1．（2023?徐州）如圖，在平面直角坐標系中，函數(shù)y＝﹣ax2+2ax+3a（a＞0）的圖象交x軸于點A、B，交y軸于點C，它的對稱軸交x軸于點E．過點C作CD∥x軸交拋物線于點D，連接DE并延長交y軸于點F，交拋物線于點G．直線AF交CD于點H，交拋物線于點K，連接HE、GK．
（1）點E的坐標為： ；
（2）當△HEF是直角三角形時，求a的值；
2．（2023?通遼）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A，B，與y軸交于點C．且直線y＝x﹣6過點B，與y軸交于點D，點C與點D關于x軸對稱，點P是線段OB上一動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M，交直線BD于點N．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）當△MDB的面積最大時，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，在y軸上是否存在點Q，使得以Q，M，N三點為頂點的三角形是直角三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由．
3．（2023?廣元）如圖，直線y＝﹣2x+10分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點C為OB的中點，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A，C兩點．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）點P為拋物線上一點，若△APB是以AB為直角邊的直角三角形，求點P到拋物線的對稱軸的距離．
4．（2022?南岸區(qū)校級模擬）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸分別交于A、B兩點，與y軸交于點C，連接AC、BC，其中A（﹣2，0），C（0，6）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是直線BC上方拋物線上一點，過點P作PE∥y軸交BC于點E，作PF∥x軸交BC于點F，求CF+BE的最小值，及此時點P的坐標；
（3）如圖2，x軸上有一點Q（﹣1，0），將拋物線向x軸正方向平移，使得拋物線恰好經(jīng)過點Q，得到新拋物線y1，點D是新拋物線y1與原拋物線的交點，點E是新拋物線y1上一動點，連接DQ，當△DQE是以DQ為直角邊的直角三角形時，直接寫出所有符合條件的點E的坐標．
5．（2022?遼寧）如圖，拋物線y＝ax2﹣3x+c與x軸交于A（﹣4，0），B兩點，與y軸交于點C（0，4），點D為x軸上方拋物線上的動點，射線OD交直線AC于點E，將射線OD繞點O逆時針旋轉45°得到射線OP，OP交直線AC于點F，連接DF．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當△ODF為直角三角形時，請直接寫出點D的坐標．
6．（2022?雁峰區(qū)校級模擬）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C，直線y＝x+1與x軸交于點E，與y軸交于點D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）M在直線DE上，當△CDM為直角三角形時，求出點M的坐標．
7．（2022?平南縣二模）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且A（﹣1，0），對稱軸為直線x＝2．
（1）求該拋物線的表達式；
（2）直線l過點A與拋物線交于點P，當∠PAB＝45°時，求點P的坐標；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
8．（2022?滕州市二模）拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點．與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．
（1）求A，B，C，D的坐標；
（2）點P為拋物線上的動點，當△PAC是直角三角形時，求點P的坐標；
9．（2022?市中區(qū)二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，交y軸于點C，動點P在拋物線的對稱軸上．
