(能力提升）
1．綜合與實踐
【問題情境】
數(shù)學活動課上，老師出示了一個問題：如圖1，在正方形ABCD中，E是BC的中點，AE⊥EP，EP與正方形的外角∠DCG的平分線交于P點．試猜想AE與EP的數(shù)量關系，并加以證明；
【思考嘗試】
（1）同學們發(fā)現(xiàn)，取AB的中點F，連接EF可以解決這個問題．請在圖1中補全圖形，解答老師提出的問題．
【實踐探究】
（2）希望小組受此問題啟發(fā)，逆向思考這個題目，并提出新的問題：如圖2，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動點（點E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，連接CP，可以求出∠DCP的大小，請你思考并解答這個問題．
【拓展遷移】
（3）突擊小組深入研究希望小組提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點：如圖3，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動點（點E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，連接DP．知道正方形的邊長時，可以求出△ADP周長的最小值．當AB＝4時，請你求出△ADP周長的最小值．
2．如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，點E是邊BC上的動點（與點B、C不重合），過點D作DF∥AE，交射線BC于點F，作FP⊥BD于點P，連結PA、PE．（1）求證：△ABE≌△DCF；
（2）①判斷△APE的形狀，并說明理由；
②求的值；
（3）設BE＝x，PD＝y(tǒng)，求y與x的函數(shù)關系式．
3．我們定義：如圖1，在△ABC中，把AC點繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CA'，把BC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到CB′，連接A′B′．我們稱△A′B′C是△ABC的“旋補交差三角形”，連接AB′、A′B，我們將AB′、A′B所在直線的相交而成的角稱之為△ABC“旋補交差角”，C點到A′B′中點E間的距離成為“旋轉(zhuǎn)中距”．如圖1，∠B′OB即為△ABC“旋補交差角”，CE即為△ABC“旋補中距”．
（1）若已知圖1中AB的長度等于4，當∠ACB＝90°，則△ABC“旋補交差角”∠B′OB＝ ，“旋補中距”CE長度＝ ；
（2）若圖1中∠ACB的度數(shù)發(fā)生改變，則△ABC“旋補交差角”度數(shù)是否發(fā)生改變？請證明你的結論，并直接判斷△ABC“旋補中距”是否也發(fā)生改變；
（3）已知圖2中△A′B′C是△ABC“旋補交差三角形”，AB的長度等于4，A′B′長度等于6，問OC是否存在最小值？如果存在，請求出具體的值，如果不存在，請說明理由．
4．如圖，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°（AB＜AD），△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)．
（1）如圖1，若連接BD，CE，則BD與CE的關系為 ；
（2）如圖2，若連接CD，BE，取BE中點F，連接AF，探究AF與CD的關系，并證明你的結論；
（3）在（2）的條件下，當△ADE旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，點D落在BC延長線上，若AF＝3，AC＝，請直接寫出線段AE的長．
5．（1）閱讀理解：
如圖①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝5，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
可以用如下方法：將△ACD繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三邊的關系即可判斷中線AD的取值范圍是 ；
（2）問題解決：
如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：BE+CF＞EF；
（3）問題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝100°，以C為頂點作一個50°的角，角的兩邊分別交AB、AD于E、F兩點，連接EF，探索線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關系，并說明理由．
6．閱讀下面材料：
小軍遇到這樣一個問題：如圖1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，點D為BC的中點，求AD的取值范圍．
小軍發(fā)現(xiàn)老師講過的“倍長中線法”可以解決這個問題．他的做法是：如圖2，延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，構造△BED≌△CAD，經(jīng)過推理和計算使問題得到解決．
請回答：AD的取值范圍是 ．
參考小軍思考問題的方法，解決問題：
如圖3，△ABC中，E為AB中點，P是CA延長線上一點，連接PE并延長交BC于點D．求證：PA?CD＝PC?BD．
7．【閱讀理解】
截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種輔助線的添加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一短邊相等，從而解決問題．
