一、復習方法
1.以專題復習為主。 2.重視方法思維的訓練。
3.拓寬思維的廣度，培養(yǎng)多角度、多維度思考問題的習慣。
二、復習難點
1.專題的選擇要準，安排時間要合理。 2.專項復習要以題帶知識。
3.在復習的過程中要兼顧基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上適當增加變式和難度，提高能力。

專題08 二次函數(shù)與平行四邊形有關(guān)的問題（知識解讀）
【專題說明】
二次函數(shù)為載體的平行四邊形存在性問題是近年來中考的熱點，其圖形復雜，知識覆蓋面廣，綜合性較強，對學生分析問題和解決問題的能力要求高．對這類題，常規(guī)解法是先畫出平行四邊形，再依據(jù)“平行四邊形的一組對邊平行且相等”或“平行四邊形的對角線互相平分”來解決．由于先要畫出草圖，若考慮不周，很容易漏解．為此，我借助探究平行四邊形頂點坐標公式來解決這一類題，同學們要掌握好解決這類題型的基本思路和解題技巧。
【解題思路】
線段中點坐標公式
2.平行四邊形頂點公式：

分類：
三個定點，一個動點問題
已知三個定點的坐標，可設(shè)出拋物線上第四個頂點的坐標，運用平行四邊形頂點坐標公式列方程（組）求解。這種題型由于三個定點構(gòu)成的三條線段中哪條為對角線不清楚，往往要以這三條線段分別為對角線分類，分三種情況討論；

兩個定點、兩個動點問題
這中題型往往比較特殊，一個動點在拋物線上，另一個動點在x軸（y軸）或?qū)ΨQ軸或某一條直線上。設(shè)出拋物線上的動點坐標，另一個動點若在x軸上，縱坐標為0，則用平行四邊形頂點縱坐標公式；若在y軸上，橫坐標為0，則用平行四邊形頂點橫坐標公式。該動點哪個坐標已知就用與該坐標有關(guān)的公式。
方法總結(jié)：
這種題型，關(guān)鍵是合理有序分類：無論式三定一動，還是兩定兩動，統(tǒng)統(tǒng)把拋物線上的動點作為第四個動點，其余三個作為頂點，分別以這三個定點構(gòu)成的三條線段為對角線分類，份三種情況討論，然后運用平行四邊形頂點坐標公式轉(zhuǎn)化為方程（組），這種解法，不必畫出平行四邊形草圖，只要合理分類，有序組合，從對角線入手不會漏解，條理清楚，而且適用范圍廣，其本質(zhì)用代數(shù)的方法解決幾何問題，體現(xiàn)的是分類討論思想、屬性結(jié)合的思想。
【典例分析】
【考點1 三定一動類型】
【典例1】（2022?樂業(yè)縣二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，直線l與拋物線交于A、C兩點，其中點C的橫坐標是2．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）在拋物線的對稱軸上找一點P，使得△PBC的周長最小，并求出點P的坐標；
（3）在平面直角坐標系中，是否存在一點E，使得以E、A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．
【變式1-1】（2022?寶山區(qū)模擬）已知一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三點，頂點為D．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）求經(jīng)過A、D兩點的直線的表達式；
（3）設(shè)P為直線AD上一點，且以A、P、C、B為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標．
【變式1-2】（2021秋?建昌縣期末）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（﹣3，0）兩點，與y軸交于點C，P是拋物線上一動點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當點P在直線BC上方的拋物線上時，求△PBC的最大面積，并直接寫出此時P點坐標；
（3）若點M在拋物線的對稱軸上，以B，C，P，M為頂點、BC為邊的四邊形能否是平行四邊形？若能，請直接寫出點P的坐標；若不能，請說明理由．
【考點2 兩定兩動類型】
【典例2】（2022?牡丹區(qū)三模）如圖，直線y＝﹣x+4與x軸交于點C，與y軸交于點B，拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過B，C兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）E是直線BC上方拋物線上的一動點，當點E到直線BC的距離最大時，求點E的坐標；
（3）Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得以P，Q，B，C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【變式2-1】（2022?南京模擬）已知，如圖，拋物線與坐標軸相交于點A（﹣1，0），C（0，﹣3）兩點，對稱軸為直線x＝1，對稱軸與x軸交于點D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點F為二次函數(shù)圖象上與點C對稱的點，點M在拋物線上，點N在拋物線的對稱軸上，是否存在以點F，A，M，N為頂點的平行四邊形？若存在，直接寫出點M的坐標，若不存在，說明理由．
【變式2-2】（2022?東莞市校級一模）如圖所示，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），交y軸于點C（0，﹣3），已知AB＝4，對稱軸在y軸左側(cè)．
（1）求拋物線的表達式；
（2）若點N在對稱軸上，則拋物線上是否存在點M，使得點A、O、N、M構(gòu)成平行四邊形，若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；
【變式2-3】（2022?百色一模）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與一直線相交于A（﹣1，0），B（2，3）兩點，拋物線的頂點為M．
（1）求拋物線的表達式及頂點M的坐標；
（2）若拋物線的對稱軸與直線AB相交于點N，E為直線AB上的任意一點，過點E作EF∥y軸交拋物線于點F，以M，N，E，F(xiàn)為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求出點E的坐標；若不能，請說明理由．
專題08 二次函數(shù)與平行四邊形有關(guān)的問題（知識解讀）
【專題說明】
二次函數(shù)為載體的平行四邊形存在性問題是近年來中考的熱點，其圖形復雜，知識覆蓋面廣，綜合性較強，對學生分析問題和解決問題的能力要求高．對這類題，常規(guī)解法是先畫出平行四邊形，再依據(jù)“平行四邊形的一組對邊平行且相等”或“平行四邊形的對角線互相平分”來解決．由于先要畫出草圖，若考慮不周，很容易漏解．為此，我借助探究平行四邊形頂點坐標公式來解決這一類題，同學們要掌握好解決這類題型的基本思路和解題技巧。
【解題思路】
線段中點坐標公式
2.平行四邊形頂點公式：

