2．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與y軸相交于點C（0，﹣2），與x軸分別交于點B（3，0）和點A，且tan∠CAO＝1．
（1）求拋物線解析式．
（2）拋物線上是否存在一點Q，使得∠BAQ＝∠ABC，若存在，請求出點Q坐標，若不存在，請說明理由；
（3）拋物線的對稱軸交x軸于點D，在y軸上是否存在一個點P，使PC+PD值最小，若存在，請求出最小值，若不存在，請說明理由．
3．如圖，已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣8a（a＞0）與x軸從左至右依次交于A，B兩點，與y軸交于點C，經(jīng)過點B的直線y＝﹣x+與拋物線的另一交點為D，且點D的橫坐標為﹣5．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）若點P（x，y）在該二次函數(shù)的圖象上，且S△BCD＝S△ABP，求點P的坐標；
（3）設F為線段BD上的一個動點（異于點B和D），連接AF．是否存在點F，使得2AF+DF的值最??？若存在，分別求出2AF+DF的最小值和點F的坐標，若不存在，請說明理由．
4．如圖，拋物線y＝﹣x2﹣6x+7交x軸于A，B兩點（點A在點B左側），交y軸于點C，直線y＝x+7經(jīng)過點A、C，點M是線段AC上的一動點（不與點A，C重合）．
（1）求A，B兩點的坐標；
（2）當點P，C關于拋物線的對稱軸對稱時，求PM+AM的最小值及此時點M的坐標；
5．已知：如圖所示，拋物線y＝﹣x2﹣x+c與x軸交于A、B兩點，與y軸的正半軸交于點C，點A在點B的左側，且滿足tan∠CAB?tan∠CBA＝1．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）若點P是拋物線y＝﹣x2﹣x+c上一點，且△PAC的內(nèi)切圓的圓心正好落在x軸上，求點P的坐標；
（3）若M為線段AO上任意一點，求MC+AM的最小值．
6．已知拋物線y＝ax2﹣4ax﹣12a與x軸相交于A，B兩點，與y軸交于C點，且OC＝OA．設拋物線的頂點為M，對稱軸交x軸于點N．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點E（m，n）為拋物線上的一點，且0＜m＜6，連接AE，交對稱軸于點P．點F為線段BC上一動點，連接EF，當PA＝2PE時，求EF+BF的最小值．
專題09 二次函數(shù)與胡不歸綜合應用（專項訓練）
1如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+2x的頂點為A點，且與x軸的正半軸交于點B，P點為該拋物線對稱軸上一點，則2OP+AP的最小值為 ．
【答案】6
【解答】解：連接AO、AB，PB，作PH⊥OA于H，BC⊥AO于C，如圖，
∵y＝0時，﹣x2+2x＝0，解得x1＝0，x2＝2，
∴B的坐標為（2，0），
∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣）2+3，
∴A的坐標為（，3），
∴OA＝＝2，
而AB＝AO＝2，
∴AB＝AO＝OB，
∴△AOB為等邊三角形，
∴∠OAP＝30°，
∴PH＝AP，
∵AP垂直平分OB，
∴PO＝PB，
∴OP+AP＝PB+PH，
當H、P、B共線時，PB+PH的值最小，最小值為BC的長，
而BC＝AB＝3，
∴2OP+AP＝2（OP+AP）的最小值為6．
故答案為：6．
2．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與y軸相交于點C（0，﹣2），與x軸分別交于點B（3，0）和點A，且tan∠CAO＝1．
（1）求拋物線解析式．
（2）拋物線上是否存在一點Q，使得∠BAQ＝∠ABC，若存在，請求出點Q坐標，若不存在，請說明理由；
（3）拋物線的對稱軸交x軸于點D，在y軸上是否存在一個點P，使PC+PD值最小，若存在，請求出最小值，若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）∵C（0，﹣2），
∴OC＝2，
∵tan∠CAO＝1，
∴＝1，
∴OA＝2，A（﹣2，0），