（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，∠BDC＝120°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關系．
解題思路：延長DC到點E，使CE＝BD，連接AE，根據(jù)∠BAC+∠BDC＝180°，可證∠ABD＝∠ACE易證得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等邊三角形，所以AD＝DE，從而探尋線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關系．
根據(jù)上述解題思路，請直接寫出DA、DB、DC之間的數(shù)量關系是 ；
【拓展延伸】
（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若點D是邊BC下方一點，∠BDC＝90°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關系，并說明理由；
【知識應用】
（3）如圖3，兩塊斜邊長都為14cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點之間的距離PQ的長為 cm．
8．截長補短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策略．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短就是通過延長或旋轉(zhuǎn)等方式使兩條短邊拼合到一起，從而解決問題．
（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，∠BDC＝120°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關系．
解題思路：延長DC到點E，使CE＝BD，根據(jù)∠BAC+∠BDC＝180°，可證∠ABD＝∠ACE，易證△ABD≌△ACE，得出△ADE是等邊三角形，所以AD＝DE，從而解決問題．
根據(jù)上述解題思路，三條線段DA、DB、DC之間的等量關系是；（直接寫出結果）
（2）如圖2，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．點D是邊BC下方一點，∠BDC＝90°，探索三條線段DA、DB、DC之間的等量關系，并證明你的結論．
專題10 截長補短模型綜合應用（專項訓練）
（能力提升）
1．綜合與實踐
【問題情境】
數(shù)學活動課上，老師出示了一個問題：如圖1，在正方形ABCD中，E是BC的中點，AE⊥EP，EP與正方形的外角∠DCG的平分線交于P點．試猜想AE與EP的數(shù)量關系，并加以證明；
【思考嘗試】
（1）同學們發(fā)現(xiàn)，取AB的中點F，連接EF可以解決這個問題．請在圖1中補全圖形，解答老師提出的問題．
【實踐探究】
（2）希望小組受此問題啟發(fā)，逆向思考這個題目，并提出新的問題：如圖2，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動點（點E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，連接CP，可以求出∠DCP的大小，請你思考并解答這個問題．
【拓展遷移】
（3）突擊小組深入研究希望小組提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點：如圖3，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動點（點E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，連接DP．知道正方形的邊長時，可以求出△ADP周長的最小值．當AB＝4時，請你求出△ADP周長的最小值．
【解答】解：（1）AE＝EP，
理由如下：取AB的中點F，連接EF，
∵F、E分別為AB、BC的中點，
∴AF＝BF＝BE＝CE，
∴∠BFE＝45°，
∴∠AFE＝135°，
∵CP平分∠DCG，
∴∠DCP＝45°，
∴∠ECP＝135°，
∴∠AFE＝∠ECP，
∵AE⊥PE，
∴∠AEP＝90°，
∴∠AEB+∠PEC＝90°，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠PEC＝∠BAE，
∴△AFE≌△ECP（ASA），
∴AE＝EP；
（2）在AB上取AF＝EC，連接EF，
由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，
∵AF＝EC，AE＝EP，
∴△FAE≌△CEP（SAS），
∴∠ECP＝∠AFE，
∵AF＝EC，AB＝BC，
∴BF＝BE，
∴∠BEF＝∠BFE＝45°，
∴∠AFE＝135°，
∴∠ECP＝135°，
∴∠DCP＝45°，
（3）連接CP，作DG⊥CP，交BC的延長線于G，交CP于O，連接AG，
由（2）知，∠DCP＝45°，
∴∠CDG＝45°，
∴△DCG是等腰直角三角形，
∴點D與G關于CP對稱，
∴AP+DP的最小值為AG的長，
∵AB＝4，
∴BG＝8，
由勾股定理得AG＝＝4，
∴△ADP周長的最小值為AD+AG＝4+4．
2．如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，點E是邊BC上的動點（與點B、C不重合），過點D作DF∥AE，交射線BC于點F，作FP⊥BD于點P，連結PA、PE．（1）求證：△ABE≌△DCF；
（2）①判斷△APE的形狀，并說明理由；
②求的值；
