專題1.2 直線的方程（8類必考點）-2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)必考考點各個擊破（北師大版選擇性必修第一冊）

這是一份專題1.2 直線的方程（8類必考點）-2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)必考考點各個擊破（北師大版選擇性必修第一冊），文件包含專題12直線的方程8類必考點北師大版選擇性必修第一冊原卷版docx、專題12直線的方程8類必考點北師大版選擇性必修第一冊解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共26頁， 歡迎下載使用。
TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
\l "_Tc13572" 【考點1：點斜式方程】 PAGEREF _Tc13572 \h 1
\l "_Tc9811" 【考點2：斜截式方程】 PAGEREF _Tc9811 \h 2
\l "_Tc16487" 【考點3：兩點式方程】 PAGEREF _Tc16487 \h 3
\l "_Tc2720" 【考點4：截距式方程】 PAGEREF _Tc2720 \h 5
\l "_Tc14042" 【考點5：一般式方程】 PAGEREF _Tc14042 \h 8
\l "_Tc29857" 【考點6：直線過定點問題】 PAGEREF _Tc29857 \h 9
\l "_Tc19232" 【考點7：兩條直線平行的判定及應(yīng)用】 PAGEREF _Tc19232 \h 11
\l "_Tc8578" 【考點8：兩條直線垂直的判定及應(yīng)用】 PAGEREF _Tc8578 \h 13
【考點1：點斜式方程】
【知識點：點斜式方程】
1．（2023秋?天津期末）經(jīng)過點A（0，﹣3）且斜率為2的直線方程為（ ）
A．2x﹣y﹣3＝0B．2x+y+3＝0C．x﹣2y﹣6＝0D．x+2y+6＝0
【分析】直接代入點斜式方程求解即可．
【解答】解：因為直線經(jīng)過點A（0，﹣3）且斜率為2，
所以直線的方程為y+3＝2（x﹣0），
即2x﹣y﹣3＝0，
故選：A．
2．（2022春?滿洲里市校級期末）已知直線l的傾斜角為60°，且經(jīng)過點（0，1），則直線l的方程為（ ）
A．y=3xB．y=3x?2C．y=3x+1D．y=3x+3
【分析】先求出斜率，再由直線的點斜式方程求解即可．
【解答】解：由題意知：直線l的斜率為3，則直線l的方程為y=3x+1．
故選：C．
3．（2021秋?湖南期中）過點（1，﹣1）且方向向量為（﹣2，3）的直線的方程為（ ）
A．3x﹣2y﹣5＝0B．2x﹣3y﹣5＝0C．3x+2y﹣1＝0D．2x+3y+1＝0
【分析】直接利用直線的斜率和方向向量的關(guān)系和點斜式求出直線的方程．
【解答】解：過點（1，﹣1）且方向向量為（﹣2，3）的直線方程為y+1=?32(x?1)，
整理得：3x+2y﹣1＝0．
故選：C．
4．（2021秋?宜春期末）已知直線的傾斜角α＝30°，且過點A（4，3），則該直線的方程為 3x﹣3y+9﹣43=0 ．
【分析】根據(jù)直線的傾斜角求出斜率，再根據(jù)點斜式寫出直線方程，化為一般式方程．
【解答】解：直線的傾斜角α＝30°，所以直線的斜率為k＝tan30°=33，
又因為直線過點A（4，3），
所以直線的方程為y﹣3=33（x﹣4），
3x﹣3y+9﹣43=0．
故答案為：3x﹣3y+9﹣43=0．
【考點2：斜截式方程】
【知識點：斜截式方程】
1．（2021秋?揭東區(qū)期末）傾斜角為45°，在y軸上的截距為2022的直線方程是（ ）
A．x﹣y+2022＝0B．x﹣y﹣2022＝0C．x+y﹣2022＝0D．x+y+2022＝0
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系，以及截距的定義，即可求解．
【解答】解：∵所求直線的傾斜角為45°，∴k＝tan45°＝1，
∵所求直線在y軸上的截距為2022，
∴直線方程為x﹣y+2022＝0．
