1．如圖，點(diǎn)D、E、F分別是△ABC三邊的中點(diǎn)，則下列判斷錯誤的是（ ）
A．四邊形AEDF一定是平行四邊形
B．若AD平分∠A，則四邊形AEDF是正方形
C．若AD⊥BC，則四邊形AEDF是菱形
D．若∠A＝90°，則四邊形AEDF是矩形
2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分別以△ABC的三邊為邊向外作三個正方形ABHL，ACDE，BCFG，連接DF．過點(diǎn)C作AB的垂線CJ，垂足為J，分別交DF，LH于點(diǎn)I，K．若CI＝5，CJ＝4，則四邊形AJKL的面積是 ．
3．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是BC邊上的中線，則AD的取值范圍是 ．
4．如圖，△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC上，連接BD，△ABD的中線AE的延長線交BC于點(diǎn)F，∠FAC＝60°，若AD＝5，AB＝7，則EF的長為 ．
5．閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進(jìn)行證明．
已知：如圖，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求證：AB＝CD．
分析：證明兩條線段相等，常用的一般方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等．因此，要證AB＝CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．
現(xiàn)給出如下三種添加輔助線的方法，請任意選擇其中一種，對原題進(jìn)行證明．
6．【問題情境】
學(xué)完《探索全等三角形的條件》后，老師提出如下問題：如圖①，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC邊上中線AD的取值范圍．通過分析、思考，小麗同學(xué)形成兩種解題思路．
思路1：將△ADC繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°，使得CD和BD重合，得到△EDB…
思路2：延長AD到E，使得DE＝AD，連接BE，根據(jù)SAS可證得△ADC≌△EDB…
根據(jù)上面任意一種解題思路，再結(jié)合三角形三邊關(guān)系，我們都可以得到AD的取值范圍為 ．
【類比探究】
如圖②，DB＝DE，DC＝DA，∠BDC+∠ADE＝180°，DF是△ADE的邊AE上的中線，試探索DF與BC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【遷移應(yīng)用】
【應(yīng)用1】如圖③，已知⊙O的半徑為6，四邊形ABCD是⊙O的圓內(nèi)接四邊形．AD＝8，∠AOD+∠BOC＝180°，求BC的長．
【應(yīng)用2】如圖④，DB＝DE，DC＝DA，∠BDC+∠ADE＝180°，BD⊥DE，AE＝a，BC＝b（a＞b），AB、CE相交于點(diǎn)G，連接DG，若∠BDC的度數(shù)發(fā)生改變，請問DG是否存在最小值？如果存在，則直接寫出其最小值（用含a和b的式子表示），如果不存在，請說明理由．
7．閱讀理解：
課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：
如圖1，△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使得DE＝AD，再連接BE（或?qū)ⅰ鰽CD繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三邊關(guān)系可得2＜AE＜8，則1＜AD＜4．
感悟：解題時，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮構(gòu)造以中點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形中．
（1）問題解決：
受到（1）的啟發(fā)，請你證明下面命題：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF．
①求證：BE+CF＞EF；
②若∠A＝90°，探索線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系，并加以證明；
（2）問題拓展：
如圖3，在四邊形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D為頂點(diǎn)作一個60°角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，連接EF，探索線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
