1．（2022?成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝kx﹣3（k≠0）與拋物線y＝﹣x2相交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），點B關(guān)于y軸的對稱點為B'．
（1）當(dāng)k＝2時，求A，B兩點的坐標(biāo)；
（2）連接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面積與△OAB的面積相等，求k的值；
2．（2023?棗莊）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過坐標(biāo)原點和點A，頂點為點M．
（1）求拋物線的關(guān)系式及點M的坐標(biāo)；
（2）點E是直線AB下方的拋物線上一動點，連接EB，EA，當(dāng)△EAB的面積等于時，求E點的坐標(biāo)；
3．（2023?柳州）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線：y＝ax2+bx+c交x軸于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣）．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）如圖1，點D為第四象限拋物線上一點，連接OD，過點B作BE⊥OD，垂足為E，若BE＝2OE，求點D的坐標(biāo)；
（3）如圖2，點M為第四象限拋物線上一動點，連接AM，交BC于點N，連接BM，記△BMN的面積為S1，△ABN的面積為S2，求的最大值．
4．（2023?宿遷）二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖象與x軸交于A（2，0），B（6，0）兩點，與y軸交于點C，頂點為E．
（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式，并寫出點E的坐標(biāo)；
（2）如圖①，D是該二次函數(shù)圖象的對稱軸上一個動點，當(dāng)BD的垂直平分線恰好經(jīng)過點C時，求點D的坐標(biāo)；
（3）如圖②，P是該二次函數(shù)圖象上的一個動點，連接OP，取OP中點Q，連接QC，QE，CE，當(dāng)△CEQ的面積為12時，求點P的坐標(biāo)．
5．（2023?淄博）如圖，在直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是平行四邊形，經(jīng)過A（﹣2，0），B，C三點的拋物線y＝ax2+bx+（a＜0）與x軸的另一個交點為D，其頂點為M，對稱軸與x軸交于點E．
（1）求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）已知R是拋物線上的點，使得△ADR的面積是?OABC的面積的，求點R的坐標(biāo)；
6．（2023?天水）如圖所示，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且點A的坐標(biāo)為A（﹣2，0），點C的坐標(biāo)為C（0，6），對稱軸為直線x＝1．點D是拋物線上一個動點，設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m（1＜m＜4），連接AC，BC，DC，DB．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)△BCD的面積等于△AOC的面積的時，求m的值；
7．（2023?沈陽）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），點B坐標(biāo)是（3，0）．拋物線與y軸交于點C（0，3），點P是拋物線的頂點，連接PC．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式并直接寫出頂點P的坐標(biāo)．
（2）直線BC與拋物線對稱軸交于點D，點Q為直線BC上一動點．當(dāng)△QAB的面積等于△PCD面積的2倍時，求點Q的坐標(biāo)；
8．（2023?遼寧）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A和點C（﹣1，0），與y軸交于點B（0，3），連接AB，BC，點P是拋物線第一象限上的一動點，過點P作PD⊥x軸于點D，交AB于點E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，作PF⊥PD于點P，使PF＝OA，以PE，PF為鄰邊作矩形PEGF．當(dāng)矩形PEGF的面積是△BOC面積的3倍時，求點P的坐標(biāo)；
