考點一：圓的定義：在平面上到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓
考點二：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
設(shè)圓心的坐標(biāo)，半徑為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
考點三：圓的一般方程
圓的一般方程為，圓心坐標(biāo)：，半徑：
注意： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①的系數(shù)相同，方程中無項
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②對于的取值要求：
當(dāng)時，方程只有實數(shù)解．它表示一個點
當(dāng)時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③二元二次方程，表示圓的充要條件是
考點四：以 為直徑端點的圓的方程為
考點五： 阿波羅尼斯圓
設(shè)為平面上相異兩定點，且，為平面上異于一動點且（且）則點軌跡為圓；特別的當(dāng)，軌跡為中垂線；
題型目錄
題型一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
題型二：圓的一般方程
題型三：由圓的定義及方程求參數(shù)
題型四：阿波羅尼斯圓（阿氏圓）
題型五：二次函數(shù)與圓的交匯問題
典型例題
題型一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
【例1】（浙江高二期末）圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別是（ ）
A．(-1，0)，3B．(1，0)，3
C．D．
【例2】（2022·貴州·高二學(xué)業(yè)考試）圓心在坐標(biāo)原點，半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A．B．
C．D．
【例3】（2020·北京十五中高二期中）經(jīng)過三個點的圓的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓關(guān)于直線（，）對稱，則的最小值為（ ）
A．B．9C．4D．8
【例5】（2022·北京·高考真題）若直線是圓的一條對稱軸，則（ ）
A．B．C．1D．
【例6】（2022·全國·高二專題練習(xí)）過點，且圓心在直線上的圓的方程為_______．
【例7】（2021·福建寧德·高二期中）蘇州有很多圓拱的懸索拱橋（如寒山橋），經(jīng)測得某圓拱索橋（如圖）的跨度米，拱高米，在建造圓拱橋時每隔米需用一根支柱支撐，則與相距米的支柱的高度是（ ）米.（注意：≈）
A．6.48B．5.48C．4.48D．3.48
【題型專練】
1．（2022·廣西·高二學(xué)業(yè)考試）已知圓的方程為x2+y2=4，那么這個圓的面積等于（ ）
A．2B．3C．πD．4π
2.（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知圓關(guān)于直線對稱，則的最小值為（ ）
A． B．C．4D．8
3.（2022·江蘇·高二）圓，則（ ）
A．關(guān)于點對稱B．關(guān)于直線對稱
C．關(guān)于直線對稱D．關(guān)于直線對稱
4．（2022·上海市第三女子中學(xué)高二期末）圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為______．
5．（2022·全國·高考真題（文））設(shè)點M在直線上，點和均在上，則的方程為______________．
6.（新疆烏蘇市第一中學(xué)）過點，且圓心在直線上的圓的方程 。
7.（內(nèi)蒙古包頭市·高二月考（理））頂點坐標(biāo)分別為，，．則外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．
題型二：圓的一般方程
【例1】（北京高二期末）圓的圓心C的坐標(biāo)為（ ）
A．（1，0）B．（－1，0）C．（2，0）D．（－2，0）
【例2】（廣東肇慶市）在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點的圓的方程為________.
【例3】（2022·全國·模擬預(yù)測）已知圓與以原點為圓心的圓關(guān)于直線對稱，則（ ）
A．5B．6C．7D．8
【例4】（2022·全國·高二課時練習(xí)）與圓同圓心，且過點的圓的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【例5】（2022全國卷乙卷）過四點中的三點的一個圓的方程為____________．
【題型專練】
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓方程的圓心為（ ）
A．B．C．D．
2.（2022·江蘇·高二）圓的圓心和半徑分別是（ ）
A．，B．，C．，D．，
3.（2021·河北唐山·高二期中）點M，N是圓＝0上的不同兩點，且點M，N關(guān)于直線x－y＋1＝0對稱，則該圓的半徑等于（ ）
A． B．C．3D．9
4．（2022·陜西咸陽·高一期末）過四點，，，中的三點的一個圓的方程為______.