故選：A．
2．（2022春?黃浦區(qū)校級月考）已知直線在l在y軸上的截距為4，傾斜角為α，且sinα=45，則直線l的斜截式方程為 y=±43x+4 ．
【分析】由題意，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得直線的斜率，再用點斜式求出直線的方程．
【解答】解：∵直線在l在y軸上的截距為4，傾斜角為α，且sinα=45，
∴csα＝±1?sin2α=±35，斜率tanα=sinαcsα=±43，
∴直線l的斜截式方程為y=±43x+4，
故答案為：y=±43x+4．
3．（2022春?儋州校級期中）已知直線l的斜率為?43，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6，求直線l的方程．
【分析】設(shè)直線l的方程為：y=?43x+b，求得其與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，代入面積公式可求b的值，從而得到直線l的方程．
【解答】解：設(shè)直線l的方程為：y=?43x+b，
所以直線l與兩坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)分別為（0，b），（34b，0），
由題意可得12×|b|×|34b|＝6，
解得b＝±4，
所以直線l的方程為：y=?43x±4．
【考點3：兩點式方程】
【知識點：兩點式方程】
1．（2021秋?福建月考）經(jīng)過點P1（3，﹣2），P2（5，﹣4）的直線方程是（ ）
A．x﹣y﹣5＝0B．x﹣y﹣1＝0C．x+y﹣5＝0D．x+y﹣1＝0
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合斜率公式，以及直線的點斜式公式，即可求解．
【解答】解：∵P1（3，﹣2），P2（5，﹣4），
∴k=?2?(?4)3?5=?1，
∴所求直線的方程為y﹣（﹣2）＝﹣（x﹣3），即x+y﹣1＝0．
故選：D．
2．（2021秋?昌平區(qū)校級期中）經(jīng)過M（3，2）與N（6，2）兩點的直線的方程為（ ）
A．x＝2B．y＝2C．x＝3D．x＝6
【分析】利用直線的兩點式即可求解．
【解答】解：經(jīng)過M（3，2）與N（6，2）兩點的直線的方程為y?2x?3=2?26?3，即y＝2．
故選：B．
3．（2021秋?合肥期末）已知點A（3，2），B（﹣1，4），則經(jīng)過點C（2，5）且經(jīng)過線段AB的中點的直線方程為（ ）
A．2x+y﹣1＝0B．2x﹣y﹣1＝0C．2x﹣y+1＝0D．2x+y+1＝0
【分析】由題意，利用線段的中點公式求得線段AB的中點M的坐標(biāo)，再利用兩點式求出直線的方程．
【解答】解：∵點A（3，2），B（﹣1，4），∴線段AB的中點M（1，3），
則經(jīng)過點C（2，5）且經(jīng)過線段AB的中點M（1，3）的直線方程為 y?35?3=x?12?1，
即 2x﹣y+1＝0，
故選：C．
4．（2022春?漢中期中）已知直線l過點G（1，﹣3），H（﹣2，1），則直線l的方程為 4x+3y+5＝0 ．
【分析】根據(jù)兩點的坐標(biāo)求得直線l的斜率，再由點斜式寫出直線方程即可．
【解答】解：直線l的斜率為?3?11?(?2)=?43，
所以直線l的方程為y﹣1=?43（x+2），即4x+3y+5＝0．
故答案為：4x+3y+5＝0．
5．（2021秋?宜春期末）已知三角形的三個頂點A（﹣5，0），B（3，﹣3），C（0，2），求：
（1）AC邊所在直線的方程
（2）BC邊上中線所在直線的方程．
【分析】（1）根據(jù)直線方程的截距式方程列式，化簡即得AC邊所在直線的方程；
（2）由線段的中點坐標(biāo)公式，算出BC中點D的坐標(biāo)，從而得到直線AD的斜率k=?113，再由直線方程的點斜式列式，化簡即得BC邊上中線所在直線的方程．
【解答】解：（1）∵A（﹣5，0）、C（0，2），
∴直線AC的截距式方程為x?5+y2=1，化簡得2x﹣5y+10＝0
即AC邊所在直線的方程為：2x﹣5y+10＝0；
