專題7.3 獨(dú)立性檢驗(yàn)（3類必考點(diǎn)）-2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)必考考點(diǎn)各個擊破（北師大版選擇性必修第一冊）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc9389" 【知識要點(diǎn)】 PAGEREF _Tc9389 \h 1
\l "_Tc9990" 【考點(diǎn)1：2×2列聯(lián)表】 PAGEREF _Tc9990 \h 1
\l "_Tc822" 【考點(diǎn)2：卡方的計(jì)算】 PAGEREF _Tc822 \h 4
\l "_Tc24546" 【考點(diǎn)3：獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問題】 PAGEREF _Tc24546 \h 7
【知識要點(diǎn)】
1．列出兩個分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表．假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為
K2＝eq \f(n?ad－bc?2,?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?)(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量)，可利用獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷表來判斷“X與Y的關(guān)系”．
[易錯提醒]
(1)獨(dú)立性檢驗(yàn)的關(guān)鍵是正確列出2×2列聯(lián)表，并計(jì)算出K2的值．
(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)是對兩個變量有關(guān)系的可信程度的判斷，而不是對它們是否有關(guān)系的判斷．
【考點(diǎn)1：2×2列聯(lián)表】
【知識點(diǎn)：2×2列聯(lián)表】
1．（2022春·山西太原·高二統(tǒng)考期中）在統(tǒng)計(jì)中，研究兩個分類變量是否存在關(guān)聯(lián)性時，常用的圖表有（）
A．散點(diǎn)圖和殘差圖B．殘差圖和列聯(lián)表
C．散點(diǎn)圖和等高堆積條形圖D．等高堆積條形圖和列聯(lián)表
2．（2022·全國·高二專題練習(xí)）假設(shè)有兩個分類變量X與Y，它們的可能取值分別為x1,x2和y1,y2，其2×2列聯(lián)表為
則當(dāng)整數(shù)m取______時，X與Y的關(guān)系最弱（）
A．8B．9C．14D．19
3．（2022春·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）假設(shè)有兩個變量x與y的2×2列聯(lián)表如下表：
對于以下數(shù)據(jù)，對同一樣本能說明x與y有關(guān)系的可能性最大的一組為（）
A．a(chǎn)=20，b=30，c=40，d=50B．a(chǎn)=50，b=30，c=30，d=40
C．a(chǎn)=30，b=60，c=20，d=50D．a(chǎn)=50，b=30，c=40，d=30
4．（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考一模）考查棉花種子經(jīng)過處理跟生病之間的關(guān)系得到如表數(shù)據(jù)：
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，則（）
A．種子是否經(jīng)過處理決定是否生病
B．種子是否經(jīng)過處理跟是否生病無關(guān)
C．種子是否經(jīng)過處理跟是否生病有關(guān)
D．以上都是錯誤的
5．（2022春·全國·高二期末）2022年3月，我國疫情發(fā)生頻次明顯增加．為了防止奧密克戎變異株的傳播，各地方政府都采取了有效防治措施．社區(qū)志愿者小王參加了防止奧密克戎變異株傳播的科普宣傳活動，并隨機(jī)調(diào)查了100名居民對防止奧密克戎變異株傳播知識的了解情況，得到如下的2×2列聯(lián)表：
給出下列4組數(shù)據(jù)：
①a=10，b=20，c=30，d=40 ；②a=20，b=40，c=10，d=30 ；
③a=10，b=40，c=30，d=20 ；④a=10，b=40，c=20，d=30 ．
則居民對防止奧密克戎變異株傳播知識的了解情況與年齡有關(guān)系的可能性最大的是______．（填序號）
6．（2023春·湖南長沙·高二長郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某校團(tuán)委對“學(xué)生性別和喜歡網(wǎng)絡(luò)游戲是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，男生喜歡網(wǎng)絡(luò)游戲的人數(shù)占男生人數(shù)的45，女生喜歡網(wǎng)絡(luò)游戲的人數(shù)占女生人數(shù)的35.若根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為喜歡網(wǎng)絡(luò)游戲和性別有關(guān)，且此推斷犯錯誤的概率超過0.01但不超過0.05，則被調(diào)查的學(xué)生中男生可能有_________人.（請將所有可能的結(jié)果都填在橫線上）
附表：χ2=nad?bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
7．（2022·全國·高二專題練習(xí)）某單位主管對50名員工進(jìn)行了工作量的調(diào)查，了解男、女職工對工作量大小的看法是否存在差異，得到的數(shù)據(jù)如下：
請判斷認(rèn)為工作量的大小與性別是否有關(guān)．
【考點(diǎn)2：卡方的計(jì)算】
【知識點(diǎn)：卡方的計(jì)算】
1．（2023春·山西·高二統(tǒng)考期中）為了考察某種疫苗的預(yù)防效果，先選取某種動物進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，試驗(yàn)時得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：