8．（1）閱讀理解：
如圖①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
解決此問題可以用如下方法：延長AD到點(diǎn)E使DE＝AD，再連接BE（或?qū)ⅰ鰽CD繞著點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷．中線AD的取值范圍是 ；
（2）問題解決：如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，求證：BE+CF＞EF；
（3）問題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，以C為頂點(diǎn)作∠ECF，使得角的兩邊分別交AB，AD于E、F兩點(diǎn)，連接EF，且EF＝BE+DF，試探索∠ECF與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
9．小明遇到這樣一個問題，如圖1，△ABC中，AB＝7，AC＝5，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，求AD的取值范圍．
小明發(fā)現(xiàn)老師講過的“倍長中線法”可以解決這個問題，所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法，他的做法是：如圖2，延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，構(gòu)造△BED≌△CAD，經(jīng)過推理和計(jì)算使問題得到解決．
請回答：（1）小明證明△BED≌△CAD用到的判定定理是： （用字母表示）
（2）AD的取值范圍是
小明還發(fā)現(xiàn)：倍長中線法最重要的一點(diǎn)就是延長中線一倍，完成全等三角形模型的構(gòu)造．
參考小明思考問題的方法，解決問題：
如圖3，在正方形ABCD中，E為AB邊的中點(diǎn)，G、F分別為AD，BC邊上的點(diǎn)，若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90°，求GF的長．
10．問題探究：
小紅遇到這樣一個問題：如圖1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中線，求AD的取值范圍．她的做法是：延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，證明△BED≌△CAD，經(jīng)過推理和計(jì)算使問題得到解決．
請回答：（1）小紅證明△BED≌△CAD的判定定理是： ；
（2）AD的取值范圍是 ；
方法運(yùn)用：
（3）如圖2，AD是△ABC的中線，在AD上取一點(diǎn)F，連接BF并延長交AC于點(diǎn)E，使AE＝EF，求證：BF＝AC．
（4）如圖3，在矩形ABCD中，＝，在BD上取一點(diǎn)F，以BF為斜邊作Rt△BEF，且＝，點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)，連接EG，CG，求證：EG＝CG．
專題09 倍長中線線模型綜合應(yīng)用（專項(xiàng)訓(xùn)練）
1．如圖，點(diǎn)D、E、F分別是△ABC三邊的中點(diǎn)，則下列判斷錯誤的是（ ）
A．四邊形AEDF一定是平行四邊形
B．若AD平分∠A，則四邊形AEDF是正方形
C．若AD⊥BC，則四邊形AEDF是菱形
D．若∠A＝90°，則四邊形AEDF是矩形
【答案】B
【解答】解：A、∵點(diǎn)D、E、F分別是△ABC三邊的中點(diǎn)，∴DE、DF為△ABC得中位線，
∴ED∥AC，且ED＝AC＝AF；同理DF∥AB，且DF＝AB＝AE，
∴四邊形AEDF一定是平行四邊形，正確．
B、若AD平分∠A，如圖，延長AD到M，使DM＝AD，連接CM，由于BD＝CD，DM＝AD，
∠ADB＝∠CDM，
∴△ABD≌△MCD（SAS），
∴CM＝AB，
又∵∠DAB＝∠CAD，
∠DAB＝∠CMD，
∴∠CMD＝∠CAD，
∴CA＝CM＝AB，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
則△ABD≌△ACD；AB＝AC，AE＝AF，
結(jié)合（1）四邊形AEDF是菱形，因?yàn)椤螧AC不一定是直角
∴不能判定四邊形AEDF是正方形；
C、若AD⊥BC，則△ABD≌△ACD；AB＝AC，AE＝AF，結(jié)合（1）四邊形AEDF是菱形，正確；
D、若∠A＝90°，則四邊形AEDF是矩形，正確．
故選：B．
2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分別以△ABC的三邊為邊向外作三個正方形ABHL，ACDE，BCFG，連接DF．過點(diǎn)C作AB的垂線CJ，垂足為J，分別交DF，LH于點(diǎn)I，K．若CI＝5，CJ＝4，則四邊形AJKL的面積是 ．