（2）∵B（3，﹣3），C（0，2），
∴BC中點為D（32，?12），
直線AD的斜率為k=?12?032+5=?113
因此，直線AD的方程為y=?113（x+5），
化簡得x+13y+5＝0，即為BC邊上中線所在直線的方程．
【考點4：截距式方程】
【知識點：截距式方程】
（多選）1．（2020秋?博興縣期中）已知直線l過點P（2，4），在x軸和y軸上的截距相等，則直線l的方程可能為（ ）
A．x﹣y+2＝0B．x+y﹣6＝0C．x＝2D．2x﹣y＝0
【分析】分直線l過原點與不過原點兩類討論，當(dāng)直線過原點時，直接寫出直線方程，當(dāng)直線不過原點時，設(shè)出直線的截距式方程x+y＝m，代入P點坐標(biāo)求得m值，則直線方程可求．
【解答】解：當(dāng)直線l過原點時，直線方程為y＝2x，即2x﹣y＝0；
當(dāng)直線l不過原點時，設(shè)直線方程為x+y＝m，則m＝2+4＝6，
∴直線方程為x+y﹣6＝0．
∴直線l的方程可能為2x﹣y＝0或x+y﹣6＝0．
故選：BD．
2．（2022?成都模擬）已知a＞0，b＞0，直線xa+y=b在x軸上的截距為1，則a+9b的最小值為（ ）
A．3B．6C．9D．10
【分析】由已知求得ab＝1，再由基本不等式求a+9b的最小值．
【解答】解：由直線xa+y=b在x軸上的截距為1，得ab＝1，
又a＞0，b＞0，∴a+9b≥29ab=6，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝9b，即a＝3，b=13時等號成立．
故選：B．
3．（2021秋?湖北期末）過點（1，2）作直線l，滿足在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對值相等的直線l有（ ）條．
A．1B．2C．3D．4
【分析】直接利用直線的截距式求出直線的方程．
【解答】解：過點（1，2）作直線l，滿足在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對值相等的直線，
設(shè)經(jīng)過原點時，y＝kx，
故直線的方程為y＝2x；
當(dāng)不經(jīng)過原點時，設(shè)直線的方程為x|a|+y|a|=1，整理得a＝±3；
所以直線的方程為x+y+3＝0或x+y﹣3＝0或x﹣y+3＝0．
滿足的直線有x+y﹣3＝0．
故直線有2條；
故選：B．
4．（2020秋?瑤海區(qū)校級期中）過點A（3，﹣1）且在x軸和y軸上的截距相等的直線方程是 x+3y＝0，或x+y﹣2＝0 ．
【分析】分類討論，用待定系數(shù)法求得要求的直線的方程．
【解答】解：當(dāng)過點A（3，﹣1）且在x軸和y軸上的截距相等的直線經(jīng)過原點時，
它的斜率為?13=?13，它的方程是y=?13x，即x+3y＝0．
當(dāng)過點A（3，﹣1）且在x軸和y軸上的截距相等的直線不經(jīng)過原點時，
設(shè)它方程為x+y＝k，把點A代入，可得3﹣1＝k，求得k＝2，它的方程是x+y﹣2＝0．
綜上，所求的直線的方程為 x+3y＝0，或x+y﹣2＝0，
故答案為：x+3y＝0，或x+y﹣2＝0．
5．（2021春?玉林月考）已知直線mx+3y﹣12＝0在兩個坐標(biāo)軸上截距之和為7，則實數(shù)m的值為 4 ．
【分析】由已知分別求出直線在坐標(biāo)軸上截距，建立關(guān)于m的方程即可求解．
【解答】解：因為直線mx+3y﹣12＝0在兩個坐標(biāo)軸上截距之和為7，
故m≠0，
所以4+12m=7，
所以m＝4．
故答案為：4．
6．（2022?廬陽區(qū)校級開學(xué)）經(jīng)過點A（﹣3，4）且在x軸上的截距是在y軸上截距的2倍，則該直線的方程 y=?43x或x+2y﹣5＝0 ．
【分析】根據(jù)題意，設(shè)直線在y軸上的截距為b，則在x軸上的截距為2b，可分兩類情況即b＝0和b≠0討論可解．
【解答】解：∵直線在x軸上的截距是在y軸上截距的2倍，設(shè)直線在y軸上的截距為b，則在x軸上的截距為2b，
①b＝0時，即直線過原點，可設(shè)直線方程為y＝kx，又經(jīng)過點A（﹣3，4），
