專題5.3 組合問題（4類必考點）-2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)必考考點各個擊破（北師大版選擇性必修第一冊）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc120543314" 【考點1：組合與組合數(shù)公式】 PAGEREF _Tc120543314 \h 1
\l "_Tc120543315" 【考點2：有限制條件的組合問題】 PAGEREF _Tc120543315 \h 4
\l "_Tc120543316" 【考點3：分組分配問題】 PAGEREF _Tc120543316 \h 7
\l "_Tc120543317" 【考點4：其他組合問題】 PAGEREF _Tc120543317 \h 13
【考點1：組合與組合數(shù)公式】
【知識點：組合與組合數(shù)公式】
公式：Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝eq \f(n?n－1?…?n－m＋1?,m！)＝eq \f(n！,m！?n－m?！)；Ceq \\al(0,n)＝1；Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)；Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n)＝Ceq \\al(m,n＋1).
1．（2022·浙江·高二階段練習(xí)）C52+C63=（）
A．25B．30C．35D．40
【答案】B
【分析】根據(jù)組合數(shù)公式直接求解即可.
【詳解】C52+C63=5×42×1+6×5×43×2×1=10+20=30.
故選: B.
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）計算C33+C43+?+C93得到結(jié)果為（）
A．210B．165C．126D．120
【答案】A
【分析】根據(jù)組合數(shù)的運算性質(zhì)計算即可.
【詳解】解：C33+C43+?+C93=C44+C43+?+C93=C54+C53+?+C93=?=C94+C93=C104=10×9×8×74×3×2×1=210．
故選：A．
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知n，m為正整數(shù)，且n≥m，則在下列各式中錯誤的是（）
A．A63=120；B．A127=C127?A77；C．Cnm+Cn+1m=Cn+1m+1；D．Cnm=Cnn?m
【答案】C
【分析】據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)及排列數(shù)公式計算可得
【詳解】解：對于A，A63=6×5×4=120，故正確；
對于B，因為C127=A127A77，所以A127=C127?A77，故正確；
對于C，因為n，m為正整數(shù)，且n≥m，
所以令n=3,m=1，則Cnm+Cn+1m=C31+C41=7，Cn+1m+1=C42=4×32×1=6，此時Cnm+Cn+1m≠Cn+1m+1，故錯誤；
對于D，Cnm=Cnn?m，故正確；
故選：C
4．（2007·北京·高考真題（文））limn→∞C2nnC2n+2n+1=（）
A．0B．2C．12D．14
【答案】D
【分析】先根據(jù)Cnm=n!m!n?m!將C2nnC2n+2n+1展開化簡，再根據(jù)極限運算規(guī)則計算即可.
【詳解】C2nn=2n!n!2n?n!=2n!n!×n!，C2n+2n+1=2n+2!n+1!2n+2?n?1!=2n+22n+12n!n+1!×n+1!
C2nnC2n+2n+1=2n!n!×n!×n+1!×n+1!2n+22n+12n!=n+1n+12n+22n+1=n+14n+2
limn→∞C2nnC2n+2n+1=n+14n+2=1+1n4+2n=14
故選:D
5．（2007·天津·高考真題（理））limn→∞ C22+C32+C42+?+Cn2nC21+C31+C41+?+Cn1=（）
A．3B．13C．16D．6
【答案】B
【分析】先由組合數(shù)的運算與數(shù)列求和公式化簡，再用極限的性質(zhì)求解即可.
【詳解】由于Cn2=n2?n2,Cn1=n，
于是C22+C32+C42+?+Cn2nC21+C31+C41+?+Cn1=1212?1+22?2+32?3+?+n2?nn2+3+4+?+n
=12nn+12n+16?nn+12n×2+nn?12=n+13n+2
limn→∞C22+C32+C42+?+Cn2nC21+C31+C41+?+Cn1=limn→∞n+13n+2=limn→∞1+1n31+2n=13，
故選：B
6．（2022·上海崇明·高二期末）已知x∈N，則方程C5x=C52x?1的解是___________．
【答案】1或2
【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)列方程求解即可.
【詳解】因為C5x=C52x?1，x∈N，
所以由組合數(shù)的性質(zhì)得x=2x?1或5?x=2x?1，
解得x=1或x=2，
故答案為：1或2
7．（2022·廣東·饒平縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)）若Am4=18Cm3，則m=______
【答案】6
【分析】排列數(shù)和組合數(shù)的計算公式，化簡方程，求解即可.
【詳解】因為Am4=18Cm3，
所以mm?1m?2m?3=18×mm?1m?23×2×1，
所以m?3=3，
解得m=6.
故答案為：6.
8．（2007·上?！じ呖颊骖}（理））規(guī)定Cxm=x(x?1)?(x?m+1)m!，其中x∈R，m是正整數(shù)，且Cx0=1，這是組合數(shù)Cnm（n，m是正整數(shù)，且m≤n）的一種推廣．
(1)求C?155的值．
(2)組合數(shù)的兩個性質(zhì)：①Cnm=Cnn?m；②Cnm+Cnm?1=Cn+1m是否都能推廣到Cxm（x∈R，m是正整數(shù)）的情形？若能推廣，則寫出推廣的形式并給出證明；若不能，則說明理由；
(3)已知組合數(shù)Cnm是正整數(shù)，證明：當x∈Z，m是正整數(shù)時，Cxm∈Z．
【答案】(1)?11628
(2)性質(zhì)①不能推廣，理由見解析；性質(zhì)②能推廣，證明見解析.
(3)證明見解析.
【分析】（1）按題中定義計算即可；
（2）由定義可知m是正整數(shù)，所以只需要判斷①Cnm=Cnn?m；②Cnm+Cnm?1=Cn+1m中的m、n?m、m?1是否只能是整數(shù)即可；
（3）分類討論x≥m、0≤x