（3）設BE＝x，PD＝y(tǒng)，求y與x的函數(shù)關系式．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝∠ABE＝90°，AB＝DC，
∴∠DCF＝180°﹣∠BCD＝90°，
∴∠ABE＝∠DCF，
∵DF∥AE，
∴∠AEB＝∠DFC，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS）；
（2）解：①△APE是等腰直角三角形．理由如下：
如圖，連接CP，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，AB＝BC，
∵BP＝BP，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC，∠APB＝∠CPB，
∵FP⊥BD，∠PBF＝45°，
∴△PBF是等腰直角三角形，
∴PB＝PF，∠PFB＝∠PBF＝45°，
∵△ABE≌△DCF，
∴BE＝CF，
∴△BEP≌△FCP（SAS），
∴PE＝PC，∠BPE＝∠FPC，
∴PA＝PE，∠APE＝∠APB+∠BPE＝∠BPC+∠FPC＝∠BPF＝90°，
∴△APE是等腰直角三角形；
②∵△APE是等腰直角三角形，
∴＝，
∵△ABE≌△DCF，
∴AE＝DF，
∴＝＝；
（3）設BE＝x，PD＝y(tǒng)，則BF＝x+1，
∵△PBF是等腰直角三角形，
∴PB＝（x+1），
∵BD＝，
∴y＝﹣（x+1），
即y＝﹣x+（0＜x＜1）．
3．我們定義：如圖1，在△ABC中，把AC點繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CA'，把BC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到CB′，連接A′B′．我們稱△A′B′C是△ABC的“旋補交差三角形”，連接AB′、A′B，我們將AB′、A′B所在直線的相交而成的角稱之為△ABC“旋補交差角”，C點到A′B′中點E間的距離成為“旋轉(zhuǎn)中距”．如圖1，∠B′OB即為△ABC“旋補交差角”，CE即為△ABC“旋補中距”．
（1）若已知圖1中AB的長度等于4，當∠ACB＝90°，則△ABC“旋補交差角”∠B′OB＝ 90° ，“旋補中距”CE長度＝ 2 ；
（2）若圖1中∠ACB的度數(shù)發(fā)生改變，則△ABC“旋補交差角”度數(shù)是否發(fā)生改變？請證明你的結論，并直接判斷△ABC“旋補中距”是否也發(fā)生改變；
（3）已知圖2中△A′B′C是△ABC“旋補交差三角形”，AB的長度等于4，A′B′長度等于6，問OC是否存在最小值？如果存在，請求出具體的值，如果不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）如圖1，
∵把AC點繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CA'，把BC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到CB′，
∴∠ACA'＝90°＝∠BCB'，AC＝A'C，BC＝B'C，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A'CB'＝∠ACB＝90°，∠ACB+∠ACA'＝180°，∠ACB+∠BCB'＝180°，
∴點A，點C，點B'共線，點B，點C，點A'共線，
∴AB′、A′B的交點O與點C重合，
∴△ABC“旋補交差角”∠B′OB＝90°，
∵AC＝A'C，∠A'CB'＝∠ACB＝90°，BC＝B'C，
∴△ACB≌△A'CB'（SAS），
∴AB＝A'B'＝4，
∵點E是A'B'的中點，∠A'CB'＝90°，
∴CE＝2，
故答案為：90°，2；
（2）△ABC“旋補交差角”度數(shù)不變，△ABC“旋補中距”長度不變，理由如下：
∵把AC點繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CA'，把BC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到CB′，
∴∠ACA'＝90°＝∠BCB'，AC＝A'C，BC＝B'C，
∴∠ACB'＝∠BCA'，
在△ACB'和△A'CB中，
，
∴△ACB'≌△A'CB（SAS），
∴∠CAB'＝∠CA'B，
∴點A，點A'，點C，點O四點共圓，
∴∠ACA'＝∠AOA'＝90°＝∠BOB'，
如圖2，延長CE至F，使CE＝EF，連接A'F，B'F，
∵CE＝EF，A'E＝B'E，
∴四邊形A'CB'F是平行四邊形，
∴∠A'CB'+∠FA'C＝180°，A'F＝B'C，
∵∠A'CB'+∠ACB＝360°﹣∠A'CA﹣∠B'CB＝180°，
∴∠ACB＝∠CA'F，
又∵A'C＝AC，A'F＝B'C＝BC，
∴△ACB≌△CA'F（SAS），
∴AB＝CF＝4，
∴CE＝2；
（3）OC存在最小值，最小值為1，理由如下：
如圖3，取A'B'中點E，連接CE，CO，EO，
∵△A′B′C是△ABC“旋補交差三角形”，
∴∠BOB'＝90°，CE＝AB＝2，
∵點E是A'B'中點，∠A'OB'＝90°，
∴OE＝A'B'＝3，
在△OCE中，OC＞OE﹣CE，
∴當點C在線段OE上時，OC有最小值為OE﹣CE＝1．
4．如圖，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°（AB＜AD），△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)．
（1）如圖1，若連接BD，CE，則BD與CE的關系為 BD＝CE，BD⊥CE ；
（2）如圖2，若連接CD，BE，取BE中點F，連接AF，探究AF與CD的關系，并證明你的結論；