則直線方程為：y=?43x，
②當(dāng)b≠0時，設(shè)直線方程為x2b+yb=1，又直線過A（﹣3，4），
則直線方程為：x+2y﹣5＝0，
故答案為：y=?43x或x+2y﹣5＝0．
7．（2021秋?湖州期中）已知直線l經(jīng)過點P（4，6）．
（Ⅰ）當(dāng)l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等時，求l的方程；
（Ⅱ）若l與x軸、y軸的正半軸分別相交于A、B兩點，當(dāng)三角形AOB的面積最小時，求l的方程．
【分析】（Ⅰ）l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，當(dāng)直線不經(jīng)過原點時，設(shè)它的方程為x+y＝n，把點P（4，6）代入，能求出l的方程；當(dāng)直線過原點時，設(shè)它的方程為y＝kx，把點P（4，6）代入，能求出l的方程，由此能求出直線l的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為xa+yb=1(a＞0，b＞0)，則4a+6b=1，從而1≥24a?6b，ab≥96，由此能求出結(jié)果．
【解答】解：（Ⅰ）∵l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，
當(dāng)直線不經(jīng)過原點時，設(shè)它的方程為x+y＝n，把點P（4，6）代入可得n＝10，
故l的方程為x+y＝10，即x+y﹣10＝0．……………………………（3分）
當(dāng)直線過原點時，設(shè)它的方程為y＝kx，把點P（4，6）代入可得k=32，
故l的方程為y=32x，即3x﹣2y＝0．……………………………………（5分）
綜上可得，直線l的方程為x+y﹣10＝0或3x﹣2y＝0．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為xa+yb=1(a＞0，b＞0)，則4a+6b=1．………..（6分）
∴1≥24a?6b得ab≥96，當(dāng)且僅當(dāng)a＝8，b＝12時，等號成立，………..（8分）
此時△AOB面積最小，最小值為48．
∴直線l的方程為x8+y12=1，即3x+2y﹣24＝0．…………………（10分）
【考點5：一般式方程】
【知識點：一般式方程】
一般式方程：Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0
1．（2021秋?濰坊月考）已知直線l：3x?y+3=0，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．直線l的傾斜角為π6
B．直線l的法向量為(3，1)
C．直線l的方向向量為(1，3)
D．直線l的斜率為?3
【分析】結(jié)合已知直線方程，分別求出直線的斜率，傾斜角及方向向量，法向量，然后檢驗各選項即可判斷．
【解答】解：由題意可得直線的斜率k=3，故直線的傾斜角π3，AD錯誤，C正確；
與l垂直的直線斜率?33，
所以與l垂直的直線的一個方向向量為（1，?33），
又（3，1）與（1，?33）不平行，B錯誤．
故選：C．
2．（2021秋?荔灣區(qū)校級期末）若直線l與直線y＝1，x＝7分別交于點P、Q，且線段PQ的中點坐標(biāo)為（1，0），直線l的一般式方程是 ．
【分析】利用中點坐標(biāo)公式可得P，Q，再利用斜率的計算公式即可得出直線l的斜率，從而求出直線l的方程．
【解答】解：由題意，設(shè)P（x，1），Q（7，y），
∵線段PQ的中點坐標(biāo)為（1，0），
∴x+72=11+y2=0，解得x＝﹣5，y＝﹣1，∴P（﹣5，1），
∴直線l的斜率=1?0?5?1=?16，
故直線l的方程為y﹣0=?16（x﹣1），即x+6y﹣1＝0，
故答案為：x+6y﹣1＝0．
3．（2021秋?南江縣校級月考）已知A（1，2），B（3，4）．
（1）求直線AB的一般式方程；
（2）在x軸上求一點P，使得△PAB的面積為8，求P點坐標(biāo)．