9．（2022?南寧一模）如圖1所示拋物線與x軸交于O，A兩點，OA＝6，其頂點與x軸的距離是6．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P在拋物線上，過點P的直線y＝x+m與拋物線的對稱軸交于點Q．
當(dāng)△POQ與△PAQ的面積之比為1：3時，求m的值；
10.（2022?本溪二模）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（3，0），C（﹣1，0）兩點，與y軸交于點B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點M是線段AB上方拋物線上一動點，以AB為邊作平行四邊形ABMD，連接OM，若OM將平行四邊形ABMD的面積分成為1：7的兩部分，求點M的橫坐標(biāo)；
11．（2022?新?lián)釁^(qū)模擬）如圖，直線y＝mx+n與拋物線y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣2，0），B（2，2）兩點，直線AB與y軸交于點C．
（1）求拋物線與直線AB的解析式；
（2）點P在拋物線上，直線PC交x軸于Q，連接PB，當(dāng)△PBC的面積是△ACQ面積的2倍時，求點P的坐標(biāo)；
12．（2022?福建）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過A（4，0），B（1，4）兩點．P是拋物線上一點，且在直線AB的上方．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若△OAB面積是△PAB面積的2倍，求點P的坐標(biāo)；
13．（2022?蘇州二模）如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，OA＝OC＝3．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點P為直線AC下方拋物線上一點，連接BP并交AC于點Q，若AC分∠△ABP的面積為1：2兩部分，請求出點P的坐標(biāo)；
專題03 二次函數(shù)與面積有關(guān)問題（專項訓(xùn)練）
1．（2022?成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝kx﹣3（k≠0）與拋物線y＝﹣x2相交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），點B關(guān)于y軸的對稱點為B'．
（1）當(dāng)k＝2時，求A，B兩點的坐標(biāo)；
（2）連接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面積與△OAB的面積相等，求k的值；
【解答】解：（1）當(dāng)k＝2時，直線為y＝2x﹣3，
由得：或，
∴A（﹣3，﹣9），B（1，﹣1）；
（2）當(dāng)k＞0時，如圖：
∵△B'AB的面積與△OAB的面積相等，
∴OB'∥AB，
∴∠OB'B＝∠B'BC，
∵B、B'關(guān)于y軸對稱，
∴OB＝OB'，∠ODB＝∠ODB'＝90°，
∴∠OB'B＝∠OBB'，
∴∠OBB'＝∠B'BC，
∵∠ODB＝90°＝∠CDB，BD＝BD，
∴△BOD≌△BCD（ASA），
∴OD＝CD，
在y＝kx﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），OC＝3，
∴OD＝OC＝，D（0，﹣），
在y＝﹣x2中，令y＝﹣得﹣＝﹣x2，
解得x＝或x＝﹣，
∴B（，﹣），
把B（，﹣）代入y＝kx﹣3得：
﹣＝k﹣3，
解得k＝；
當(dāng)k＜0時，過B'作B'F∥AB交y軸于F，如圖：
在y＝kx﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，
∴E（0，﹣3），OE＝3，
∵△B'AB的面積與△OAB的面積相等，
∴OE＝EF＝3，
∵B、B'關(guān)于y軸對稱，
∴FB＝FB'，∠FGB＝∠FGB'＝90°，
∴∠FB'B＝∠FBB'，
∵B'F∥AB，
∴∠EBB'＝∠FB'B，
∴∠EBB'＝∠FBB'，
∵∠BGE＝90°＝∠BGF，BG＝BG，
∴△BGF≌△BGE（ASA），
∴GE＝GF＝EF＝，
∴OG＝OE+GE＝，G（0，﹣），
在y＝﹣x2中，令y＝﹣得﹣＝﹣x2，
解得x＝或x＝﹣，
∴B（，﹣），
把B（，﹣）代入y＝kx﹣3得：
﹣＝k﹣3，
解得k＝﹣，
綜上所述，k的值為或﹣；
2．（2023?棗莊）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過坐標(biāo)原點和點A，頂點為點M．