分類：
三個定點，一個動點問題
已知三個定點的坐標，可設(shè)出拋物線上第四個頂點的坐標，運用平行四邊形頂點坐標公式列方程（組）求解。這種題型由于三個定點構(gòu)成的三條線段中哪條為對角線不清楚，往往要以這三條線段分別為對角線分類，分三種情況討論；

兩個定點、兩個動點問題
這中題型往往比較特殊，一個動點在拋物線上，另一個動點在x軸（y軸）或?qū)ΨQ軸或某一條直線上。設(shè)出拋物線上的動點坐標，另一個動點若在x軸上，縱坐標為0，則用平行四邊形頂點縱坐標公式；若在y軸上，橫坐標為0，則用平行四邊形頂點橫坐標公式。該動點哪個坐標已知就用與該坐標有關(guān)的公式。
方法總結(jié)：
這種題型，關(guān)鍵是合理有序分類：無論式三定一動，還是兩定兩動，統(tǒng)統(tǒng)把拋物線上的動點作為第四個動點，其余三個作為頂點，分別以這三個定點構(gòu)成的三條線段為對角線分類，份三種情況討論，然后運用平行四邊形頂點坐標公式轉(zhuǎn)化為方程（組），這種解法，不必畫出平行四邊形草圖，只要合理分類，有序組合，從對角線入手不會漏解，條理清楚，而且適用范圍廣，其本質(zhì)用代數(shù)的方法解決幾何問題，體現(xiàn)的是分類討論思想、屬性結(jié)合的思想。
【典例分析】
【考點1 三定一動類型】
【典例1】（2022?樂業(yè)縣二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，直線l與拋物線交于A、C兩點，其中點C的橫坐標是2．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）在拋物線的對稱軸上找一點P，使得△PBC的周長最小，并求出點P的坐標；
（3）在平面直角坐標系中，是否存在一點E，使得以E、A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，
∴，
解得：，
∴拋物線的函數(shù)表達式為y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴拋物線的對稱軸為x＝1，
∵A、B關(guān)于直線x＝1對稱，所以AC與對稱軸的交點為點P，
此時C△PBC＝PB+PC+BC＝AC+BC，
此時△BPC的周長最短，
∵點C的橫坐標是2，
yC＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，
∴C（2，﹣3），
設(shè)直線AC的解析式為y＝mx+n（m≠0），
∴，
解得：，
∴直線AC的解析式為y＝﹣x﹣1，
當x＝1時，y＝﹣1﹣1＝﹣2，
∴P（1，﹣2）；
（3）存在一點E，使得以E、A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形．
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（2，﹣3），設(shè)E（x，y），
①當AB為對角線時，
則，
解得：，
∴E（0，3）；
②當AC為對角線時，
則，
解得：，
∴E（﹣2，﹣3）；
③當BC為對角線時，
則，
解得：，
∴E（6，﹣3）．
綜上所述，E點坐標為（0，3）或（﹣2，﹣3）或（6，﹣3）．
【變式1-1】（2022?寶山區(qū)模擬）已知一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三點，頂點為D．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）求經(jīng)過A、D兩點的直線的表達式；
（3）設(shè)P為直線AD上一點，且以A、P、C、B為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標．
【解答】解：（1）設(shè)y＝ax2+bx+c，
將點A（1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴D（2，1），
設(shè)直線AD的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x﹣1；
（3）設(shè)P（t，t﹣1），
①當AB為平行四邊形的對角線時，t＝1+3＝4，
∴P（4，3）；
②當AC為平行四邊形的對角線時，1＝3+t，
∴t＝﹣2，
∴P（﹣2，﹣3）；
③當AP為平行四邊形的對角線時，t+1＝3，
∴t＝2，
∴P（2，1），
此時﹣3+0≠1+0，
∴P（2，1）不符合題意；
綜上所述：P點的坐標為（4，3）或（﹣2，﹣3）．
【變式1-2】（2021秋?建昌縣期末）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（﹣3，0）兩點，與y軸交于點C，P是拋物線上一動點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當點P在直線BC上方的拋物線上時，求△PBC的最大面積，并直接寫出此時P點坐標；