【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合斜率公式，以及直線的點斜式方程，即可求解．
（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合點到直線的距離公式，即可求解．
【解答】解：（1）∵A（1，2），B（3，4），
∴kAB=4?23?1=1，
故直線AB方程為y﹣2＝x﹣1，即x﹣y+1＝0．
（2）∵A（1，2），B（3，4），
∴|AB|=(1?3)2+(2?4)2=22，
設(shè)點P（t，0），
則P到直線AB的距離d=|t+1|2，
∵△PAB的面積為8，
∴12×22×|t+1|2=8，解得t＝7或t＝﹣9，
故P點坐標(biāo)為（7，0）或（﹣9，0）．
【考點6：直線過定點問題】
【知識點：直線過定點問題】
1．（2022春?達(dá)州期末）直線（a﹣1）x﹣（a+1）y+2＝0恒過定點（ ）
A．（1，1）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，﹣1）
【分析】根據(jù)直線的方程，建立二元一次方程組，再求出定點的坐標(biāo)．
【解答】解：直線（a﹣1）x﹣（a+1）y+2＝0，
整理得a（x﹣y）﹣（x+y+2）＝0；
故x?y=0x+y+2=0，解得x=1y=1，
故恒過定點（1，1）．
故選：A．
2．（2022春?海淀區(qū)校級月考）不論m為何實數(shù)，直線x﹣2my﹣1+3m＝0恒過一個定點，則這個定點的坐標(biāo)為（ ）
A．（1，0）B．（2，3）C．（3，2）D．(1，32)
【分析】直線x﹣2my﹣1+3m＝0，即x﹣1+m（3﹣2y）＝0，由此能求出不論m為何實數(shù)，直線x﹣2my﹣1+3m＝0恒過定點的坐標(biāo)．
【解答】解：直線x﹣2my﹣1+3m＝0，即x﹣1+m（3﹣2y）＝0，
令y=32，解得x＝1，可得它恒過一個定點(1，32)，
∴不論m為何實數(shù)，直線x﹣2my﹣1+3m＝0恒過一個定點，
則這個定點的坐標(biāo)為（1，32）．
故答案為：D．
3．（2022?徐匯區(qū)校級開學(xué)）設(shè)直線2x+（k﹣3）y﹣2k+6＝0過定點P，則點P的坐標(biāo)為 （0，2） ．
【分析】將直線轉(zhuǎn)化為k（y﹣2）+2x﹣3y+6＝0，令2x?3y+6=0y?2=0，即可求解．
【解答】解：直線2x+（k﹣3）y﹣2k+6＝0，即k（y﹣2）+2x﹣3y+6＝0，
令2x?3y+6=0y?2=0，解得x＝0，y＝2，
故點P的坐標(biāo)為（0，2）．
故答案為：（0，2）．
4．（2022?安徽開學(xué)）直線l：（2m+1）x+（m+1）y＝3m+2（m∈R）經(jīng)過的定點坐標(biāo)是 （1，1） ．
【分析】將直線l轉(zhuǎn)化為m（2x+y﹣3）+x+y﹣2＝0，令2x+y?3=0x+y?2=0，即可求解．
【解答】解：直線l：（2m+1）x+（m+1）y＝3m+2，即m（2x+y﹣3）+x+y﹣2＝0，
令2x+y?3=0x+y?2=0，解得x＝1，y＝1，
故直線l經(jīng)過的定點坐標(biāo)為（1，1）．
故答案為：（1，1）．
5．（2022?成都開學(xué)）（1）已知直線l的方程為ax+（a﹣1）y+3＝0，求直線l恒過定點的坐標(biāo)；
（2）已知點A（﹣2，3），B（3，﹣1），M（1，﹣2），若過點M的直線l與線段AB有公共交點，求直線l的斜率k的取值范圍．
【分析】（1）由已知結(jié)合直線系方程可求；
（2）先求出kMA，kMB，然后結(jié)合直線的位置關(guān)系可求．
【解答】解：（1）由已知可得ax+ay﹣y+3＝0，即a（x+y）﹣y+3＝0，
則x+y=0?y+3=0，
解得x＝﹣3，y＝3，
所以直線l恒過定點（﹣3，3）；
（2）因為kMA=3+2?2?1=?53，kMB=?2+11?3=12，
由過點M的直線l與線段AB有公共交點得k≤?53或k≥12，
故k的取值范圍為{k|k≤?53或k≥12}．
【考點7：兩條直線平行的判定及應(yīng)用】