現(xiàn)從實(shí)驗(yàn)動物中任取一只，若該動物“注射疫苗”的概率為0.5，則下列判斷正確的是（）
A．未注射疫苗發(fā)病的動物數(shù)為30只
B．從該實(shí)驗(yàn)注射疫苗的動物中任取一只，發(fā)病的概率為15
C．在犯錯概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為未發(fā)病與注射疫苗有關(guān)
D．注射疫苗可使實(shí)驗(yàn)動物的發(fā)病率下降約10%
2．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測）某研究機(jī)構(gòu)為了探究吸煙與肺氣腫是否有關(guān)，調(diào)查了200人.統(tǒng)計(jì)過程中發(fā)現(xiàn)隨機(jī)從這200人中抽取一人，此人為肺氣腫患者的概率為0.1.在制定2×2列聯(lián)表時，由于某些因素缺失了部分?jǐn)?shù)據(jù)，而獲得如圖所示的2×2列聯(lián)表，下列結(jié)論正確的是（）
參考公式與臨界值表：χ2=nad?bc2a+bc+da+cb+d
A．不吸煙患肺氣腫的人數(shù)為5人B．200人中患肺氣腫的人數(shù)為10人
C．χ2的觀測值k=11.42D．按99.9%的可靠性要求，可以認(rèn)為“吸煙與肺氣腫有關(guān)系”
3．（2023春·陜西西安·高二?？茧A段練習(xí)）現(xiàn)在，很多人都喜歡騎“共享單車”，但也有很多市民并不認(rèn)可.為了調(diào)查人們對這種交通方式的認(rèn)可度，某同學(xué)從交通擁堵不嚴(yán)重的A城市和交通擁堵嚴(yán)重的B城市分別隨機(jī)調(diào)查了20名市民，得到如下2×2列聯(lián)表：
附：K2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.
根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，下列說法中正確的是（）
A．沒有95%以上的把握認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”
B．有99%以上的把握認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”
C．可以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”
D．可以在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）為慶祝黨的二十大的勝利召開，某高校黨委從所有的學(xué)生黨員中隨機(jī)抽取100名，舉行“二十大”相關(guān)知識的競賽活動，根據(jù)競賽成績，得到如下2×2列聯(lián)表.則下列說法正確的是（）
參考公式及數(shù)據(jù)：K2=n(ad?bc)2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
A．有99.5%的把握認(rèn)為“競賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”
B．有99.5%的把握認(rèn)為“競賽成績是否優(yōu)秀與性別無關(guān)”
C．在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為“競賽成績是否優(yōu)秀與性別無關(guān)”
D．在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為“競賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”
【考點(diǎn)3：獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問題】
【知識點(diǎn)：獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問題】
1．（2023秋·四川樂山·高三?？茧A段練習(xí)）為提高教育教學(xué)質(zhì)量，越來越多的高中學(xué)校采用寄宿制的封閉管理模式．某校對高一新生是否適應(yīng)寄宿生活做調(diào)查，從高一新生中隨機(jī)抽取了100人，其中男生占總?cè)藬?shù)的40%，且只有20%的男生表示自己不適應(yīng)寄宿生活，女生中不適應(yīng)寄宿生活的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的32%，學(xué)校為了考察學(xué)生對寄宿生活適應(yīng)與否是否與性別有關(guān)，構(gòu)建了如下2×2列聯(lián)表：
(1)請將2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“適應(yīng)寄宿生活與否”與性別有關(guān)；
(2)從男生中以“是否適應(yīng)寄宿生活”為標(biāo)準(zhǔn)采用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取2人，求所選2名學(xué)生都“適應(yīng)寄宿生活”的概率．．
附：K2=nad?bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d．
2．（江西省宜春市2023屆高三第二輪驗(yàn)收考試數(shù)學(xué)（文）試題）為推動農(nóng)村可持續(xù)生態(tài)農(nóng)業(yè)的發(fā)展，廣東某農(nóng)場用五年的時間按照有機(jī)標(biāo)準(zhǔn)新改良了100畝土地，預(yù)計(jì)在改良后的土地上種植有機(jī)水果A和其它作物，并根據(jù)市場需求確定有機(jī)水果A的種植面積.農(nóng)場經(jīng)營采用的是CSA農(nóng)業(yè)經(jīng)營模式即社區(qū)支持農(nóng)業(yè)，農(nóng)場從CSA會員中隨機(jī)抽取了南方?北方會員共200人，調(diào)查數(shù)據(jù)如下.