【答案】80
【解答】解：過點(diǎn)D作DM⊥CI，交CI的延長線于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作FN⊥CI于點(diǎn)N，
∵△ABC為直角三角形，四邊形ACDE，BCFG為正方形，過點(diǎn)C作AB的垂線CJ，CJ＝4，
∴AC＝CD，∠ACD＝90°，∠AJC＝∠CMD＝90°，∠CAJ+∠ACJ＝90°，BC＝CF，∠BCF＝90°，∠CNF＝∠BJC＝90°，∠FCN+∠CFN＝90°，
∴∠ACJ+∠DCM＝90°，∠FCN+∠BCJ＝90°，
∴∠CAJ＝∠DCM，∠BCJ＝∠CFN，
∴△ACJ≌△CDM（AAS），△BCJ≌△CFN（AAS），
∴AJ＝CM，DM＝CJ＝4，BJ＝CN，NF＝CJ＝4，
∴DM＝NF，
∴△DMI≌△FNI（AAS），
∴DI＝FI，MI＝NI，
∵∠DCF＝90°，
∴DI＝FI＝CI＝5，
在Rt△DMI中，由勾股定理可得：
MI＝＝＝3，
∴NI＝MI＝3，
∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8，BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2，
∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10，
∵四邊形ABHL為正方形，
∴AL＝AB＝10，
∵四邊形AJKL為矩形，
∴四邊形AJKL的面積為：AL?AJ＝10×8＝80，
故答案為：80．
3．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是BC邊上的中線，則AD的取值范圍是 ．
【答案】1＜AD＜4
【解答】解：如圖，延長AD到E，使DE＝AD，
∵AD是BC邊上的中線，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB，
∵AB＝5，AC＝3，
∴5﹣3＜AE＜5+3，
即2＜AE＜8，
1＜AD＜4．
故答案為：1＜AD＜4．
4．如圖，△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC上，連接BD，△ABD的中線AE的延長線交BC于點(diǎn)F，∠FAC＝60°，若AD＝5，AB＝7，則EF的長為 ．
【答案】
【解答】解：延長AE至點(diǎn)G，使得AE＝EG，
∵E是BD的中點(diǎn)，
∴BE＝DE，
在△ADE和△GBE中，
，
∴△ADE≌△GBE（SAS），
∴AD＝GB＝5，∠G＝∠FAC＝60°，
過點(diǎn)B作BH⊥GE于點(diǎn)H，
在Rt△BGH中，∠GBH＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴GH＝＝，BH＝＝，
在Rt△ABH中，AH＝＝，
∴AG＝AH+GH＝8，
∴AE＝GE＝4，
過點(diǎn)D作DM∥EF，交BC于點(diǎn)M．
∴，
設(shè)EF＝x，則DM＝2x，
∵DM∥EF，
∴，
∴AF＝7x，
∴AE＝7x﹣x＝6x＝4，
∴x＝，
∴EF＝，
故答案為：．
5．閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進(jìn)行證明．
已知：如圖，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求證：AB＝CD．
分析：證明兩條線段相等，常用的一般方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等．因此，要證AB＝CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．
現(xiàn)給出如下三種添加輔助線的方法，請任意選擇其中一種，對原題進(jìn)行證明．
【解答】證明：方法一：作BF⊥DE于點(diǎn)F，CG⊥DE于點(diǎn)G．
∴∠F＝∠CGE＝90°．
又∵∠BEF＝∠CEG，BE＝CE，
∴△BFE≌△CGE．
∴BF＝CG．
在△ABF和△DCG中，∵∠F＝∠DGC＝90°，∠BAE＝∠CDE，BF＝CG，
∴△ABF≌△DCG．
∴AB＝CD．
方法二：作CF∥AB，交DE的延長線于點(diǎn)F．
∴∠F＝∠BAE．
又∵∠ABE＝∠D，
∴∠F＝∠D．
∴CF＝CD．
∵∠F＝∠BAE，∠AEB＝∠FEC，BE＝CE，
∴△ABE≌△FCE．
∴AB＝CF．
∴AB＝CD．
方法三：延長DE至點(diǎn)F，使EF＝DE．
又∵BE＝CE，∠BEF＝∠CED，
∴△BEF≌△CED．
∴BF＝CD，∠D＝∠F．
又∵∠BAE＝∠D，
∴∠BAE＝∠F．
∴AB＝BF．
∴AB＝CD．
6．【問題情境】
