當(dāng)PE最大時(shí)，S△PEF最大，
設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+d，
則，
解得：，
∴直線AC的解析式為y＝x+3，
設(shè)P（t，﹣t2﹣2t+3），則E（t，t+3），
∴PE＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t＝﹣（t+）2+，
∵﹣1＜0，
∴當(dāng)t＝﹣時(shí)，PE取得最大值，
∴S△PEF＝PE2＝×（）2＝，
∴△PEF的面積的最大值為；
（3）①當(dāng)AC為平行四邊形的邊時(shí)，則有PQ∥AC，且PQ＝AC，
如圖2，過點(diǎn)P作對(duì)稱軸的垂線，垂足為G，設(shè)AC交對(duì)稱軸于點(diǎn)H，
則∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，
在△PQG和△ACO中，
，
∴△PQG≌△ACO（AAS），
∴PG＝AO＝3，
∴點(diǎn)P到對(duì)稱軸的距離為3，
又∵y＝﹣（x+1）2+4，
∴拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，
設(shè)點(diǎn)P（x，y），則|x+1|＝3，
解得：x＝2或x＝﹣4，
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣5，
當(dāng)x＝﹣4時(shí)，y＝﹣5，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；
②當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
如圖3，設(shè)AC的中點(diǎn)為M，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴M（﹣，），
∵點(diǎn)Q在對(duì)稱軸上，
∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為﹣1，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，
根據(jù)中點(diǎn)公式得：x+（﹣1）＝2×（﹣）＝﹣3，
∴x＝﹣2，此時(shí)y＝3，
∴P（﹣2，3）；
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．
9．（2022?九龍坡區(qū)自主招生）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A，B分別位于原點(diǎn)的左右兩側(cè)，且BO＝3AO＝3．已知直線y＝kx+n過B，C兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
①如圖1，若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，連接PA，交直線BC于點(diǎn)D．記△PDC的面積為S1，△ADC的面積為S2，若S1：S2＝1：2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②如圖2，拋物線的對(duì)稱軸l與x軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為F．點(diǎn)Q是對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)E，F(xiàn)，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）∵BO＝3AO＝3．
∴AO＝1．
∴A（﹣1，0），B（3，0），
把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，
解得，
拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3；
（2）①∵y＝﹣x2+2x+3，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，3），
把B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+n得：，
解得，
∴直線BC的表達(dá)式為y＝﹣x+3．
過P作PM⊥x軸交BC于M，過A作AN⊥x軸交BC于N，如圖1，
AN∥PM，
∴△PMD∽△AND，
∴，
∴＝，
設(shè)P（m，﹣m2+2m+3），則M（m，﹣m+3），
∴PM＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵A（﹣1，0），
∴N（﹣1，4），
∴AN＝4，
∴＝，
∴m＝1或2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4）或（2，3）；
②存在，理由如下：過點(diǎn)F作FG⊥OB于G，如圖2中，
∵y＝﹣x2+2x+3的對(duì)稱軸為x＝1，
∴OE＝1，
∵B（3，0），C（0，3）
∴OC＝OB＝3，
又∵∠COB＝90°，
∴△OCB是等腰直角三角形，
∵∠EFB＝90°，BE＝OB﹣OE＝2，
∴△EFB是等腰直角三角形，
∴FG＝GB＝EG＝1，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，1），
當(dāng)EF為邊時(shí)，
∵四邊形EFPQ為平行四邊形，
∴QE＝PF，QE∥PF∥y軸，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與點(diǎn)F的橫坐標(biāo)同為2，
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣22+2×2+3＝3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3），
∴QE＝PF＝3﹣1＝2，
點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，2），
根據(jù)對(duì)稱性當(dāng)P（0，3）時(shí)，Q（1，4）時(shí)，四邊形EFQP也是平行四邊形．
當(dāng)EF為對(duì)角線時(shí)，如圖3中，
∵四邊形PEQF為平行四邊形，
∴QE＝PF，QE∥PF∥y軸，
同理求得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3），
∴QE＝PF＝3﹣1＝2，
點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，﹣2）；
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，2）或（1，﹣2），P（0，3）時(shí)，Q（1，4）．
10．（2022?鄂爾多斯）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+2經(jīng)過A（，0），B（3，）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P在拋物線上，過P作PD⊥x軸，交直線BC于點(diǎn)D，若以P、D、O、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；
【解答】解：（1）將點(diǎn)A（﹣，0），B（3，）代入到y(tǒng)＝ax2+bx+2中得：
，解得：，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+2；
（2）設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2+m+2），
∵y＝﹣x2+x+2，
∴C（0，2），
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+c，
∴，解得，
∴直線BC的解析式為y＝x+2，
∴D（m，m+2），
∴PD＝|﹣m2+m+2﹣m﹣2|＝|m2﹣3m|，
∵PD⊥x軸，OC⊥x軸，
∴PD∥CO，
∴當(dāng)PD＝CO時(shí)，以P、D、O、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴|m2﹣3m|＝2，解得m＝1或2或或，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1或2或或；

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