（1）求拋物線的關(guān)系式及點M的坐標(biāo)；
（2）點E是直線AB下方的拋物線上一動點，連接EB，EA，當(dāng)△EAB的面積等于時，求E點的坐標(biāo)；
【解答】解：（1）對于y＝﹣x+3，令y＝﹣x+3＝0，解得x＝6，令x＝0，則y＝3，
故點A、B的坐標(biāo)分別為（6，0）、（0，3），
∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過坐標(biāo)原點，故c＝0，
將點A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：0＝×36+6b，解得b＝﹣2，
故拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣2x；
則拋物線的對稱軸為x＝3，當(dāng)x＝3時，y＝x2﹣2x＝﹣3，
則點M的坐標(biāo)為（3，﹣3）；
（2）如圖1，過點E作EH∥y軸交AB于點H，
設(shè)點E的坐標(biāo)為（x，x2﹣2x），則點H（x，﹣x+3），
則△EAB的面積＝S△EHB+S△EHA＝×EH×OA＝6×（﹣x+3﹣x2+2x）＝，
解得x＝1或，
故點E的坐標(biāo)為（1，﹣）或（，﹣）；
3．（2023?柳州）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線：y＝ax2+bx+c交x軸于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣）．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）如圖1，點D為第四象限拋物線上一點，連接OD，過點B作BE⊥OD，垂足為E，若BE＝2OE，求點D的坐標(biāo)；
（3）如圖2，點M為第四象限拋物線上一動點，連接AM，交BC于點N，連接BM，記△BMN的面積為S1，△ABN的面積為S2，求的最大值．
【解答】解：（1）依題意，設(shè)y＝a（x+1）（x﹣3），
代入C（0，﹣）得：a?1?（﹣3）＝﹣，
解得：a＝，
∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣x﹣；
（2）∵BE＝2OE，
設(shè)OE為x，BE＝2x，
由勾股定理得：OE2+BE2＝OB2，
x2+4x2＝9，
解得：x1＝，x2＝﹣（舍），
∴OE＝，BE＝，
過點E作TG平行于OB，T在y軸上，過B作BG⊥TG于G，
∴△ETO∽△OEB，
∴＝＝，
∴OE2＝OB?TE，
∴TE＝＝，
∴OT＝＝，
∴E（，﹣），
∴直線OE的解析式為y＝﹣2x，
∵OE的延長線交拋物線于點D，
∴，
解得：x1＝1，x2＝﹣3（舍），
當(dāng)x＝1時，y＝﹣2，
∴D（1，﹣2）；
（3）如圖所示，延長BC于點F，AF∥y軸，過A點作AH⊥BF于點H，作MT∥y軸交BF于點T，過M點作MG⊥BF于點J，
∵AF∥MT，
∴∠AFH＝∠MTJ，
∵AH⊥BF，MJ⊥BF，
∴∠AHF＝∠MJT＝90°，
∴△AFH∽△MJT，
∴＝，
∵S1＝NB?MJ，S2＝NB?AH，
∴＝＝，
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，將B，C兩點代入得，
，
解得：，
∴直線BC的解析式為y＝x﹣，
當(dāng)x＝﹣1時，y＝?（﹣1）﹣＝﹣2，
∴F（﹣1，﹣2），
∴AF＝2，
設(shè)M（x，x2﹣x﹣），
∴MT＝x﹣﹣（x2﹣x﹣）＝﹣（x﹣）2+，
∴a＝﹣＜0，
∴MTmax＝，
∴＝＝＝＝＝．
4．（2023?宿遷）二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖象與x軸交于A（2，0），B（6，0）兩點，與y軸交于點C，頂點為E．
（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式，并寫出點E的坐標(biāo)；
（2）如圖①，D是該二次函數(shù)圖象的對稱軸上一個動點，當(dāng)BD的垂直平分線恰好經(jīng)過點C時，求點D的坐標(biāo)；
（3）如圖②，P是該二次函數(shù)圖象上的一個動點，連接OP，取OP中點Q，連接QC，QE，CE，當(dāng)△CEQ的面積為12時，求點P的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）將A（2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+3，
得，
解得
∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣2x+3．
∵y＝﹣1，
∴E（4，﹣1）．
（2）如圖1，圖2，連接CB，CD，由點C在線段BD的垂直平分線CN上，得CB＝CD．
