1．正方形ABCD中，E、F分別為AB、BC的中點，AF與DE相交于點O，則＝（ ）
A．B．C．D．
2．如圖，正方形ABCD內(nèi)有兩條相交線段MN，EF，M，N，E，F(xiàn)分別在邊AB，CD，AD，BC上．小明認(rèn)為：若MN＝EF，則MN⊥EF；小亮認(rèn)為：若MN⊥EF，則MN＝EF．你認(rèn)為（ ）
A．僅小明對B．僅小亮對C．兩人都對D．兩人都不對
3．如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊CD、AD上的點，且CE＝DF，AE、BF相交于點O，下列結(jié)論：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF；（3）AO＝OE；（4）S△AOB＝S四邊形DEOF中正確的有（ ）
A．4個B．3個C．2個D．1個
4．正方形ABCD中，E、F分別為AB、BC的中點，AF與DE相交于點O，則＝ ．
5．如圖，正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，BG分別交AE、AF于M、N，下列結(jié)論：①AF⊥BG；②；③S四邊形CGNF＝S△ABN；④．其中正確結(jié)論的序號有 ．
6．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E，F(xiàn)分別是CD，BC邊上的動點，且CE+CF＝4，BE和AF相交于點G，在點E、F運(yùn)動的過程中，當(dāng)△AGB中某一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的2倍時，△BCG的面積為 ．
7．如圖，正方形ABCD中，點P，Q分別為CD，AD邊上的點，且DQ＝CP，連接BQ，AP．求證：BQ⊥AP．
8．如圖1，正方形ABCD中，點P為線段BC上一個動點，若線段MN垂直AP于點E，交線段AB于M，CD于N，證明：AP＝MN；
如圖2，正方形ABCD中，點P為線段BC上一動點，若線段MN垂直平分線段AP，分別交AB、AP、BD、DC于點M、E、F、N．
（1）求證：EF＝ME+FN；
（2）若正方形ABCD的邊長為2，則線段EF的最小值＝ ，最大值＝ ．
9．（1）如圖1，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，AE，BF交于點O，∠AOF＝90°．求證：BE＝CF．
（2）如圖2，在正方形ABCD中，點E，H，F(xiàn)，G分別在邊AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于點O，∠FOH＝90°，EF＝4．求GH的長．
10．綜合與實踐：
如圖，在正方形ABCD中，點E是邊AB上的一個動點（點E與點A，B不重合），連接CE，過點B作BF⊥CE于點G，交AD于點F．
（1）如圖1，求證：△ABF≌△BCE；
（2）如圖2，當(dāng)點E運(yùn)動到AB中點時，連接DG，求證：DC＝DG；
（3）如圖3，若AB＝4，連接AG，當(dāng)點E在邊AB上運(yùn)動的過程中．AG是否存在最小值，若存在，請直接寫出AG最小值，及此時AE的值；若不存在，請說明理由．
11．如圖，BD是矩形ABCD的一條對角線，EF⊥BD交AD于點E，交BC于點F，若AB＝3，BC＝4，則EF的長是（ ）
A．B．C．D．4
專題08 十字架模型綜合應(yīng)用（專項訓(xùn)練）
1．正方形ABCD中，E、F分別為AB、BC的中點，AF與DE相交于點O，則＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：根據(jù)題意，AE＝BF，AD＝AB，∠EAD＝∠B＝90°，
∴△ADE≌△BAF．
∴∠ADE＝∠BAF，∠AED＝∠BFA．
∵∠DAO+∠FAB＝90°，∠FAB+∠BFA＝90°，
∴∠DAO＝∠BFA，
∴∠DAO＝∠AED．
∴△AOD∽△EAD．
所以＝＝．
故選：D．