(1)視頻率為概率，分別估計(jì)南方?北方會員中喜歡有機(jī)水果A的概率；
(2)（i）判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為是否喜歡有機(jī)水果A與會員的區(qū)域有關(guān)？
（ii）已知農(nóng)場CSA會員有2000人，其中南方會員有1200人，若喜歡有機(jī)水果A的人不低于1100人，則可種植50畝左右的有機(jī)水果A，否則只能種植30畝左右，試問該農(nóng)場應(yīng)怎樣安排有機(jī)水果A的種植面積.
附：K2=n(ad?bc)2a+bc+da+cb+d,n=a+b+c+d.
3．（2023春·河南鄭州·高三?？茧A段練習(xí)）某小區(qū)的住房結(jié)構(gòu)有A和B兩種戶型，從中各隨機(jī)抽取40戶，調(diào)查他們的月平均電費(fèi)，所得數(shù)據(jù)如下：
(1)分別估計(jì)該小區(qū)A戶型和B戶型居民的月平均電費(fèi)低于200元的概率；
(2)根據(jù)列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為該小區(qū)居民的月平均電費(fèi)與所居住的戶型有關(guān)？
附：K2=nad?bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
4．（2023·寧夏吳忠·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某企業(yè)為了擴(kuò)大產(chǎn)能規(guī)模并提高生產(chǎn)效率，對生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行升級換代，為了對比生產(chǎn)設(shè)備升級后的效果，采集了生產(chǎn)設(shè)備升級前后各20次連續(xù)正常運(yùn)行的時間（單位：天），得到以下數(shù)據(jù)：
升級前：21，32，25，24，33，19，28，26，39，36，22，18，28，26，31，17，24，21，22，26；
升級后：33，28，40，23，27，38，41，35，44，39，33，25，40，35，41，27，38，33，46，34.