設(shè)D（4，m），
∵C（0，3），由勾股定理可得：
42+（m﹣3）2＝62+32．
解得m＝3±．
∴滿足條件的點D的坐標(biāo)為（4，3+）或．
（3）如圖3，設(shè)CQ交拋物線的對稱軸于點M，
設(shè)P（n，﹣2n+3），則Q（），
設(shè)直線CQ的解析式為y＝kx+3，則nk+3．
解得k＝，于是CQ：y＝（）x+3，
當(dāng)x＝4時，y＝4（）+3＝n﹣5﹣，
∴M（4，n﹣5﹣），ME＝n﹣4﹣．
∵S△CQE＝S△CEM+S△QEM＝．
∴n2﹣4n﹣60＝0，
解得n＝10或n＝﹣6，
當(dāng)n＝10時，P（10，8），當(dāng)n＝﹣6時，P（﹣6，24）．
綜合以上可得，滿足條件的點P的坐標(biāo)為（10，8）或（﹣6，24）．
5．（2023?淄博）如圖，在直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是平行四邊形，經(jīng)過A（﹣2，0），B，C三點的拋物線y＝ax2+bx+（a＜0）與x軸的另一個交點為D，其頂點為M，對稱軸與x軸交于點E．
（1）求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）已知R是拋物線上的點，使得△ADR的面積是?OABC的面積的，求點R的坐標(biāo)；
【解答】解：（1）OA＝2＝BC，故函數(shù)的對稱軸為x＝1，則x＝﹣＝1①，
將點A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：0＝4a﹣2b+②，
聯(lián)立①②并解得，
故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+x+③；
（2）∵y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+3，
∴拋物線的頂點M（1，3）
令y＝0，可得x＝﹣2或4，
∴點D（4，0）；
∵△ADR的面積是?OABC的面積的，
∴×AD×|yR|＝×OA×OB，則×6×|yR|＝×2×，解得：yR＝±④，
聯(lián)立④③并解得或，
故點R的坐標(biāo)為（1+，﹣）或（1，﹣）或（1，）或（1﹣，）；
6．（2023?天水）如圖所示，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且點A的坐標(biāo)為A（﹣2，0），點C的坐標(biāo)為C（0，6），對稱軸為直線x＝1．點D是拋物線上一個動點，設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m（1＜m＜4），連接AC，BC，DC，DB．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)△BCD的面積等于△AOC的面積的時，求m的值；
【解答】解：（1）由題意得：，
解得：，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x2+x+6；
（2）過點D作DE⊥x軸于E，交BC于G，過點C作CF⊥ED交ED的延長線于F，如圖1所示：
∵點A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點C的坐標(biāo)為（0，6），
∴OA＝2，OC＝6，
∴S△AOC＝OA?OC＝×2×6＝6，
∴S△BCD＝S△AOC＝×6＝，
當(dāng)y＝0時，﹣x2+x+6＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴點B的坐標(biāo)為（4，0），
設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為：y＝kx+n，
則，
解得：，
∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x+6，
∵點D的橫坐標(biāo)為m（1＜m＜4），
∴點D的坐標(biāo)為：（m，﹣m2+m+6），
點G的坐標(biāo)為：（m，﹣m+6），
∴DG＝﹣m2+m+6﹣（﹣m+6）＝﹣m2+3m，CF＝m，BE＝4﹣m，
∴S△BCD＝S△CDG+S△BDG＝DG?CF+DG?BE＝DG×（CF+BE）＝×（﹣m2+3m）×（m+4﹣m）＝﹣m2+6m，
∴﹣m2+6m＝，
解得：m1＝1（不合題意舍去），m2＝3，
∴m的值為3；
7．（2023?沈陽）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），點B坐標(biāo)是（3，0）．拋物線與y軸交于點C（0，3），點P是拋物線的頂點，連接PC．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式并直接寫出頂點P的坐標(biāo)．