2．如圖，正方形ABCD內(nèi)有兩條相交線段MN，EF，M，N，E，F(xiàn)分別在邊AB，CD，AD，BC上．小明認(rèn)為：若MN＝EF，則MN⊥EF；小亮認(rèn)為：若MN⊥EF，則MN＝EF．你認(rèn)為（ ）
A．僅小明對B．僅小亮對C．兩人都對D．兩人都不對
【答案】B
【解答】解：解法一：若MN＝EF，則必有MN⊥EF，這句話是正確的．
如圖，∵EF＝MN，MH＝EG，
∴Rt△MHN≌Rt△EGF（HL），
∴∠EFG＝∠MNH，
又∵∠EFG＝∠ELM，
∴∠NMH+∠MNH＝∠NMH+∠EFG＝∠NMH+∠ELM＝90°，
∴∠MOL＝90°，
即MN⊥EF，但EF不僅僅是這一種情況，如將第一個圖中的線段EF沿直線EG折疊過去，得到的EF′就是反例，此時有MN＝EF′，但是MN與EF′肯定不垂直，因此小明的觀點是錯誤的；
解法二：若MN⊥EF，則MN＝EF這句話是對的；
分別把MN和EF平移，如圖，
∠AMN＝∠AGD＝∠BFE＝∠DHC，
MN＝GD＝AD÷sin∠AGD，
EF＝HC＝CD÷sin∠DHC，
因此MN＝EF．
故選：B．
3．如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊CD、AD上的點，且CE＝DF，AE、BF相交于點O，下列結(jié)論：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF；（3）AO＝OE；（4）S△AOB＝S四邊形DEOF中正確的有（ ）
A．4個B．3個C．2個D．1個
【答案】B
【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠D＝90°，
而CE＝DF，
∴AF＝DE，
在△ABF和△DAE中
，
∴△ABF≌△DAE，
∴AE＝BF，所以（1）正確；
∴∠ABF＝∠EAD，
而∠EAD+∠EAB＝90°，
∴∠ABF+∠EAB＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴AE⊥BF，所以（2）正確；
連接BE，
∵BE＞BC，
∴BA≠BE，
而BO⊥AE，
∴OA≠OE，所以（3）錯誤；
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF＝S△DAE，
∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，
∴S△AOB＝S四邊形DEOF，所以（4）正確．
故選：B．
4．正方形ABCD中，E、F分別為AB、BC的中點，AF與DE相交于點O，則＝ ．
【答案】
【解答】解：∵AD＝AB，AE＝BF，∠DAE＝∠B＝90°；
∴△ADE≌△BAF（SAS）；
∴∠ADE＝∠OAE；
又∵∠OEA＝∠AED，
∴△OAE∽△ADE；
∴．
5．如圖，正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，BG分別交AE、AF于M、N，下列結(jié)論：①AF⊥BG；②；③S四邊形CGNF＝S△ABN；④．其中正確結(jié)論的序號有 ．
【答案】①③④
【解答】解：過點G作GH⊥AB，垂足為H，交AE于點O，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠C＝∠DAB＝∠D＝90°，AD∥BC，
∵BE＝EF＝FC，CG＝2GD，
∴BF＝BC，CG＝CD，
∴BF＝CG，
∴△ABF≌△BCG（SAS），
∴∠AFB＝∠CGB，
∵∠CGB+∠CBG＝90°，
∴∠AFB+∠CBG＝90°，
∴∠BNF＝180°﹣（∠AFB+∠CBG）＝90°，
∴AF⊥BG，
故①正確；
在Rt△ABF中，tan∠AFB＝＝＝，
∴在Rt△BNF中，tan∠AFB＝＝，
∴BN＝NF，
故②不正確；
∵△ABF≌△BCG，
∴S△ABF＝S△BCG，
∴S△ABF﹣S△BNF＝S△BCG﹣S△BNF，
∴S四邊形CGNF＝S△ABN，
故③正確；
∵∠DAB＝∠D＝∠AHG＝90°，
∴四邊形ADGH是矩形，
∴AD＝GH，DG＝AH，AD∥GH，
∴GH∥BC，
設(shè)DG＝AH＝a，