（1）求拋物線的關系式；
（2）當以P，A，C為頂點的三角形周長最小時，求點P的坐標及△PAC的周長；
（3）若點Q是直線BC上方拋物線上一點，當△BCQ為直角三角形時，求出點Q的坐標．
專題07 二次函數(shù)與直角三角形有關問題（專項訓練）
1．（2023?徐州）如圖，在平面直角坐標系中，函數(shù)y＝﹣ax2+2ax+3a（a＞0）的圖象交x軸于點A、B，交y軸于點C，它的對稱軸交x軸于點E．過點C作CD∥x軸交拋物線于點D，連接DE并延長交y軸于點F，交拋物線于點G．直線AF交CD于點H，交拋物線于點K，連接HE、GK．
（1）點E的坐標為： ；
（2）當△HEF是直角三角形時，求a的值；
【解答】解：（1）對于拋物線y＝﹣ax2+2ax+3a，對稱軸x＝﹣＝1，
∴E（1，0），
故答案為（1，0）．
（2）如圖，連接EC．
對于拋物線y＝﹣ax2+2ax+3a，令x＝0，得到y(tǒng)＝3a，
令y＝0，﹣ax2+2ax+3a＝0，解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3a），
∵C，D關于對稱軸對稱，
∴D（2，3a），CD＝2，EC＝DE，
當∠HEF＝90°時，
∵ED＝EC，
∴∠ECD＝∠EDC，
∵∠DCF＝90°，
∴∠CFD+∠EDC＝90°，∠ECF+∠ECD＝90°，
∴∠ECF＝∠EFC，
∴EC＝EF＝DE，
∵EA∥DH，
∴FA＝AH，
∴AE＝DH，
∵AE＝2，
∴DH＝4，
∵HE⊥DFEF＝ED，
∴FH＝DH＝4，
在Rt△CFH中，則有42＝22+（6a）2，
解得a＝或﹣（不符合題意舍棄），
∴a＝．
當∠HFE＝90°時，∵OA＝OE，F(xiàn)O⊥AE，
∴FA＝FE，
∴OF＝OA＝OE＝1，
∴3a＝1，
∴a＝，
綜上所述，滿足條件的a的值為或．
2．（2023?通遼）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A，B，與y軸交于點C．且直線y＝x﹣6過點B，與y軸交于點D，點C與點D關于x軸對稱，點P是線段OB上一動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M，交直線BD于點N．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）當△MDB的面積最大時，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，在y軸上是否存在點Q，使得以Q，M，N三點為頂點的三角形是直角三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由．
【解答】解：（1）令y＝0，得y＝x﹣6＝0，
解得x＝6，
∴B（6，0），
令x＝0，得y＝x﹣6＝﹣6，
∴D（0，﹣6），
∵點C與點D關于x軸對稱，
∴C（0，6），
把B、C點坐標代入y＝﹣x2+bx+c中，得
，
解得，，
∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+5x+6；
（2）設P（m，0），則M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），
則MN＝﹣m2+4m+12，
∴S△MDB＝＝﹣3m2+12m+36＝﹣3（m﹣2）2+48，
∵﹣3＜0，
∴當m＝2時，△MDB的面積最大，
此時，P點的坐標為（2，0）；
（3）由（2）知，M（2，12），N（2，﹣4），
當∠QMN＝90°時，QM∥x軸，則Q（0，12）；
當∠MNQ＝90°時，NQ∥x軸，則Q（0，﹣4）；
當∠MQN＝90°時，設Q（0，n），則QM2+QN2＝MN2，
即4+（12﹣n）2+4+（n+4）2＝（12+4）2，
解得，n＝4±2，
∴Q（0，4+2）或（0，4﹣2）．
綜上，存在以Q，M，N三點為頂點的三角形是直角三角形．其Q點坐標為（0，12）或（0，﹣4）或（0，4+2）或（0，4﹣2）．
3．（2023?廣元）如圖，直線y＝﹣2x+10分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點C為OB的中點，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A，C兩點．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）點P為拋物線上一點，若△APB是以AB為直角邊的直角三角形，求點P到拋物線的對稱軸的距離．