(1)完成下面列聯(lián)表；
(2)是否有99%的把握說明生產(chǎn)設(shè)備升級與設(shè)備連續(xù)正常運(yùn)行的時間有關(guān)？
參考公式：χ2=n(ad?bc)2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
參考數(shù)據(jù)：
5．（2023春·浙江杭州·高二杭州市長河高級中學(xué)?？计谥校皩W(xué)習(xí)強(qiáng)國”學(xué)習(xí)平臺是由中共中央宣傳部主管，以習(xí)近平新時代中國特色社會主義思想和黨的十九大精神為主要內(nèi)容，立足全體黨員、面向全社會的優(yōu)質(zhì)學(xué)習(xí)平臺．2021年4月7日，“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”上線“強(qiáng)國醫(yī)生”功能，提供智能導(dǎo)診、疾病自查、疾病百科、健康宣傳等多種醫(yī)療健康服務(wù)，傳播普及健康常識、衛(wèi)生知識，助力健康生活．
(1)為了解“強(qiáng)國醫(yī)生”的使用次數(shù)多少與性別之間的關(guān)系，某調(diào)查機(jī)構(gòu)調(diào)研了200名“強(qiáng)國醫(yī)生”的使用者得
根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上述表格，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“強(qiáng)國醫(yī)生”的使用次數(shù)與性別有關(guān)；
(2)該機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了“強(qiáng)國醫(yī)生”上線7天內(nèi)每天使用該服務(wù)的女性人數(shù)，“強(qiáng)國醫(yī)生”上線的第x天，每天使用“強(qiáng)國醫(yī)生”的女性人數(shù)為y，得到以下數(shù)據(jù)：
通過觀察散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)集中于某一條曲線y=a?bx的周圍，求y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測“強(qiáng)國醫(yī)生”上線第12天使用該服務(wù)的女性人數(shù)．
附:隨機(jī)變量χ2=nad?bc2a+bc+da+cb+d，n=a+b+c+d．
其中zi=lgyi．
參考公式：對于一組數(shù)據(jù)x1,y1,x2,y2,?,xn,yn，其回歸直線y=c+dx的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為d=i=1nxi?xyi?yi=1nxi?x2，c=y?dx．
6．（江西省名校協(xié)作體2023屆高三二輪復(fù)習(xí)聯(lián)考（二）（期中）數(shù)學(xué)（文）試題）旅游承載著人們對美好生活的向往.隨著近些年人們收入和消費(fèi)水平不斷提高，對品質(zhì)生活的需求也日益升級，旅游市場開啟了快速增長的時代.某旅游景區(qū)為吸引旅客，提供了A、B兩條路線方案.該景區(qū)為進(jìn)一步了解旅客對這套路線的選擇情況和滿意度評價(jià)（“好”或“一般”），對300名的旅客的路線選擇和評價(jià)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，如下表：
(1)填補(bǔ)上面的統(tǒng)計(jì)表中的空缺數(shù)據(jù)，并討論能否在犯錯誤概率不超過0.001的前提下認(rèn)為對A、B兩條路線的選擇與性別有關(guān)系?
(2)為提高服務(wù)質(zhì)量，A路線管理部門從對A路線評價(jià)為“一般”的50人中按照分層抽樣的方法抽取5人聽取整改建議，并從抽取的5人中隨機(jī)抽取2人給予獎勵，求被獎勵的人恰為一男一女的概率.
附：K2=nad?bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
7．（2023·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）卡塔爾世界杯期間，為了解某地觀眾對世界杯的收視情況，隨機(jī)抽取了200名觀眾進(jìn)行調(diào)查，將卡塔爾世界杯期間累計(jì)收看比賽超過20場的觀眾稱為“體育迷”，不超過20場的觀眾稱為“非體育迷”，下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的列聯(lián)表：
(1)根據(jù)已知條件，你是否有95%的把握認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)？
(2)在“體育迷”當(dāng)中，按照男?女比例抽取5人，再從5人當(dāng)中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，求至少抽到2名男性的概率．
附：K2=n(ad?bc)2a+bc+da+cb+d．
8．（2023·遼寧沈陽·高三校聯(lián)考學(xué)業(yè)考試）在2023年春節(jié)期間，為了進(jìn)一步發(fā)揮電子商務(wù)在活躍消費(fèi)市場方面的積極作用，保障人民群眾度過一個平安健康快樂祥和的新春佳節(jié)，甲公司和乙公司在某購物平臺上同時開啟了打折促銷，直播帶年貨活動，甲公司和乙公司所售商品類似，存在競爭關(guān)系．
(1)現(xiàn)對某時間段100名觀看直播后選擇這兩個公司直播間購物的情況進(jìn)行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：
是否有99.9%的把握認(rèn)為選擇哪家直播間購物與用戶的年齡有關(guān)？
(2)若小李連續(xù)兩天每天選擇在甲、乙其中一個直播間進(jìn)行購物，第一天等可能他從甲、乙兩家中選一家直播間購物，如果第一天去甲直播間購物，那么第二天去甲直播間購物的概率為0.7；如果第一天去乙直播間購物，那么第二天去甲直播間購物的概率為0.8，求小李第二天去乙直播間購物的概率；
(3)元旦期間，甲公司購物平臺直播間進(jìn)行“秒殺”活動，假設(shè)直播間每人下單成功的概率均為p0

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