考點一：直線的傾斜角和斜率
①直線的傾斜角
若直線與軸相交，則以軸正方向為始邊，繞交點逆時針旋轉直至與重合所成的角稱為直線的傾斜角，通常用表示
注意：1.規(guī)定：當直線與軸平行（或重合）時，傾斜角為
2.傾斜角的取值范圍
②直線的斜率
斜率，亦稱“角系數(shù)”，表示一條直線相對于橫軸的傾斜程度。一條直線與某平面直角坐標系橫軸正半軸方向的夾角的正切值即該直線相對于該坐標系的斜率 。 如果直線與x軸垂直，直角的正切值無窮大，故此直線不存在斜率。 當直線L的斜率存在時，對于一次函數(shù)y=kx+b（斜截式），k即該函數(shù)圖像(直線)的斜率。
設直線的傾斜角為，則的正切值稱為直線的斜率，記為
注意：1.當時，斜率不存在；所以豎直線是不存在斜率的
2.所有的直線均有傾斜角，但是不是所有的直線均有斜率
3.斜率與傾斜角都是刻畫直線的傾斜程度
4.越大，直線越陡峭
③過兩點的直線斜率公式
已知直線上任意兩點， 則
當，則直線的斜率不存在，此時直線的傾斜角為90°
④利用斜率證三點共線．
兩直線的斜率相等→三點共線；反過來，三點共線，則直線的斜率相等（斜率存在時）或斜率都不存在。
考點二：兩條直線平行垂直的判定
①兩條直線平行的判定：1.當斜率存在時，且不重合
2.當兩條不重合的直線斜率都不存在時，也平行。
②兩條直線垂直的判定：1.當斜率都存在時，
2.一條斜率不存在，另一條斜率為
題型目錄
題型一：直線的傾斜角
題型二：直線的斜率
題型三：兩直線平行的判定
題型四：兩直線垂直的判定
題型五：平行垂直在幾何中的運用
典型例題
題型一：直線的傾斜角
【例1】（浙江）直線的傾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因為，所以，則直線的斜率，設傾斜角為，則，因為，所以故選：D
【例2】（2022·寧夏·銀川二中高一期中）直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因為，所以，則直線的斜率不存在，所以傾斜角為，故選：C
【例3】（河南駐馬店市）已知，，則直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設直線的斜率為k,則，所以傾斜角為，故選：D
【例4】（全國）直線的傾斜角的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】將直線方程化為斜截式:,
故直線的斜率,，，所以直線的傾斜角范圍為.故選：D.
【例5】（2021·全國·高二期末）直線：與軸交于點，把繞點順時針旋轉得直線，的傾斜角為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直線的斜率為，所以傾斜角為，把直線繞點順時針旋轉得直線，的傾斜角為，則，所以.故選：C.
【題型專練】
1．（廣西南寧市）已知直線，則直線l的傾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因為，所以，
設直線l的傾斜角為，則，因為，所以．故選：C
2．（河南焦作市）過點，的直線的傾斜角為45°，則等于（ ）
A．1B．C．3D．
【答案】B
【解析】由題意可知，所以.故選：B．
3．（河南）已知直線l經過原點和兩點，則直線l的傾斜角是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
【答案】C
【解析】由和兩點，代入斜率公式得，則直線l的傾斜角是60°.故選：C.
4．（陜西省黃陵縣中學）若經過，兩點的直線的傾斜角為，則m等于（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】A
【解析】因為經過，兩點的直線的傾斜角為，所以，解得.
故選：A.
5．（全國課時練習）過點的直線的傾斜角的范圍是，則實數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．或
【答案】B
【解析】當時，直線的傾斜角為，滿足題意；
當時，直線的斜率為，或，
所以或，解得或.
綜上，實數(shù)的取值范圍是.故選：B.
6．（廣東）直線的傾斜角的取值范圍是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵直線斜率，又，∴，
設直線傾斜角為，∴，而，
故傾斜角的取值范圍是，故選：B．
7．（白銀市第十中學）設直線的斜率為，且，求直線的傾斜角的取值范圍（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由題意，直線的傾斜角為，則，因為，即，結合正切函數(shù)的性質，可得．故選：D．
題型二：直線的斜率
【例1】（陜西西安市·）已知直線經過點A(2，5)，B(3，7)兩點，則直線的斜率為（ ）
A．2B．-2C．D．-
【答案】A
【解析】利用兩點的斜率公式即得．故選：A
【例2】（河南）將直線繞著原點逆時針旋轉，得到新直線的斜率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】原直線的傾斜角為，旋轉后傾斜角為，所以新直線的斜率為.故選：.
【例3】（江西景德鎮(zhèn)市）已知三點，，在同一條直線上，則實數(shù)的值為（ ）
A．0B．5C．0或5D．0或-5
【答案】C
【解析】因為三點，，在同一條直線上，且直線斜率存在，
所以，解得或故選：C
【例4】（全國課時練習）已知，，若直線與線段AB有公共點，則的取值范圍是（ ）
A．，B．，C．，D．，，
【答案】C
【解析】由于直線的斜率為，且經過定點，如圖設直線與線段AB有公共點為，則在A，B之間運動，
在A點時，直線的斜率為；在B點時，直線的斜率為，故.
故選:C.
【例5】（2022·全國·高考真題改編）圖1是中國古代建筑中的舉架結構，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知，且直線的斜率為0.725，則（ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【答案】D
【詳解】設，則，
依題意，有，且，
所以，故，故選：D
【例6】若實數(shù)、滿足，，則代數(shù)式的取值范圍為______
【答案】
【例7】（2022·全國·高二課時練習）已知，，若直線與線段AB沒有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】畫出圖象，對進行分類討論，結合圖象求得的取值范圍.
【詳解】直線過點，
畫出圖象如下圖所示，
，，
由于直線與線段AB沒有公共點，
當時，直線與線段有公共點，不符合題意，
當時，直線的斜率為，
根據圖象可知的取值范圍是，
所以的取值范圍是.
故選：A
【題型專練】
1．（河南）設點，若三點共線，則實數(shù)的值為_______．
【答案】
【解析】因為點三點共線，所以，解得.故答案為：
2．（廣西）如圖直線的斜率分別為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由圖象可得，直線的傾斜角為鈍角，所以直線的斜率，
又由的傾斜角都為銳角，且的傾斜角大于直線的傾斜角，所以，
所以故選：D.
3．（陜西咸陽市）設點，，若直線與線段有交點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】如圖所示：
因為直線過定點，
且，
因為直線與線段有交點，
則 ，即 ，
解得 ，
所以實數(shù)的取值范圍是
故選：C
4．（全國高二課時練習）求經過下列兩點的直線的斜率，并判斷其傾斜角是銳角還是鈍角.
（1）A(0，-1)，B(2，0)；
（2）P(5，-4)，Q(2，3)；
（3）M(3，-4)，N(3，-2).
【答案】（1）斜率，傾斜角是銳角；（2）斜率；傾斜角是鈍角（3）斜率不存在，傾斜角為90°.
【解析】（1）kAB=，因為kAB>0，所以直線AB的傾斜角是銳角.
（2）kPQ=，因為kPQ

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2.1 直線的傾斜角與斜率

版本： 人教A版 (2019)

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