學(xué)完《探索全等三角形的條件》后，老師提出如下問題：如圖①，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC邊上中線AD的取值范圍．通過分析、思考，小麗同學(xué)形成兩種解題思路．
思路1：將△ADC繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°，使得CD和BD重合，得到△EDB…
思路2：延長AD到E，使得DE＝AD，連接BE，根據(jù)SAS可證得△ADC≌△EDB…
根據(jù)上面任意一種解題思路，再結(jié)合三角形三邊關(guān)系，我們都可以得到AD的取值范圍為 ．
【類比探究】
如圖②，DB＝DE，DC＝DA，∠BDC+∠ADE＝180°，DF是△ADE的邊AE上的中線，試探索DF與BC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【遷移應(yīng)用】
【應(yīng)用1】如圖③，已知⊙O的半徑為6，四邊形ABCD是⊙O的圓內(nèi)接四邊形．AD＝8，∠AOD+∠BOC＝180°，求BC的長．
【應(yīng)用2】如圖④，DB＝DE，DC＝DA，∠BDC+∠ADE＝180°，BD⊥DE，AE＝a，BC＝b（a＞b），AB、CE相交于點(diǎn)G，連接DG，若∠BDC的度數(shù)發(fā)生改變，請問DG是否存在最小值？如果存在，則直接寫出其最小值（用含a和b的式子表示），如果不存在，請說明理由．
【解答】解：【問題情境】延長AD到E，使得DE＝AD，連接BE，如圖①，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝8．
∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴12﹣8＜2AD＜12+8，
∴2＜AD＜10．
故答案為：2＜AD＜10；
【類比探究】DF與BC的數(shù)量關(guān)系為：BC＝2DF．理由：
延長DF至點(diǎn)G，使FG＝DF，連接AG，如圖，
則DG＝2DF．
∵DF是△ADE的邊AE上的中線，
∴EF＝AF，
在△DEF和△GAF中，
，
∴△DEF≌△GAF（SAS），
∴DE＝AG，∠E＝∠GAF，
∴DE∥AG，
∴∠EDA+∠DAG＝180°．
∵∠BDC+∠ADE＝180°，
∴∠BDC＝∠GAD．
∵DB＝DE，
∴DB＝AG．
在△BDC和△GAD中，
，
∴△BDC≌△GAD（SAS），
∴BC＝DG．
∴BC＝2DF．
【應(yīng)用1】過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，OF⊥AD于點(diǎn)F，如圖，
則BE＝EC＝BC，AF＝DF＝AD＝4．
∵OB＝OC，OE⊥BC，
∴∠BOE＝∠BOC，
∵OA＝OD，OF⊥AD，
∴∠AOF＝∠AOD．
∵∠AOD+∠BOC＝180°，
∴∠AOF+∠BOE＝90°．
∵∠OBE+∠OBE＝90°
∴∠OBE＝∠AOF．
在△BOE和△OAF中，
，
∴△BOE≌△OAF（AAS），
∴OE＝AF＝4，
∴BE＝＝2．
∴BC＝2BE＝4；
【應(yīng)用2】DG存在最小值，其最小值為a﹣b，理由：
取AE的中點(diǎn)F，連接FG，延長DF至點(diǎn)H，使FH＝DF，連接EH，AH，如圖，
∵BD⊥DE，
∴∠BDE＝90°．
∵∠BDC+∠ADE＝180°，
∴∠ADC+BDE＝180°，
∴∠BDE＝∠ADC＝90°，
∴∠BDE+∠BDC＝∠ADC+∠BDC，
即∠EDC＝∠BDA．
在△EDC和△BDA中，
，
∴△EDC≌△BDA（SAS），
∴∠DEC＝∠DBA，
∴點(diǎn)E，D，GB四點(diǎn)共圓，
∴∠EGB＝∠EDB＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∵F為AE的中點(diǎn)，
∴GF＝AE＝a．
∵AF＝FE，DF＝FH，
∴四邊形ADEH為平行四邊形，
∴AD＝EH，AD∥EH，
∴∠HED+∠ADE＝180°．
∵∠BDC+∠ADE＝180°，
∴∠HED＝∠BDC．
∵DA＝DC，
∴EH＝DC．
在△EHD和△DCB中，
，
∴△EHD≌△DCB（SAS），
∴DH＝BC＝b，
∴DF＝DH＝b．
若∠BDC的度數(shù)發(fā)生改變，當(dāng)點(diǎn)G，D，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上時，DG的值最小為：FG﹣FD＝a﹣b．
7．閱讀理解：
課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：
如圖1，△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使得DE＝AD，再連接BE（或?qū)ⅰ鰽CD繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三邊關(guān)系可得2＜AE＜8，則1＜AD＜4．