5.（青銅峽市高級中學(xué) ）經(jīng)過圓的圓心且與直線平行的直線方程是 。
題型三：由圓的定義及方程求參數(shù)
【例1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)甲：實數(shù)；乙：方程是圓，則甲是乙的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【例2】（全國高二單元測試）當(dāng)方程所表示的圓的面積最大時，直線的傾斜角為（ ）．
A．B．C．D．
【例3】（全國高二課時練習(xí)）當(dāng)取不同的實數(shù)時，由方程可以得到不同的圓，則（ ）
A．這些圓的圓心都在直線上
B．這些圓的圓心都在直線上
C．這些圓的圓心都在直線或上
D．這些圓的圓心不在同一條直線上
【例4】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知方程表示一個圓.
(1)求實數(shù)m的取值范圍；
(2)求圓的周長的最大值.
【題型專練】
1.（2022·全國·高二）已知“”是“”表示圓的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2.（2022·吉林·吉化第一高級中學(xué)校高二期末）若曲線表示圓，則m的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
3.（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）已知方程表示一個圓． 求：
(1)圓半徑最大時t的值；
(2)圓心的軌跡方程．
4．（全國高二專題練習(xí)）已知圓C:，當(dāng)m變化時，圓C上的點與原點的最短距離是_________.
題型四：阿波羅尼斯圓（阿氏圓）
【例1】（2022·四川成都·高二開學(xué)考試（理））若兩定點，，動點M滿足，則動點M的軌跡圍成區(qū)域的面積為（ ）．
A．B．C．D．
【例2】（2022·陜西·模擬預(yù)測）阿波羅尼斯（約公元前262-190年）證明過這樣一個命題：在平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓．若平面內(nèi)兩定點A，B間的距離為2，動點P滿足，則面積的最大值是（ ）
A．B．2C．D．4
【例3】（2022·全國·高二單元測試）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩定點A，B的距離之比為定值λ（λ≠1）的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（－2，0），B（4，0），點P滿足＝.設(shè)點P的軌跡為C，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．軌跡C的方程為（x＋4）2＋y2＝9
B．在x軸上存在異于A，B的兩點D，E使得＝
C．當(dāng)A，B，P三點不共線時，射線PO是∠APB的平分線
D．在C上存在點M，使得
【題型專練】
1．（2022·河北保定·高二期末）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點，的距離之比為定值（，且）的點所形成的圖形是圓，后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，點滿足，則點的軌跡的圓心坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·河南·新蔡縣第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)（文））若兩定點，，動點M滿足，則動點M的軌跡圍成區(qū)域的面積為（ ）．
A．B．C．D．
3．（2022·寧夏·銀川二中高一期中）已知動點M與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離滿足，則在O，A，M三點所能構(gòu)成的三角形中面積的最大值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2022·四川南充·三模（理））正方形ABCD邊長為3，P為正方形ABCD邊界及內(nèi)部的動點，且，則動點P的軌跡長度為______．
5．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)（且）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓，現(xiàn)有，，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，則的長為____________.
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（Apllnius f Perga，約公元前262~190年）發(fā)現(xiàn)：平面上兩定點A，B，則滿足的動點M的軌跡是一個圓，后人稱這個圓為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知，動點M滿足，則面積的最大值為_________.
題型五：二次函數(shù)與圓的交匯問題
【例1】（2021·江蘇·蘇州中學(xué)高二多選題）已知二次函數(shù)交軸于兩點（不重合），交軸于點．圓過三點．下列說法正確的是（ ）
A．圓心在直線上B．的取值范圍是
C．圓半徑的最小值為D．存在定點，使得圓恒過點
【例2】（2022·全國·高二課時練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)二次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個交點，經(jīng)過這三個交點的圓記為C.
(1)求實數(shù)b的取值范圍；
(2)求圓C的方程；
(3)請問圓C是否經(jīng)過某定點（其坐標(biāo)與b無關(guān)）？請證明你的結(jié)論.
【題型專練】
1．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸有三個不同的交點，經(jīng)過這三個交點的圓記為，則圓經(jīng)過定點的坐標(biāo)為_______（其坐標(biāo)與無關(guān)）
2.（2022·上海市七寶中學(xué)高三期中）若拋物線與坐標(biāo)軸分別交于三個不同的點、、，則的外接圓恒過的定點坐標(biāo)為_______
3.（2021·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線與軸交于A，B兩點，點C的坐標(biāo)為(3，1)，圓Q過A，B，C三點，當(dāng)實數(shù)變化時，存在一條定直線被圓Q截得的弦長為定值，則此定直線方程為（ ）
A．B．
C．D．

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2.4 圓的方程

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