（2）直線BC與拋物線對稱軸交于點D，點Q為直線BC上一動點．當(dāng)△QAB的面積等于△PCD面積的2倍時，求點Q的坐標(biāo)；
【解答】解（1）由題意得，
，
∴b＝2，
∴y＝﹣x2+2x+3
＝﹣（（x﹣1）2+4，
∴P（1，4）．
（2）①如圖1，
作CE⊥PD于E，
∵C （0，3），B （3，0），
∴直線BC：y＝﹣x+3，
∴D（1，2），可設(shè)Q（a，3﹣a），
∴CE＝PE＝DE，
∴△PCD是等腰直角三角形，
∴S△PCD＝PD?CE＝×2×1＝1，
∴AB?|3﹣a|＝2，
∴×4?|3﹣a|＝2，
∴a＝2或a＝4．
∴Q（2，1）或（4，﹣1）．
8．（2023?遼寧）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A和點C（﹣1，0），與y軸交于點B（0，3），連接AB，BC，點P是拋物線第一象限上的一動點，過點P作PD⊥x軸于點D，交AB于點E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，作PF⊥PD于點P，使PF＝OA，以PE，PF為鄰邊作矩形PEGF．當(dāng)矩形PEGF的面積是△BOC面積的3倍時，求點P的坐標(biāo)；
【解答】解：（1）由題意得：，解得，
故拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+x+3；
（2）對于y＝﹣x2+x+3，令y＝﹣x2+x+3＝0，解得x＝4或﹣1，
故點A的坐標(biāo)為（4，0），則PF＝2，
由點A、B的坐標(biāo)得，直線AB的表達(dá)式為y＝﹣x+3，
設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，﹣x2+x+3），則點E（x，﹣x+3），
則矩形PEGF的面積＝PF?PE＝2×（﹣x2+x+3+x﹣3）＝3S△BOC＝3××BO?CO＝×3×1，
解得x＝1或3，
故點P的坐標(biāo)為（1，）或（3，3）；
9．（2022?南寧一模）如圖1所示拋物線與x軸交于O，A兩點，OA＝6，其頂點與x軸的距離是6．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P在拋物線上，過點P的直線y＝x+m與拋物線的對稱軸交于點Q．
當(dāng)△POQ與△PAQ的面積之比為1：3時，求m的值；
【解答】解：（1）∵OA＝6，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝3，
設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣3）2+k，
∵頂點與x軸的距離是6，
∴頂點為（3，﹣6），
∴y＝a（x﹣3）2﹣6，
∵拋物線經(jīng)過原點，
∴9a﹣6＝0，
∴a＝，
∴y＝（x﹣3）2﹣6；
（2）①設(shè)直線y＝x+m與y軸的交點為E，與x軸的交點為F，
∴E（0，m），F(xiàn)（﹣m，0），
∴OE＝|m|，AF＝|6+m|，
∵直線y＝x+m與坐標(biāo)軸的夾角為45°，
∴OM＝|m|，AN＝|6+m|，
∵S△POQ：S△PAQ＝1：3，
∴OM：AN＝1：3，
∴|m|：|6+m|＝1：3，
解得m＝﹣或m＝3；
10.（2022?本溪二模）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（3，0），C（﹣1，0）兩點，與y軸交于點B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點M是線段AB上方拋物線上一動點，以AB為邊作平行四邊形ABMD，連接OM，若OM將平行四邊形ABMD的面積分成為1：7的兩部分，求點M的橫坐標(biāo)；
【解答】解：（1）將（3，0），（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得，
∴；
（2）連接AM，設(shè)AB與OM的交點為N，作NH⊥OA于點H，則NH∥OB，
∵A（3，0），B（0，4），
設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+4，
∴3k+4＝0，
∴k＝﹣，
∴y＝﹣x+4，
設(shè)點M，點N，
∵S△BMN：S△ABM＝1：4，
∴S△BMN：S△ABM＝1：4，
∴BN：AN＝1：3，
∵NH∥OB，
∴△ANH∽△AOB，
∴，即，
解得，
∴，
∴直線OM的解析式為y＝4x，
聯(lián)立方程組，
解得，
∵點M在第一象限，
∴，
∴點M的橫坐標(biāo)為；