感悟：解題時，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮構(gòu)造以中點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形中．
（1）問題解決：
受到（1）的啟發(fā)，請你證明下面命題：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF．
①求證：BE+CF＞EF；
②若∠A＝90°，探索線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系，并加以證明；
（2）問題拓展：
如圖3，在四邊形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D為頂點(diǎn)作一個60°角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，連接EF，探索線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
【解答】解：①延長FD到G，使得DG＝DF，連接BG、EG．（或把△CFD繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△BGD），
∴CF＝BG，DF＝DG，
∵DE⊥DF，
∴EF＝EG．
在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．（4分）
②若∠A＝90°，則∠EBC+∠FCB＝90°，
由①知∠FCD＝∠DBG，EF＝EG，
∴∠EBC+∠DBG＝90°，即∠EBG＝90°，
∴在Rt△EBG中，BE2+BG2＝EG2，
∴BE2+CF2＝EF2；（3分）
（2）將△DCF繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△DBG．
∵∠C+∠ABD＝180°，∠4＝∠C，
∴∠4+∠ABD＝180°，
∴點(diǎn)E、B、G在同一直線上．
∵∠3＝∠1，∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，
∴∠1+∠2＝60°，故∠2+∠3＝60°，即∠EDG＝60°
∴∠EDF＝∠EDG＝60°，
∵DE＝DE，DF＝DG，
∴△DEG≌△DEF，
∴EF＝EG＝BE+BG，即EF＝BE+CF．（4分）
8．（1）閱讀理解：
如圖①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
解決此問題可以用如下方法：延長AD到點(diǎn)E使DE＝AD，再連接BE（或?qū)ⅰ鰽CD繞著點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷．中線AD的取值范圍是 ；
（2）問題解決：如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，求證：BE+CF＞EF；
（3）問題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，以C為頂點(diǎn)作∠ECF，使得角的兩邊分別交AB，AD于E、F兩點(diǎn)，連接EF，且EF＝BE+DF，試探索∠ECF與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
【解答】解：（1）閱讀理解：
∵AD＝DE，CD＝BD，∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC≌△EDB（SAS）
∴AC＝BE＝3，
∵在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4，
故答案為：1＜AD＜4；
（2）問題解決：
解：（1）延長FD到G，使得DG＝DF，連接BG、EG．
∵CD＝DB，DF＝DG，∠CDF＝∠BDG，
∴△CDF≌△BDG（SAS）
∴CF＝BG，
∵DE⊥DF，
∴EF＝EG．
在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF；
（3）問題拓展：∴∠A+2∠ECF＝180°，
理由如下：延長AB至點(diǎn)N，使BN＝DF，連接CN，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠CBN＝180°，
∴∠D＝∠CBN，且CD＝CB，DF＝BN，
∴△CDF≌△CBN（SAS）
∴CF＝CN，
∵EF＝BE+DF，
∴EF＝BE+BN＝EN，
在△CEF和△CEN中，
，
∴△CEF≌△CEN（SSS）
∴∠FCE＝∠NCE＝∠FCN＝∠DCB，
∵∠ABC+∠D＝180°，
∴∠A+2∠ECF＝180°．