∴CD＝3DG＝3a，
∴AB＝AD＝BC＝3a，
∴BE＝BC＝a，
∵∠AHO＝∠ABE＝90°，∠HAO＝∠BAE，
∴△AHO∽△ABE，
∴＝，
∴＝，
∴OH＝a，
∴GO＝GH﹣OH＝3a﹣a＝a，
∵GH∥BC，
∴∠OGM＝∠GBE，∠GOM＝∠OEB，
∴△GOM∽△BEM，
∴＝＝＝，
∴，
故④正確，
所以，正確結(jié)論的序號有：①③④，
故答案為：①③④．
6．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E，F(xiàn)分別是CD，BC邊上的動點，且CE+CF＝4，BE和AF相交于點G，在點E、F運(yùn)動的過程中，當(dāng)△AGB中某一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的2倍時，△BCG的面積為 ．
【答案】4或2
【解答】解：∵正方形ABCD的邊長為4，
∴CF+BF＝4．
∵CE+CF＝4，
∴CE＝BF．
在△ABF和△BCE中，
，
∴△ABF≌△BCE（SAS）．
∴∠AFB＝∠BEC．
∵AB∥CD，
∴∠ABG＝∠BEC．
∴∠ABG＝∠AFB．
∵∠ABG+∠FBG＝90°，
∴∠AFB+∠FBG＝90°．
∴BG⊥AF．
∴∠AGB＝90°．
∵△AGB中某一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的2倍，
∴∠ABG＝45°或60°．
∴∠GBF＝45°或30°．
過點G作GH⊥BC于點H，如圖，
當(dāng)∠GBF＝45°時，點F與點C重合，
∴GH＝，
∴△BCG的面積＝×BC×GH＝4．
當(dāng)∠GBF＝30°時，
∵BG＝AB＝2，
∴GH＝BG＝1．
∴△BCG的面積＝×BC×GH＝2．
綜上，△BCG的面積為4或2．
故答案為：4或2．
7．如圖，正方形ABCD中，點P，Q分別為CD，AD邊上的點，且DQ＝CP，連接BQ，AP．求證：BQ⊥AP．
【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵DQ＝CP，
∴AD﹣DQ＝CD﹣CP，
∴AQ＝DP，
∴△ABQ≌△DAP（SAS），
∴∠DAP＝∠ABQ，
∵∠DAP+∠BAP＝90°，
∴∠ABQ+BAP＝90°，
∴BQ⊥AP．
8．如圖1，正方形ABCD中，點P為線段BC上一個動點，若線段MN垂直AP于點E，交線段AB于M，CD于N，證明：AP＝MN；
如圖2，正方形ABCD中，點P為線段BC上一動點，若線段MN垂直平分線段AP，分別交AB、AP、BD、DC于點M、E、F、N．
（1）求證：EF＝ME+FN；
（2）若正方形ABCD的邊長為2，則線段EF的最小值＝ ，最大值＝ ．
【解答】解：（1）AP＝MN，
理由如下：
如圖1，
過B點作BH∥MN交CD于H，
∵BM∥NH，
∴四邊形MBHN為平行四邊形，
∵BH＝AP，
∴MN＝AP
（2）如圖2，連接FA，F(xiàn)P，F(xiàn)C
∵正方形ABCD是軸對稱圖形，F(xiàn)為對角線BD上一點
∴FA＝FC，
又∵FE垂直平分AP，
∴FA＝FP，
∴FP＝FC，
∴∠FPC＝∠FCP，
∵∠FAB＝∠FCP，
∴∠FAB＝∠FPC，
∴∠FAB+∠FPB＝180°，
∴∠ABC+∠AFP＝180°，
∴∠AFP＝90°，
∴FE＝AP，
由（1）知，AP＝MN
∴MN＝ME+EF+FN＝AP＝2EF，
∴EF＝ME+FN
（3）由（2）有，EF＝ME+FN，
∵M(jìn)N＝EF+ME+NF，
∴EF＝MN，
∵AC，BD是正方形的對角線，
∴BD＝2，
當(dāng)點P和點B重合時，EF最?。組N＝AB＝1，
當(dāng)點P和C重合時，EF最大＝MN＝BD＝，
故答案為1，
9．（1）如圖1，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，AE，BF交于點O，∠AOF＝90°．求證：BE＝CF．
（2）如圖2，在正方形ABCD中，點E，H，F(xiàn)，G分別在邊AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于點O，∠FOH＝90°，EF＝4．求GH的長．