（3）在（2）的條件下，當△ADE旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，點D落在BC延長線上，若AF＝3，AC＝，請直接寫出線段AE的長．
【解答】解：（1）BD＝CE，BD⊥CE，理由如下：
如圖1，設CE與BD交于點O，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝EC，∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠CBD+∠ACB＝90°，
∴∠CBD+∠ACB+∠ACE＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∴BD⊥CE，
故答案為：BD＝CE，BD⊥CE；
（2）AF＝CD，AF⊥CD，理由如下：
如圖2，延長FA交DC于點G，延長AF到點H，使FH＝FA，連接EH，
∵F是BE中點，
∴FE＝FB，
又∵∠EFH＝∠BFA，
∴△EFH≌△BFA（SAS），
∴HE＝AB，∠HEB＝∠EBA，
∴HE∥AB，
∴∠HEA+∠BAE＝180°，
∵AB＝AC，
∴HE＝AC，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠CAD+∠BAE＝180°，
∴∠HEA＝∠CAD，
又∵AD＝AE，
∴△HEA≌△CAD（SAS），
∴AH＝CD，∠EAH＝∠ADC，
∵FH＝FA，
∴AF＝AH＝CD，
∵∠DAE＝90°，
∴∠EAH+∠DAG＝90°，
∴∠ADC+∠DAG＝90°，
∴∠AGD＝90°，
∴AG⊥CD，
即AF⊥CD；
（3）如圖3，過點A作AN⊥BC于N，
由（2）可知，CD＝2AF＝6，
∵AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，AN⊥BC，
∴BC＝AB＝8，AN＝BC＝BN＝CN＝4，
∴DN＝CD+CN＝10，
∴AD＝＝＝2，
∴AE＝AD＝2．
5．（1）閱讀理解：
如圖①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝5，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
可以用如下方法：將△ACD繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三邊的關系即可判斷中線AD的取值范圍是 1 ；
（2）問題解決：
如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：BE+CF＞EF；
（3）問題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝100°，以C為頂點作一個50°的角，角的兩邊分別交AB、AD于E、F兩點，連接EF，探索線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關系，并說明理由．
【解答】（1）解：如圖①，將△ACD繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD，則△ACD≌△EBD，
∴AD＝DE，BE＝AC＝5，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即3＜AE＜13，
故答案為：1.5＜AE＜6.5；
（2）證明：如圖②，延長FD至N，使DN＝DF，連接BN、EN，
在△FDC和△NDB中，
，
∴△FDC≌△NDB（SAS）
∴BN＝FC，
∵DF＝DN，DE⊥DF，
∴EF＝EN，
在△EBN中，BE+BN＞EN，
∴BE+CF＞EF；
（3）解：BE+DF＝EF，
理由如下：如圖③，延長AB至點H，使BH＝DF，連接CH，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠HBC+∠ABC＝180°，
∴∠HBC＝∠D，
在△HBC和△FDC中，
，
∴△HBC≌△FDC（SAS）
∴CH＝CF，∠HCB＝∠FCD，
∵∠BCD＝100°，∠ECF＝50°，
∴∠BCE+∠FCD＝50°，
∴∠ECH＝50°＝∠ECF，
在△HCE和△FCE中，
，
∴△HCE≌△FCE（SAS）
∴EH＝EF，
∴BE+DF＝EF．
6．閱讀下面材料：
小軍遇到這樣一個問題：如圖1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，點D為BC的中點，求AD的取值范圍．
小軍發(fā)現(xiàn)老師講過的“倍長中線法”可以解決這個問題．他的做法是：如圖2，延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，構造△BED≌△CAD，經(jīng)過推理和計算使問題得到解決．
請回答：AD的取值范圍是 ．
參考小軍思考問題的方法，解決問題：
如圖3，△ABC中，E為AB中點，P是CA延長線上一點，連接PE并延長交BC于點D．求證：PA?CD＝PC?BD．
【解答】解：（1）1＜AD＜5，
延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，
在△ACD與△EBD中，，
∴△BDE≌△CDA，
∴BE＝AC，
∴2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5；
（2）證明：延長PD至點F，使EF＝PE，連接BF，
∵BE＝AE，∠BEF＝∠AEP，
在△BEF與△AEP中，，
∴△BEF≌△AEP，
∴∠APE＝∠F，BF＝PA，
又∵∠BDF＝∠CDP，
∴△BDF∽△CDP，
∴＝，
∴＝，
即PA?CD＝PC?BD．
7．【閱讀理解】
