能用等差數(shù)列的定義推導(dǎo)等差數(shù)列的性質(zhì).
能用等差數(shù)列的性質(zhì)解決一些相關(guān)問題.
能用等差數(shù)列的知識解決一些簡單的應(yīng)用問題.
4. 等差數(shù)列的函數(shù)特征：
an-an-1=d （n≥2）或 an+1-an=d (n∈N*)
an =a1+(n-1)d
由三個(gè)數(shù)a,A,b組成等差數(shù)列,則稱A叫做a與b的等差中項(xiàng).
函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)在同一條直線上：d＞0,等差數(shù)列單調(diào)遞增；d＜0,等差數(shù)列單調(diào)遞減；d＝0,等差數(shù)列為常數(shù)列.
一：等差數(shù)列的實(shí)際問題
解決等差數(shù)列實(shí)際問題的基本步驟(1)將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)問題；(2)構(gòu)造等差數(shù)列模型(明確首項(xiàng)和公差)；(3)利用通項(xiàng)公式解決等差數(shù)列問題；(4)將所求出的結(jié)果回歸為實(shí)際問題.
練習(xí)：某市出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/km，起步價(jià)10元，即最初的4km（不含4km）計(jì)費(fèi)10元．如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時(shí)間為0，需要支付多少車費(fèi)？
解：根據(jù)題意，當(dāng)該市出租車的行程大于或等于4km時(shí)，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我們可以建立一個(gè)等差數(shù)列{an}來計(jì)算車費(fèi).令a1 =11.2，表示4km處的車費(fèi)，公差d=1.2。那么當(dāng)出租車行至14km處時(shí)，n=11，此時(shí)需要支付車費(fèi)? a11=11.2＋ (11－1) ×1.2=23.2答：需要支付車費(fèi)23.2元。
例4 已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2, d = 8, 在{an}中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個(gè)數(shù), 使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列{bn}. (1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式. (2) b29是不是數(shù)列{an}的項(xiàng) ? 若是, 它是{an}的第幾項(xiàng) ? 若不是, 請說明理由.
如果插入k(k?N*)個(gè)數(shù)，那么{bn}的公差是多少？
對于第（2）小題，你還有其他解法嗎？
探究1：觀察等差數(shù)列: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,……說出8是哪兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)？并找到它們滿足的規(guī)律？
思考：觀察項(xiàng)的角標(biāo)滿足什么關(guān)系？由此你能得到什么固定的結(jié)論嗎？
例5 若{an}是公差為d的等差數(shù)列，正整數(shù) p, q,s,t滿足p＋q=s+t，則ap＋aq ＝as＋at
若{an}是公差為d的等差數(shù)列，正整數(shù) p, q,s,t滿足p＋q=s+t，則ap＋aq ＝as＋at
4.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a1+a3+a5＝105，a2+a4+a6＝99，則a20= ．
3.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a4+a8＝20，a7＝12，則a4= ．
思考 例5是等差數(shù)列的一條性質(zhì)，圖4.2-2是它的一種情形. 你能從幾何角度解釋等差數(shù)列的這一性質(zhì)嗎?
探究2： 已知一個(gè)無窮等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1, 公差為d. (1) 將數(shù)列中的前m項(xiàng)去掉, 其余各項(xiàng)組成一個(gè)新的數(shù)列, 這個(gè)新數(shù)列是等差數(shù)列嗎? 如果是, 它的首項(xiàng)和公差分別是多少? (2) 依次取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項(xiàng), 組成一個(gè)新的數(shù)列, 這個(gè)新數(shù)列是等差數(shù)列嗎? 如果是, 它的首項(xiàng)和公差分別是多少? (3) 依次取出數(shù)列中所有序號為7的倍數(shù)的項(xiàng), 組成一個(gè)新的數(shù)列, 它是等差數(shù)列嗎? 你能根據(jù)得到的結(jié)論作出一個(gè)猜想嗎?
探究3：已知數(shù)列{an}, {bn}都是等差數(shù)列, 公差分別為d1, d2, 數(shù)列{cn}滿足cn= an +2bn . (1) 數(shù)列{cn}是否是等差數(shù)列? 若是, 證明你的結(jié)論; 若不是, 請說明理由. (2) 若{an}, {bn}的公差都等于2, a1= b1=1, 求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式.
1.下標(biāo)性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m,n,p,q∈N*)，則am＋an＝ .特別地: 若m＋n＝2p(m,n,p∈N*)，則有am＋an＝ .
2.在等差數(shù)列中每隔 的項(xiàng)選出一項(xiàng)，按原來的順序排成一列，仍然是一個(gè)等差數(shù)列.
若下標(biāo)成等差數(shù)列，則對應(yīng)的項(xiàng)成等差數(shù)列.
3.若{an},{bn}分別是公差為d,d′的等差數(shù)列, 則
①數(shù)列{c＋an}的公差為 ；②數(shù)列{c·an}的公差為 ；③數(shù)列{an＋an＋k}的公差為 ；④數(shù)列{pan＋qbn}的公差為 .
設(shè) {an}是公差為d的等差數(shù)列，那么
性質(zhì)1 an =a1+(n-1)d
性質(zhì)3 an =am+(n-m)d
性質(zhì)5 m,n,p,q∈N*，若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq
性質(zhì)6 m,n,p∈N*，若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊電子課本

4.2 等差數(shù)列

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第二冊

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