11．（2022?新?lián)釁^(qū)模擬）如圖，直線y＝mx+n與拋物線y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣2，0），B（2，2）兩點，直線AB與y軸交于點C．
（1）求拋物線與直線AB的解析式；
（2）點P在拋物線上，直線PC交x軸于Q，連接PB，當(dāng)△PBC的面積是△ACQ面積的2倍時，求點P的坐標(biāo)；
【解答】解：（1）將A（﹣2，0），B（2，2）代入y＝﹣x2+bx+c得，
解得，
∴拋物線解析式為y＝﹣x2+x+5．
將A（﹣2，0），B（2，2）代入y＝mx+n得，
解得，
∴直線AB解析式為y＝x+1．
（2）①點P在x軸上方是，過點P作x軸平行線，交y軸于點F，交直線AB于點E，
將x＝0代入y＝x+1得y＝1，
∴點C坐標(biāo)為（0，1），
∵A（﹣2，0），B（2，2），
∴C為AB中點，即AC＝BC，
∴當(dāng)△PBC的面積是△ACQ面積的2倍時，點P到BC的距離是點Q到AC的距離的2倍，
∵PE∥OA，
∴△EPC∽△AQC，
∴＝2，
∵PF∥OA，
∴△PFC∽△OQC，
∴＝＝2，
∴點P縱坐標(biāo)為FC+OC＝3OC＝3，
將y＝3代入y＝﹣x2+x+5得3＝﹣x2+x+5，
解得x1＝﹣，x2＝+，
∴點P坐標(biāo)為（﹣，3）或（+，3）．
②點P在x軸下方，連接BQ，PK⊥x軸于點K，
∵C為AB中點，
∴S△AQC＝S△BQC，
∵△PBC的面積是△ACQ面積的2倍，
∴S△PBQ＝S△BQC，
∴點Q為CP中點，
又∵∠CQO＝∠PQK，∠COQ＝∠PKQ＝90°，
∴△OCQ≌△KPQ，
∴CQ＝KP，即點P縱坐標(biāo)為﹣1，
將y＝﹣1代入y＝﹣x2+x+5得﹣1＝﹣x2+x+5，
解得x1＝，x2＝，
∴點P坐標(biāo)為（，﹣1），（，﹣1），
綜上所述，點P坐標(biāo)為（﹣，3）或（+，3）或（，﹣1）或（，﹣1），
12．（2022?福建）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過A（4，0），B（1，4）兩點．P是拋物線上一點，且在直線AB的上方．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若△OAB面積是△PAB面積的2倍，求點P的坐標(biāo)；
【解答】解：（1）將A（4，0），B（1，4）代入y＝ax2+bx，
∴，解得．
∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x．
（2）設(shè)直線AB的解析式為：y＝kx+t，
將A（4，0），B（1，4）代入y＝kx+t，
∴，
解得．
∵A（4，0），B（1，4），
∴S△OAB＝×4×4＝8，
∴S△OAB＝2S△PAB＝8，即S△PAB＝4，
過點P作PM⊥x軸于點M，PM與AB交于點N，過點B作BE⊥PM于點E，如圖，
∴S△PAB＝S△PNB+S△PNA＝PN×BE+PN×AM＝PN＝4，
∴PN＝．
設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m，
∴P（m，﹣m2+m）（1＜m＜4），N（m，﹣m+），
∴PN＝﹣m2+m﹣（﹣m+）＝．
解得m＝2或m＝3；
∴P（2，）或（3，4）．
13．（2022?蘇州二模）如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，OA＝OC＝3．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點P為直線AC下方拋物線上一點，連接BP并交AC于點Q，若AC分∠△ABP的面積為1：2兩部分，請求出點P的坐標(biāo)；
【解答】解：（1）∵OA＝OC＝3，
∴A（﹣3，0），C（0，﹣3），
將點A、C代入y＝x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝x2+2x﹣3；
（2）令x2+2x﹣3＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
∴B（1，0），
過點P作PG⊥x軸交于點G，過點Q作QH⊥x軸交于點H，
∴PG∥QH，
設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x﹣3，
設(shè)P（t，t2+2t﹣3），直線BP的解析式為y＝k'x+b'，
∴，
解得，
∴y＝（t+3）x﹣（t+3），
聯(lián)立方程組，
解得，
∴Q（，），
∵AC分∠△ABP的面積為1：2兩部分，
∴＝或＝，
當(dāng)＝時，＝，
解得t＝﹣1或t＝﹣2，
∴P（﹣1，﹣4）或（﹣2，﹣3）；
當(dāng)＝時，＝，
此時t無解，

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