【解答】解：（1）直線y＝﹣2x+10中，
令x＝0，則y＝10，令y＝0，則x＝5，
∴A（5，0），B（0，10），
∵點C是OB中點，
∴C（0，5），將A和C代入拋物線y＝x2+bx+c中，，解得：，
∴拋物線表達式為：y＝x2﹣6x+5；
（3）拋物線表達式為：y＝x2﹣6x+5，
∵△APB是以AB為直角邊的直角三角形，
設點P（n，n2﹣6n+5），∵A（5，0），B（0，10），
∴AP2＝（n﹣5）2+（n2﹣6n+5）2，BP2＝n2+（n2﹣6n+5﹣10）2，AB2＝125，
當點A為直角頂點時，
BP2＝AB2+AP2，
解得：n＝或5（舍），
當點B為直角頂點時，
AP2＝AB2+BP2，
解得：n＝或，
而拋物線對稱軸為直線x＝3，
則3﹣＝，﹣3＝，3﹣＝，
綜上：點P到拋物線對稱軸的距離為：或或．
4．（2022?南岸區(qū)校級模擬）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸分別交于A、B兩點，與y軸交于點C，連接AC、BC，其中A（﹣2，0），C（0，6）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是直線BC上方拋物線上一點，過點P作PE∥y軸交BC于點E，作PF∥x軸交BC于點F，求CF+BE的最小值，及此時點P的坐標；
（3）如圖2，x軸上有一點Q（﹣1，0），將拋物線向x軸正方向平移，使得拋物線恰好經(jīng)過點Q，得到新拋物線y1，點D是新拋物線y1與原拋物線的交點，點E是新拋物線y1上一動點，連接DQ，當△DQE是以DQ為直角邊的直角三角形時，直接寫出所有符合條件的點E的坐標．
【解答】解：（1）將A（﹣2，0），C（0，6）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+6；
（2）令y＝0，則﹣x2+x+6＝0，
解得x＝3或x＝﹣2，
∴B（3，0），
設直線BC的的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直線BC的解析式為y＝﹣2x+6，
設P（m，﹣m2+m+6），則E（m，﹣2m+6），
∴PE＝﹣m2+3m，
∵PE∥y軸，PF∥x軸，
∴∠PFE＝∠CBO，∠PEF＝∠BCO，
∴△PEF∽△OBC，
∴PF：PE：FE＝OB：OC：BC＝1：2：，
∴EF＝PE×＝（﹣m2+3m），
∵BE+CF＝CB﹣EF＝3﹣（﹣m2+3m）＝（m﹣）2+，
∴當m＝時，BE+CF有最小值，
此時P（，）；
（3）∵y＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+，
設平移后的拋物線解析式為y＝﹣（x﹣﹣t）2+，
∵平移后拋物線經(jīng)過Q（﹣1，0），
∴﹣（﹣1﹣﹣t）2+＝0，
解得t＝1或t＝﹣4（舍），
∴平移后的拋物線解析式為y＝﹣（x﹣）2+，
聯(lián)立方程組，
解得，
∴D（1，6），
設E（n，﹣n2+3n+4），
∴DQ2＝40，DE2＝（n﹣1）2+（﹣n2+3n﹣2）2，QE2＝（n+1）2+（﹣n2+3n+4）2，
①當EQ2＝DE2+DQ2時，（n+1）2+（﹣n2+3n+4）2＝（n﹣1）2+（﹣n2+3n﹣2）2+40，
解得n＝1（舍）或n＝，
∴E（，）；
②當ED2＝EQ2+DQ2時，（n﹣1）2+（﹣n2+3n﹣2）2＝40+（n+1）2+（﹣n2+3n+4）2，
解得n＝﹣1（舍）或n＝，
∴E（，﹣）；
綜上所述：E點坐標為（，）或（，﹣）．
5．（2022?遼寧）如圖，拋物線y＝ax2﹣3x+c與x軸交于A（﹣4，0），B兩點，與y軸交于點C（0，4），點D為x軸上方拋物線上的動點，射線OD交直線AC于點E，將射線OD繞點O逆時針旋轉45°得到射線OP，OP交直線AC于點F，連接DF．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當△ODF為直角三角形時，請直接寫出點D的坐標．
【解答】解：（1）將點A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）設F（t，t+4），
當∠FDO＝90°時，過點D作MN⊥y軸交于點N，過點F作FM⊥MN交于點M，
∵∠DOF＝45°，
∴DF＝DO，
∵∠MDF+∠NDO＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，
∴∠NDO＝∠MFD，
∴△MDF≌△NOD（AAS），
∴DM＝ON，MF＝DN，
∴DN+ON＝﹣t，DN＝ON+（﹣t﹣4），
