會應用定義及通項公式解決一些實際問題
掌握等比數(shù)列的通項公式
1、等差數(shù)列: 一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差（常用字母“d”表示）. 數(shù)學表達式: 2、等差中項： 如果三個數(shù) a，A，b 成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項. 3、等差數(shù)列的通項公式:
( n ≥ 2，n ∈N *)
我們知道，等差數(shù)列的特征是“從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)” 。 類比等差數(shù)列的研究思路和方法，從運算的角度出發(fā)，你覺得還有怎樣的數(shù)列是值得研究的？ 先從哪些方面研究呢？
一：等比數(shù)列的相關概念
實例2 《莊子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”如果把“一尺之棰”的長度看成單位“1”，那么從第1天開始，各天得到的“棰”的長度依次是：
實例3 在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細菌每20 min就通過分裂繁殖一代，那么一個這種細菌從第1次分裂開始，各次分裂產(chǎn)生的后代個數(shù)依次是：
實例4 某人存入銀行 ɑ元錢，存期為5年，年利率是r，那么按照復利，他5年內每年末得到的本利和分別是
問題1 請同學們仔細觀察以下六個數(shù)列，類比等差數(shù)列的研究，你認為可以通過怎樣的運算發(fā)現(xiàn)以下數(shù)列的取值規(guī)律？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？
取值規(guī)律 從第 2 項起，每一項與它的前一項的比都等于 9．
如果用 表示數(shù)列①，那么有
共同特點: 從第二項起，每一項與前一項的比都等于同一個常數(shù).
如果一個數(shù)列從第____項起，每一項與它的前一項的___都等于___一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做___________常數(shù)叫做等 數(shù)列的_____公比通常用字母 q 表示
如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列.常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差.公差通常用字母d表示
an-an-1=d(n≥2,n∈N*)
an+1-an=d(n∈N*)
問題2 類比等差數(shù)列的概念，你能抽象出等比數(shù)列的概念嗎？
(3) 5，5，5，5，5，5，…
思考：觀察并判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列，是的話，指出公比，不是的話請說明理由:
(4) 0，1，2，4，8，…
(5) 2，0，2，0，2，…
追問1：等差數(shù)列的項、公差均可以是0嗎？等比數(shù)列呢？
追問2：常數(shù)列是等差數(shù)列嗎？是等比數(shù)列嗎？
追問3：是否存在既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列？
常數(shù)列一定是等差數(shù)列，公差為0；非零常數(shù)列是等比數(shù)列，公比為1.
非零常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，公差為0，公比為1.
等差數(shù)列的項、公差均可以是0，但等比數(shù)列的項和公比均不可以是0
如果三個數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，那么A叫做a和b的等差中項.
如果三個數(shù)a，G，b組成等比數(shù)列，那么G叫做a和b的等比中項
追問：任意兩個實數(shù)a，b都有等比中項嗎？
若a，b同號則有兩個等比中項；若a，b異號則無等比中項.
問題3 類比等差中項的概念，你能抽象出等比中項的概念嗎？
∴a, G, b成等比數(shù)列
三：等比數(shù)列的通項公式
問題4 你能類比等差數(shù)列的通項公式推導，根據(jù)等比數(shù)列的定義及遞推公式推導它的通項公式嗎？怎么推？
由此歸納等比數(shù)列的通項公式可得：
又a1=a1q0=a1q1-1，即當n=1時上式也成立.
問題5 已知等比數(shù)列的第m項am,公比為q,求通項公式an.
等比數(shù)列的任意一項都可以由該數(shù)列的某一項和公比表示.
四：等比數(shù)列與函數(shù)的關系
問題6 在等差數(shù)列中，公差d ≠ 0的等差數(shù)列可以與相應的一次函數(shù)建立聯(lián)系，那么對于等比數(shù)列，公比q滿足什么條件的數(shù)列可以與相應的函數(shù)建立類似的聯(lián)系?
例1 若等比數(shù)列{an}的第4項和第6項分別為48和12，求{an}的第5項.
②的兩邊分別除以①的兩邊，得
例2 已知等比數(shù)列{an}的公比為q，試用{an}的第m項am表示an.
等比數(shù)列{an}的通項公式：
等差數(shù)列{an}的通項公式：
例3 數(shù)列{an}共有5項，前三項成等比數(shù)列，后三項成等差數(shù)列，第3項等于80, 第2項與第4項的和等于136，第1項與第5項的和等于132. 求這個數(shù)列.
1.與等差數(shù)列有關的數(shù)的設元技巧：
2.與等比數(shù)列有關的數(shù)的設元技巧：
(1)如果是三個數(shù)成等差數(shù)列，可設為a - d，a， a+d
(2)如果是四個數(shù)成等差數(shù)列，可設為a+2d ， a - d ， a+d ， a+2d
2. 已知{an}是一個公比為q等比數(shù)列，請在下表中的空格處填入適當?shù)臄?shù).
3. 在等比數(shù)列{an}中，a1a3＝36，a2+a4＝ 60. 求a1和公比q.
從第2項起,每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)
從第2項起,每一項與它前一項的比等于同一個常數(shù)

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4.3 等比數(shù)列

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第二冊

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