【解答】（1）證明：∵正方形ABCD中，
∴AB＝BC，
∠ABE＝∠BCF＝90°，
∵∠AOF＝90°，∠AOB＝90°，
∴∠BAE+∠OBA＝90°，
又∵∠FBC+∠OBA＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF（同角的余角相等），
∴△ABE≌△BCF（ASA）．
∴BE＝CF；
（2）解：如圖，過點A作AM∥GH交BC于M，
過點B作BN∥EF交CD于N，AM與BN交于點O′，
則四邊形AMHG和四邊形BNFE均為平行四邊形，
∴EF＝BN，GH＝AM，
∵∠FOH＝90°，AM∥GH，EF∥BN，
∴∠NO′A＝90°，
故由（1）得，△ABM≌△BCN，∴AM＝BN，
∴GH＝EF＝4；
10．綜合與實踐：
如圖，在正方形ABCD中，點E是邊AB上的一個動點（點E與點A，B不重合），連接CE，過點B作BF⊥CE于點G，交AD于點F．
（1）如圖1，求證：△ABF≌△BCE；
（2）如圖2，當(dāng)點E運(yùn)動到AB中點時，連接DG，求證：DC＝DG；
（3）如圖3，若AB＝4，連接AG，當(dāng)點E在邊AB上運(yùn)動的過程中．AG是否存在最小值，若存在，請直接寫出AG最小值，及此時AE的值；若不存在，請說明理由．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BAD＝∠CBA＝90°，
∴∠CEB+∠BCE＝90°，
∵BF⊥CE，
∴∠ABF+∠CEB＝90°，
∴∠ABF＝∠BCE，
在△ABF和△BCE中，
，
∴△ABF≌△BCE（ASA），
（2）證明：如圖2，延長CD，BF交于點H，
∵點E是AB的中點，
∴BE＝AB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD∥AB，AD＝AB＝BC，∠BAD＝∠CBA＝90°，
∴∠CEB+∠BCE＝90°，
∵BF⊥CE，
∴∠ABF+∠CEB＝90°，
∴∠ABF＝∠BCE，
又∵AB＝BC，∠FAB＝∠EBC＝90°，
∴△ABF≌△BCE（ASA），
∴BE＝AF，
∴BE＝AF＝AB＝AD，
∴AF＝DF，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠H，
在△ABF和△DHF中，
，
∴△ABF≌△DHF（AAS）
∴AB＝DH，
∴DH＝CD，
又∵BF⊥CE，
∴∠BGH＝90°，
∴DC＝DH＝DG．
（3）解：AG存在最小值．
如圖3，以BC為直徑作⊙O，連接AO，OG，
∵BF⊥CE，
∴∠BGC＝90°，
∴點G在以BC為直徑的⊙O上，
在△AGO中，AG≥AO﹣GO，
∴當(dāng)點G在AO上時，AG有最小值，
此時：如圖4，
∵BC＝AB＝4，點O是BC中點，
∴BO＝2＝CO，
∵AO＝＝＝2，
∴AG＝2﹣2，
∵OG＝OB，
∴∠OBG＝∠OGB，
∵AD∥BC，
∴∠AFG＝∠OBG，
∴∠AFG＝∠OBG＝∠OGB＝∠AGF，
∴AG＝AF＝2﹣2，
由（2）可得AF＝BE＝2﹣2，
∴AE＝AB﹣BE＝4﹣（2﹣2）＝6﹣2．
11．如圖，BD是矩形ABCD的一條對角線，EF⊥BD交AD于點E，交BC于點F，若AB＝3，BC＝4，則EF的長是（ ）
A．B．C．D．4
【答案】C
【解答】解：過點A作AG∥EF，交BC于點G，交BD于點H，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝3，∠ABC＝∠C＝90°，
∴四邊形AGFE是平行四邊形，
∴AG＝EF，
∵EF⊥BD，
∴AG⊥BD，
∴∠AHB＝90°，
∴∠HAB+∠ABH＝90°，
∵∠ABH+∠DBC＝90°，
∴∠HAB＝∠DBC，
∴△ABG∽△BCD，
∴＝，
∵BC＝4，CD＝3，∠C＝90°，
∴BD＝＝＝5，
∴＝，
∴AG＝，
∴EF＝AG＝，
故選：C．

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