（3）若點M在拋物線的對稱軸上，以B，C，P，M為頂點、BC為邊的四邊形能否是平行四邊形？若能，請直接寫出點P的坐標；若不能，請說明理由．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（﹣3，0）兩點，
∴，
∴，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如圖1，
由（1）知，拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，
令x＝0，則y＝3，
∴C（0，3），
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+3，
∵點B（﹣3，0），
∴﹣3k+3＝0，
∴k＝1，
∴直線BC的解析式為y＝x+3，
過點P作PQ∥y軸交BC于Q，
設(shè)P（m，﹣m2﹣2m+3）（﹣3＜m＜0），
∴Q（m，m+3），
∴PQ＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，
∴S△PBC＝PQ（xC﹣xB）＝（﹣m2﹣3m）[0﹣（﹣3）]＝﹣（m+）2+，
∴當m＝﹣時，△PBC的最大面積為，此時，點P的坐標為（﹣，）；
（3）能是平行四邊形；
如圖2，由（1）知，拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，
∴拋物線的對稱軸為x＝﹣1，
∴設(shè)點M（﹣1，a），P（n，﹣n2﹣2n+3），
假設(shè)存在以B，C，P，M為頂點、BC為邊的四邊形是平行四邊形，
①當四邊形BCMP是平行四邊形時，
∵點C（0，3），B（﹣3，0），
∴（n+0）＝（[﹣3+（﹣1）]，
∴n＝﹣4，
∴P（﹣4，﹣5），
②當四邊形BCP'M'是平行四邊形時，
∵點C（0，3），B（﹣3，0），
∴[n+（﹣3）]＝（[0+（﹣1）]，
∴n＝2，
∴P（2，﹣5），
即：滿足條件的點P（﹣4，﹣5）或（2，﹣5）．
【考點2 兩定兩動類型】
【典例2】（2022?牡丹區(qū)三模）如圖，直線y＝﹣x+4與x軸交于點C，與y軸交于點B，拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過B，C兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）E是直線BC上方拋物線上的一動點，當點E到直線BC的距離最大時，求點E的坐標；
（3）Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得以P，Q，B，C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）∵直線y＝﹣x+4與x軸交于點C，與y軸交于點B，
∴點B，C的坐標分別為B（0，4），C（4，0），
把點B（0，4）和點C（4，0）代入拋物線y＝ax2+x+c，
得：，
解之，得，
∴拋物線的解析式為．
（2）∵BC為定值，
∴當△BEC的面積最大時，點E到BC的距離最大．
如圖，過點E作EG∥y軸，交直線BC于點G．
設(shè)點E的坐標為，則點G的坐標為（m，﹣m+4），
∴，
∴，
∴當m＝2時，S△BEC最大．此時點E的坐標為（2，4）．
（3）存在．由拋物線可得對稱軸是直線x＝1．
∵Q是拋物線對稱軸上的動點，∴點Q的橫坐標為1．
①當BC為邊時，點B到點C的水平距離是4，
∴點Q到點P的水平距離也是4．
∴點P的橫坐標是5或﹣3，∴點P的坐標為或；
②當BC為對角線時，點Q到點C的水平距離是3，
∴點B到點P的水平距離也是3，∴點P的坐標為．
綜上所述，在拋物線上存在點P，使得以P，Q，B，C為頂點的四邊形是平行四邊形，
點P的坐標是或或．
【變式2-1】（2022?南京模擬）已知，如圖，拋物線與坐標軸相交于點A（﹣1，0），C（0，﹣3）兩點，對稱軸為直線x＝1，對稱軸與x軸交于點D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點F為二次函數(shù)圖象上與點C對稱的點，點M在拋物線上，點N在拋物線的對稱軸上，是否存在以點F，A，M，N為頂點的平行四邊形？若存在，直接寫出點M的坐標，若不存在，說明理由．
【解答】解：（1）∵拋物線對稱軸為直線x＝1，
∴設(shè)拋物線y＝a（x﹣1）2+k，
把A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）2+k得：，
∴，
∴y＝（x﹣1）2﹣4；
（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
依題意設(shè)N（1，n），M（m，m2﹣2m﹣3），
∵C（0，﹣3），對稱軸為直線x＝1，
∴F（2，﹣3），
∵A（﹣1，0），F(xiàn)（2，﹣3），N（1，n），M（m，m2﹣2m﹣3），
當以AF為對角線時，
，
∴m＝0，
∴M（0，﹣3），
當以AN為對角線時，
，
∴m＝﹣2，
∴M（﹣2，5），
當以AM為對角線時，
，
∴m＝4，
∴M（4，5），
綜上所述：M（0，﹣3）或M（﹣2，5）或M（4，5）．