∴DN＝﹣t﹣2，ON＝2，
∴D點縱坐標為2，
∴﹣x2﹣3x+4＝2，
解得x＝或x＝，
∴D點坐標為（，2）或（，2）；
當∠DFO＝90°時，過點F作KL⊥x軸交于L點，過點D作DK⊥KL交于點K，
∵∠KFD+∠LFO＝90°，∠KFD+∠KDF＝90°，
∴∠LFO＝∠KDF，
∵DF＝FO，
∴△KDF≌△LFO（AAS），
∴KD＝FL，KF＝LO，
∴KL＝t+4﹣t＝4，
∴D點縱坐標為4，
∴﹣x2﹣3x+4＝4，
解得x＝0或x＝﹣3，
∴D（0，4）或（﹣3，4）；
綜上所述：D點坐標為（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．
6．（2022?雁峰區(qū)校級模擬）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C，直線y＝x+1與x軸交于點E，與y軸交于點D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）M在直線DE上，當△CDM為直角三角形時，求出點M的坐標．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式是y＝﹣x2+2x+3；
（3）令x＝0，則y＝﹣x2+2x+3＝3，
∴OC＝3，
∴CD＝OC﹣OD＝2，
設M（a，a+1），
∴CM2＝a2+（3﹣a﹣1）2＝a2﹣2a+4，
DM2＝a2+（a+1﹣1）2＝a2，
①當∠CMD＝90°時，
∴CD2＝CM2+DM2，
∴22＝a2﹣2a+4+a2，
解得：a1＝，a2＝0（舍去），
當a＝時，a+1＝，
∴M（，）；
②當∠DCM＝90°時，
∴CD2+CM2＝DM2，
∴22+a2﹣2a+4＝a2，
解得：a＝4，
當a＝4時，a+1＝3，
∴M（4，3）；
解法二：∵∠DCM＝90°，
∴CM∥x軸，
∴a+1＝3，解得a＝4，
∴M（4，3）；
綜上所述：點M的坐標為（，）或（4，3）．
7．（2022?平南縣二模）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且A（﹣1，0），對稱軸為直線x＝2．
（1）求該拋物線的表達式；
（2）直線l過點A與拋物線交于點P，當∠PAB＝45°時，求點P的坐標；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）設y＝（x﹣2）2+k，把A（﹣1，0）代入得：
（﹣1﹣2）2+k＝0，
解得：k＝﹣9，
∴y＝（x﹣2）2﹣9＝x2﹣4x﹣5，
答：拋物線的解析式為y＝x2﹣4x﹣5；
（2）過點P作PM⊥x軸于點M，如圖：
設P（m，m2﹣4m﹣5），則PM＝|m2﹣4m﹣5|，
∵A（﹣1，0），
∴AM＝m+1
∵∠PAB＝45°
∴AM＝PM，
∴|m2﹣4m﹣5|＝m+1，
即m2﹣4m﹣5＝m+1或m2﹣4m﹣5＝﹣（m+1），
當m2﹣4m﹣5＝m+1時，解得：m1＝6，m2＝﹣1（不合題意，舍去），
當m2﹣4m﹣5＝﹣（m+1），解得m3＝4，m4＝﹣1（不合題意，舍去），
∴P的坐標是（6，7）或P（4，﹣5）；
（3）在拋物線的對稱軸上存在一點Q，使得△BCQ是直角三角形，理由如下：
在y＝x2﹣4x﹣5中，令x＝0得y＝﹣5，令y＝0得x＝﹣1或x＝5，
∴B（5，0），C（0，﹣5），
由拋物線y＝x2﹣4x﹣5的對稱軸為直線x＝2，設Q（2，t），
∴BC2＝50，BQ2＝9+t2，CQ2＝4+（t+5）2，
當BC為斜邊時，BQ2+CQ2＝BC2，
∴9+t2+4+（t+5）2＝50，
解得t＝﹣6或t＝1，
∴此時Q坐標為（2，﹣6）或（2，1）；
當BQ為斜邊時，BC2+CQ2＝BQ2，
∴50+4+（t+5）2＝9+t2，
解得t＝﹣7，
∴此時Q坐標為（2，﹣7）；
當CQ為斜邊時，BC2+BQ2＝CQ2，
∴50+9+t2＝4+（t+5）2，
解得t＝3，
∴此時Q坐標為（2，3）；
綜上所述，Q的坐標為（2，3）或（2，﹣7）或（2，1）或（2，﹣6）．
8．（2022?滕州市二模）拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點．與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．
（1）求A，B，C，D的坐標；
（2）點P為拋物線上的動點，當△PAC是直角三角形時，求點P的坐標；