截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種輔助線的添加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一短邊相等，從而解決問題．
（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，∠BDC＝120°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關系．
解題思路：延長DC到點E，使CE＝BD，連接AE，根據(jù)∠BAC+∠BDC＝180°，可證∠ABD＝∠ACE易證得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等邊三角形，所以AD＝DE，從而探尋線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關系．
根據(jù)上述解題思路，請直接寫出DA、DB、DC之間的數(shù)量關系是 ；
【拓展延伸】
（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若點D是邊BC下方一點，∠BDC＝90°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關系，并說明理由；
【知識應用】
（3）如圖3，兩塊斜邊長都為14cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點之間的距離PQ的長為 cm．
【解答】解：（1）如圖1，延長DC到點E，使CE＝BD，連接AE，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠BDC＝120°，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
又∵∠ACE+∠ACD＝180°，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∵∠ABC＝60°，即∠BAD+∠DAC＝60°，
∴∠DAC+∠CAE＝60°，即∠DAE＝60°，
∴△ADE是等邊三角形，
∴DA＝DE＝DC+CE＝DC+DB，即DA＝DC+DB，
故答案為：DA＝DC+DB；
（2）DA＝DB+DC，
如圖2，延長DC到點E，使CE＝BD，連接AE，
∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
∵∠ACE+∠ACD＝180°，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，CE＝BD，
∴△ABD≌△ACE，
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴DA2+AE2＝DE2，
∴2DA2＝（DB+DC）2，
∴DA＝DB+DC；
（3）如圖3，連接PQ，
∵MN＝14，∠QMN＝30°，
∴QN＝MN＝7，
∴MQ＝＝＝7，
由（2）知PQ＝QN+QM＝7+7，
∴PQ＝＝，
故答案為：．
8．截長補短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策略．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短就是通過延長或旋轉(zhuǎn)等方式使兩條短邊拼合到一起，從而解決問題．
（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，∠BDC＝120°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關系．
解題思路：延長DC到點E，使CE＝BD，根據(jù)∠BAC+∠BDC＝180°，可證∠ABD＝∠ACE，易證△ABD≌△ACE，得出△ADE是等邊三角形，所以AD＝DE，從而解決問題．
根據(jù)上述解題思路，三條線段DA、DB、DC之間的等量關系是；（直接寫出結果）
（2）如圖2，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．點D是邊BC下方一點，∠BDC＝90°，探索三條線段DA、DB、DC之間的等量關系，并證明你的結論．
【解答】解：（1）結論：DA＝DB+DC．
理由：如圖1，延長DC到點E，使CE＝BD，連接AE，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠BDC＝120°，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
又∵∠ACE+∠ACD＝180°，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∵∠ABC＝60°，即∠BAD+∠DAC＝60°，
∴∠DAC+∠CAE＝60°，即∠DAE＝60°，
∴△ADE是等邊三角形，
∴DA＝DE＝DC+CE＝DC+DB，即DA＝DC+DB，
（2）結論：DA＝DB+DC，
理由：如圖2，延長DC到點E，使CE＝BD，連接AE，
∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
∵∠ACE+∠ACD＝180°，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，CE＝BD，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴DA2+AE2＝DE2，
∴2DA2＝（DB+DC）2，
∴DA＝DB+DC；

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