將A（﹣2，0），B（3，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c得：
，解得，
∴拋物線解析式為y＝x2﹣x﹣2；
（2）存在一點Q，使得∠BAQ＝∠ABC，理由如下：
過A作AM∥BC交y軸于M，交拋物線于Q，作M關于x軸的對稱點M'，作直線AM'交拋物線于Q'，如圖：
∵AM∥BC，
∴∠QAB＝∠ABC，即Q是滿足題意的點，
∵B（3，0），C（0，﹣2），
∴直線BC解析式是y＝x﹣2，
設直線AM解析式為y＝x+m，將A（﹣2，0）代入得﹣+m＝0，
∴m＝，
∴直線AM解析式為y＝x+，M（0，），
解得（與A重合，舍去）或，
∴Q（5，），
∵M、M'關于x軸對稱，
∴∠Q'AB＝∠QAB＝∠ABC，M'（0，﹣），
∴Q'是滿足題意的點，
設直線AQ'為y＝kx﹣，將A（﹣2，0）代入得﹣2k﹣＝0，
∴k＝﹣，
∴直線AQ'為y＝﹣x﹣，
解得（舍去）或，
∴Q（1，﹣2）；
綜上所述，點Q坐標是（5，）或（1，﹣2）；
（3）在y軸上存在一個點P，使PC+PD值最小，理由如下：
過P作PH⊥AC于H，過D作DH'⊥AC于H'，交y軸于P'，如圖：
∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，
∴拋物線對稱軸是直線x＝，
∴D（，0），
∵OA＝OC＝2，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OCA＝45°＝∠OAC，
∴△PCH是等腰直角三角形，
∴PH＝PC，
∴PC+PD最小即是PH+PD最小，
∴當P運動到P'，H和H'重合時，PC+PD的最小，最小值是DH'，
∵∠OAC＝45°，DH'⊥AC，
∴△ADH'是等腰直角三角形，
∴DH'＝AD，
∵A（﹣2，0），D（，0），
∴AD＝，
∴DH'＝，即PC+PD的最小值是．
3．如圖，已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣8a（a＞0）與x軸從左至右依次交于A，B兩點，與y軸交于點C，經(jīng)過點B的直線y＝﹣x+與拋物線的另一交點為D，且點D的橫坐標為﹣5．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）若點P（x，y）在該二次函數(shù)的圖象上，且S△BCD＝S△ABP，求點P的坐標；
（3）設F為線段BD上的一個動點（異于點B和D），連接AF．是否存在點F，使得2AF+DF的值最小？若存在，分別求出2AF+DF的最小值和點F的坐標，若不存在，請說明理由．
【解答】解：把x＝﹣5代入y＝﹣x+，
解得y＝3，
∴D（﹣5，3），
把D（﹣5，3）代入y＝ax2﹣2ax﹣8a，
解得a＝，
∴拋物線的解析式為；
（2）設直線BD與y軸交于點E，
∴E（0，），
由可得A（﹣2，0），B（4，0），C（0，），
由S△BCD＝S△ABP，
∴CE?|xB﹣xD|＝AB?|yP|，
∴（﹣）×（4+5）＝（4+2）×|yP|，
∴|yP|＝，
∴yP＝±，
∵拋物線的頂點為（1，﹣），
∴yP＝，
∴P點坐標為或；
（3）存在點F，使得2AF+DF的值最小，理由如下：
過點D作DM平行于x軸，故∠BDM＝30°，過F作FH⊥DM于H，
∴sin30°＝＝，
∴HF＝DF，
∴2AF+DF＝2（AF+DF）＝2（AF+HF）＝2AH，
當A、F、H三點共線時，即AH⊥DM時，2AF+DF取最小值，
∵A（﹣2，0），
∴F（﹣2，2），
∵D（﹣5，3），
∴AH＝3，
∴2AF+DF的最小值為6．
4．如圖，拋物線y＝﹣x2﹣6x+7交x軸于A，B兩點（點A在點B左側），交y軸于點C，直線y＝x+7經(jīng)過點A、C，點M是線段AC上的一動點（不與點A，C重合）．
（1）求A，B兩點的坐標；
（2）當點P，C關于拋物線的對稱軸對稱時，求PM+AM的最小值及此時點M的坐標；
【解答】解：（1）在y＝﹣x2﹣6x+7中，令y＝0得：
﹣x2﹣6x+7＝0，解得x＝﹣7或x＝1，
∴A（﹣7，0），B（1，0）；
（2）過P作PN⊥x軸于N，交AC于M，如圖：
拋物線y＝﹣x2﹣6x+7的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣3，
在y＝﹣x2﹣6x+7中，令x＝0得y＝7，
∴C（0，7），