【變式2-2】（2022?東莞市校級一模）如圖所示，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），交y軸于點C（0，﹣3），已知AB＝4，對稱軸在y軸左側(cè)．
（1）求拋物線的表達式；
（2）若點N在對稱軸上，則拋物線上是否存在點M，使得點A、O、N、M構(gòu)成平行四邊形，若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；
【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c交y軸于點C（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∴拋物線的解析式為y＝x2+bx﹣3，
設(shè)A（x1，0），B（x2，0），
由題意得x2﹣x1＝4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，
∵x1+x2＝﹣b，x1x2＝﹣3，
∴b2+12＝16，
∴b＝±2，
又∵對稱軸在y軸左側(cè)，
∴b＝2，
∴拋物線的表達式為y＝x2+2x﹣3；
（2）存在點M，使得點A、O、N、M構(gòu)成平行四邊形．
∵拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3，
∴y＝0時，x＝﹣3或x＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
①若OA為邊，
∴AO∥MN，OA＝MN＝3，
∵N在對稱軸x＝﹣1上，
∴點M的橫坐標為2或﹣4，
當x＝2時，y＝5，當x＝﹣4時，y＝5，
∴M（2，5）或（﹣4，5）；
②若OA為對角線時，
∵A（﹣3，0），O（0，0），
∴OA的中點的坐標為（﹣，0），
∵N在直線x＝﹣1上，
設(shè)M的橫坐標為m，
∴，
∴m＝﹣2，
把m＝﹣2代入拋物線解析式得y＝﹣3，
∴M（﹣2，﹣3）．
綜上所述，M的坐標為（2，5）或（﹣4，5）或（﹣2，﹣3）；
（3）∵B（1，0），C（0，﹣3），
∴S△OBC＝，
∴S△OBC＝S△PBC＝，
設(shè)BC的解析式為y＝kx+n，
∴，
∴，
∴直線BC的解析式為y＝3x﹣3，
過點O作OP∥BC交拋物線于P，則S△OBC＝S△PBC，直線OP的解析式為y＝3x，
∴，
解得，，
∴P（，）或（，）．
【變式2-3】（2022?百色一模）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與一直線相交于A（﹣1，0），B（2，3）兩點，拋物線的頂點為M．
（1）求拋物線的表達式及頂點M的坐標；
（2）若拋物線的對稱軸與直線AB相交于點N，E為直線AB上的任意一點，過點E作EF∥y軸交拋物線于點F，以M，N，E，F(xiàn)為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求出點E的坐標；若不能，請說明理由．
【解答】解：（1）由題意得：，
解得，
所以拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x+3；
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴頂點M的坐標為（1，4）．
（2）能．
設(shè)點E的橫坐標為t，則點F的橫坐標為t，
當﹣1＜t＜2，由（2）得，EF＝（﹣t2+2t+3）﹣（t+1）＝﹣t2+t+2；
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴該拋物線的對稱軸為直線x＝1，頂點M的坐標為（1，4），
直線AB：y＝x+1，當x＝1時，y＝2，
∴B（1，2），
∴BD＝4﹣2＝2，
∵EF∥MN，
∴當EF＝MN＝2時，四邊形MNEF是平行四邊形，
∴﹣t2+t+2＝2，
解得t1＝0，t2＝1（不符合題意，舍去），
直線y＝x+1，當x＝0時，y＝1，
∴E（0，1）；
當x＜﹣1或x＞2時，則EF＝（t+1）﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣t﹣2，
∴t2﹣t﹣2＝2，
解得t1＝，t2＝，
直線y＝x+1，當x＝時，y＝；當x＝時，y＝，
∴E（，），E′（，），
綜上所述，點E的坐標為（0，1）或（，）或′（，）．

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專題04 二次函數(shù)與角度有關(guān)的問題（知識解讀）-備戰(zhàn)中考數(shù)學《重難點解讀?專項訓練》（全國通用）

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專題03 二次函數(shù)與面積有關(guān)的問題（知識解讀）-備戰(zhàn)中考數(shù)學《重難點解讀?專項訓練》（全國通用）

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