9．小明遇到這樣一個問題，如圖1，△ABC中，AB＝7，AC＝5，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，求AD的取值范圍．
小明發(fā)現(xiàn)老師講過的“倍長中線法”可以解決這個問題，所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法，他的做法是：如圖2，延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，構(gòu)造△BED≌△CAD，經(jīng)過推理和計(jì)算使問題得到解決．
請回答：（1）小明證明△BED≌△CAD用到的判定定理是： （用字母表示）
（2）AD的取值范圍是
小明還發(fā)現(xiàn)：倍長中線法最重要的一點(diǎn)就是延長中線一倍，完成全等三角形模型的構(gòu)造．
參考小明思考問題的方法，解決問題：
如圖3，在正方形ABCD中，E為AB邊的中點(diǎn)，G、F分別為AD，BC邊上的點(diǎn)，若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90°，求GF的長．
【解答】解：（1）如圖2中，延長AD到E，使DE＝AD，連接BE．
在△BED和△CAD中，
，
∴△BED≌△CAD（SAS）．
（2）∵△BED≌△CAD，
∴BE＝AC＝5，∵AB＝7，
∴2＜AE＜12，
∴2＜2AD＜12，
∴1＜AD＜6．
故答案分別為SAS，1＜AD＜6．
解決問題：如圖3中，
解：延長GE交CB的延長線于M．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥CM，
∴∠AGE＝∠M，
在△AEG和△BEM中，
，
∴△AEG≌△BEM（AAS），
∴GE＝EM，AG＝BM＝2，
∵EF⊥MG，
∴FG＝FM，
∵BF＝4，
∴MF＝BF+BM＝2+4＝6，
∴GF＝FM＝6．
10．問題探究：
小紅遇到這樣一個問題：如圖1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中線，求AD的取值范圍．她的做法是：延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，證明△BED≌△CAD，經(jīng)過推理和計(jì)算使問題得到解決．
請回答：（1）小紅證明△BED≌△CAD的判定定理是： ；
（2）AD的取值范圍是 ；
方法運(yùn)用：
（3）如圖2，AD是△ABC的中線，在AD上取一點(diǎn)F，連接BF并延長交AC于點(diǎn)E，使AE＝EF，求證：BF＝AC．
（4）如圖3，在矩形ABCD中，＝，在BD上取一點(diǎn)F，以BF為斜邊作Rt△BEF，且＝，點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)，連接EG，CG，求證：EG＝CG．
【解答】解：（1）∵AD是中線，
∴BD＝CD，
又∵∠ADC＝∠BDE，AD＝DE，
∴△BED≌△CAD（SAS），
故答案為：SAS；
（2）∵△BED≌△CAD，
∴AC＝BE＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴2＜2AD＜10，
∴1＜AD＜5，
故答案為：1＜AD＜5；
（3）如圖2，延長AD至H，使AD＝DH，連接BH，
∵AD是△ABC的中線，
∴BD＝CD，
又∵∠ADC＝∠BDH，AD＝DH，
∴△ADC≌△HDB（SAS），
∴AC＝BH，∠CAD＝∠H，
∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠AFE，
∴∠H＝∠BFH，
∴BF＝BH，
∴AC＝BF；
（4）如圖3，延長CG至N，使NG＝CG，連接EN，CE，NF，
∵點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)，
∴DG＝GF，
又∵∠NGF＝∠DGC，CG＝NG，
∴△NGF≌△CGD（SAS），
∴CD＝NF，∠CDB＝∠NFG，
∵＝，＝，
∴tan∠ADB＝，tan∠EBF＝，
∴∠ADB＝∠EBF，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠EBF＝∠DBC，
∴∠EBC＝2∠DBC，
∵∠EBF+∠EFB＝90°，∠DBC+∠BDC＝90°，
∴∠EFB＝∠BDC＝∠NFG，∠EBF+∠EFB+∠DBC+∠BDC＝180°，
∴2∠DBC+∠EFB+∠NFG＝180°，
又∵∠NFG+∠BFE+∠EFN＝180°，
∴∠EFN＝2∠DBC，
∴∠EBC＝∠EFN，
∵＝，且CD＝NF，
∴
∴△BEC∽△FEN，
∴∠BEC＝∠FEN，
∴∠BEF＝∠NEC＝90°，
又∵CG＝NG，
∴EG＝NC，
∴EG＝GC．

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