∴AC＝＝7，
∴sin∠CAB＝＝＝，
在Rt△AMN中，MN＝AM?sin∠CAB＝AM，
∴PM+AM最小，即是PM+MN最小，由垂線段最短可知PM+AM的最小值即為PN的長，
∵點P，C（0，7）關于拋物線的對稱軸直線x＝﹣3對稱，
∴PN與OC關于拋物線y＝﹣x2﹣6x+7的對稱軸直線x＝﹣3對稱，P（﹣6，7），
∴PN＝OC＝7，即PM+AM的最小值為7，
由A（﹣7，0），C（0，7）得直線AC解析式為y＝x+7，
在y＝x+7中，令x＝﹣6得y＝，
∴M（﹣6，）；
5．已知：如圖所示，拋物線y＝﹣x2﹣x+c與x軸交于A、B兩點，與y軸的正半軸交于點C，點A在點B的左側，且滿足tan∠CAB?tan∠CBA＝1．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）若點P是拋物線y＝﹣x2﹣x+c上一點，且△PAC的內(nèi)切圓的圓心正好落在x軸上，求點P的坐標；
（3）若M為線段AO上任意一點，求MC+AM的最小值．
【解答】解：（1）設點A、B的橫坐標分別為x1，x2，
令y＝0可得﹣x2﹣x+c＝0，
∴x1?x2＝﹣2c，
∵tan∠CAB?tan∠CBA＝1，即＝1，
∴OC2＝OA?OB＝（﹣x1）?x2＝2C，
即c2＝2c，
解得c1＝0（舍去），c2＝2，
∴拋物線y＝﹣x2﹣x+2，
令y＝0解得，x1＝﹣4，x2＝1，
故點A（﹣4，0），點B（1，0）；
（2）△PAC的內(nèi)切圓圓心正好落在x軸上，則x軸為∠CAP的角平分線，
作點C關于x軸的對稱點C'（0，﹣2），
設直線AC'的解析式為y＝kx+b，將點A（﹣4，0），C'（0，﹣2）代入，
得，
解得，
∴直線AC'的解析式為y＝x﹣2，
聯(lián)立拋物線與直線得，
解得，，
故點P坐標（2，﹣3）；
（3）過點A作直線AD，使sin∠OAD＝，過點M作ME⊥AD于點E，如圖，
在Rt△MAE中，sin∠OAD＝，
∴ME＝AM，
∴MC+AM＝MC+ME，當點M、C、E三點共線時，MC+ME最小為CE，
∵∠OMC＝∠EMA．∠MEA＝∠COM，
∴∠EAM＝∠OCM，
在Rt△OCM中，sin∠OCM＝sin∠OAD＝，OC＝2，
∴tan∠OCM＝＝＝，cs∠OAD＝＝，
∴OM＝1，CM＝，
∴AM＝4﹣1＝3，
在Rt△AEM中，sin∠OAD＝，AM＝3，
∴EM＝3?sin∠OAD＝，
∴MC+ME＝+＝．
故MC+AM的最小值．
6．已知拋物線y＝ax2﹣4ax﹣12a與x軸相交于A，B兩點，與y軸交于C點，且OC＝OA．設拋物線的頂點為M，對稱軸交x軸于點N．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點E（m，n）為拋物線上的一點，且0＜m＜6，連接AE，交對稱軸于點P．點F為線段BC上一動點，連接EF，當PA＝2PE時，求EF+BF的最小值．
【解答】解：（1）在y＝ax2﹣4ax﹣12a中，令y＝0得ax2﹣4ax﹣12a＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝6，
∴OA＝2，
∵OC＝OA，
∴OC＝3，即C（0，3），
將C（0，3）代入y＝ax2﹣4ax﹣12a得a＝﹣，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+3；
（2）過E作EH⊥x軸于H，交BC于F'，過F作FQ⊥x軸于Q，如圖：
∵y＝﹣x2+x+3對稱軸為直線x＝2，
∴P橫坐標為2，即ON＝2，
∴AN＝2﹣（﹣2）＝4，
∵AP＝2PE，
∴AN＝2NH，
∴NH＝2，
∴E橫坐標為4，在y＝﹣x2+x+3中令x＝4得y＝3，
∴E（4，3），
由（1）可知：OC＝3，OB＝6，
Rt△BOC中，BC＝＝3，
∴sin∠CBO＝＝＝，
∵EH⊥x軸，
∴Rt△BFQ中，sin∠CBO＝＝，
∴FQ＝BF，
而EF+BF＝（EF+BF），
∴EF+BF最小即是EF+BF最小，也是EF+FQ最小，此時E、F、Q共線，即F與F'重合，Q與H重合，EH的長度即是EF+BF的最小值，
∵EH＝|yE|＝3，
∴EF+BF的最小值為3，
∴EF+BF的最小值為；

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