【解答】解：（1）令x＝0，則y＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，則﹣x2+2x+3＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴頂點D（1，4）；
（2）設P（t，﹣t2+2t+3），
如圖1，當∠ACP＝90°時，過點C作EF∥x軸，過點A作AE⊥EF交于E點，過點P作PF⊥EF交于F點，
∵∠FCP+∠ECA＝90°，∠ECA+∠EAC＝90°，
∴∠EAC＝∠FCP，
∴△CEA∽△PFC，
∴＝，
∵EC＝1，EA＝3，PF＝3﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t，CF＝t，
∴＝，
∴t＝0（舍）或t＝，
∴P（，）；
如圖2，當∠CAP＝90°時，過點A作GH∥y軸，過點C作CG⊥GH交于G點，過點P作PH⊥GH交于H點，
∵∠GAC+∠HAP＝90°，∠GAC+∠GCA＝90°，
∴∠HAP＝∠GCA，
∴△GAC∽△HPA，
∴＝，
∵GC＝1，GA＝3，AH＝t2﹣2t﹣3，PH＝t+1，
∴＝，
解得t＝﹣1（舍）或t＝，
∴P（，﹣）；
當∠APC＝90°時，在拋物線上不存在點P；
綜上所述：P點坐標為（，）或（，﹣）；
9．（2022?市中區(qū)二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，交y軸于點C，動點P在拋物線的對稱軸上．
（1）求拋物線的關系式；
（2）當以P，A，C為頂點的三角形周長最小時，求點P的坐標及△PAC的周長；
（3）若點Q是直線BC上方拋物線上一點，當△BCQ為直角三角形時，求出點Q的坐標．
【解答】解：（1）∵將A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，
∴，
解得：，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
點A、B關于對稱軸對稱，連接BC交對稱軸于點P，則點P為所求的點．
∴AP＝BP，
∴△PAC的周長＝PA+PC+AC＝PB+PC+AC≥BC+AC，
當B、P、C三點共線時，△PAC周長的最小值是AC+BC，
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴，，
∴△PAC周長的最小值是，
∵y＝﹣x2+2x+3﹣（x﹣1）2+4，
∴對稱軸為直線x＝1，
設直線BC的解析式為y＝kx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+3，
∴P（1，2）；
（3）設Q的坐標為（m，﹣m2+2m+3），
如圖1，當∠BCQ＝90°時，過點Q作QM⊥y軸于點M，
∵∠QCM+∠BCO＝90°，∠QMC＝∠BOC＝90°，
∴∠QCM+∠MQC＝90°，
∴∠MQC＝∠OCB，
∴△MQC∽△OCB，
∵QM＝m，MC＝﹣m2+2m，
∴，即，
解得：m＝0（舍）或m＝1，
∴Q（1，4）；
如圖2，當∠CQB＝90°時，過點Q作QM⊥y軸于點M，過點B作BN⊥QM，交MQ的延長線于點N，
∵∠CQM+∠BQN＝90°，∠QNB＝∠CMQ＝90°，
∴∠BQN+∠QBN＝90°，
∴∠QBN＝∠CQM，
∴△QMC∽△BNQ，
∵QN＝3﹣m，BN＝﹣m2+2m+3，
∴，即，
解得：或（舍），
∴Q；
當∠QBC＝90°時，顯然不成立；
綜上所述，點Q的坐標為（1，4）或．

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2024年中考數(shù)學專題訓練 專題08 二次函數(shù)與平行四邊形有關問題（專項訓練）（原卷版+解析）：

這是一份2024年中考數(shù)學專題訓練 專題08 二次函數(shù)與平行四邊形有關問題（專項訓練）（原卷版+解析），共30頁。試卷主要包含了，其頂點為點D，連結AC，，點P是拋物線上的一個動點，兩點，與y軸交于點C等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024年中考數(shù)學專題訓練 專題07 二次函數(shù)與直角三角形有關問題（專項訓練）（原卷版+解析）：

這是一份2024年中考數(shù)學專題訓練 專題07 二次函數(shù)與直角三角形有關問題（專項訓練）（原卷版+解析），共21頁。試卷主要包含了，對稱軸為直線x＝2等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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