【知識點：兩條直線平行的判定及應(yīng)用】
1．（2022?鎮(zhèn)江開學(xué)）經(jīng)過點（﹣3，1），且平行于直線y＝3x的直線方程為（ ）
A．3x﹣y﹣10＝0B．3x﹣y+10＝0C．x+3y＝0D．x﹣3y＝0
【分析】由題意可設(shè)，所求直線方程為y＝3x+b，將點（﹣3，1）代入該直線，即可求解．
【解答】解：由題意可設(shè)，所求直線方程為y＝3x+b，
∵所求直線經(jīng)過點（﹣3，1），
∴1＝3×（﹣3）+b，解得b＝10，
故所求直線方程為y＝3x+10．
故選：B．
2．（2022春?自貢期末）若直線x+ay﹣2＝0與直線a2x+y+1＝0平行，則a＝（ ）
A．﹣1或0B．﹣1C．1或0D．1
【分析】分a＝0和a≠0兩種情況求解，根據(jù)兩直線平行時的斜率關(guān)系即可求出a的值．
【解答】解：當(dāng)a＝0時，兩直線分別為x﹣2＝0，y+1＝0，此時兩直線垂直，不平行，不合題意，
當(dāng)a≠0時，因為直線x+ay﹣2＝0與直線a2x+y+1＝0平行，
所以1a2=a1≠?21，解得a＝1，
綜上，a＝1，
故選：D．
3．（2022春?新邵縣校級月考）已知直線y＝mx﹣2與直線x+ny＝0平行，則m，n的關(guān)系為（ ）
A．mn＝lB．mn+1＝0C．m﹣n＝0D．m﹣n+1＝0
【分析】根據(jù)題意，將直線的方程變形為一般式方程，由直線平行的判斷方法分析mn的關(guān)系，即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，直線y＝mx﹣2，即mx﹣y﹣2＝0，
若直線y＝mx﹣2與直線x+ny＝0平行，則有mn﹣（﹣1）＝0，即mn+1＝0，
故選：B．
4．（2022?臨澧縣校級開學(xué)）已知直線l：mx+y﹣1＝0，直線n：2x+（m﹣1）y+2＝0，若l∥n，則實數(shù)m＝ 2 ．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線平行的性質(zhì)，即可求解．
【解答】解：直線l：mx+y﹣1＝0，直線n：2x+（m﹣1）y+2＝0，l∥n，
則2m=m?11≠2?1，解得m＝2．
故答案為：2．
5．（2021秋?成都期末）已知△ABC的三個頂點是A（4，0），B（6，7），C（0，3）．
（Ⅰ）求AC邊所在的直線方程；
（Ⅱ）求經(jīng)過AB邊的中點，且與AC邊平行的直線l的方程．
【分析】（Ⅰ）由A、C兩點坐標(biāo)可以寫出直線AC斜率，再代入A、C中的一個點就可以求出AC方程．（Ⅱ）求出AB中點，l與AC平行，從而斜率相等，即可設(shè)出l，代入A、C中點求得l．
【解答】解：（Ⅰ）由題意知AC斜率為k=3?00?4=?34，所以AC邊所在直線方程為y﹣0=?34（x﹣4），即3x+4y﹣12＝0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知l可設(shè)為3x+4y+m＝0，又AB邊中點為（5，72），將點（5，72）代入直線l的方程得3×5+4×72+m＝0，解得m＝﹣29，所以l方程為3x+4y﹣29＝0．
6．（2021秋?泰州期末）已知兩條直線l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m，l2：2x+（5+m）y＝8．設(shè)m為實數(shù)，分別根據(jù)下列條件求m的值．
（1）l1∥l2；
（2）直線l2在x軸、y軸上截距之和等于6．
【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合兩直線平行的公式，即可求解．
（2）根據(jù)已知條件，分別令直線l2中的x＝0，y＝0，結(jié)合直線l2在x軸、y軸上截距之和等于6，即可求解．
【解答】解：（1）∵l1//l2，l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m，l2：2x+（5+m）y＝8，
∴（3+m）×（5+m）＝4×2，∴m＝﹣7，m＝﹣1，
當(dāng)m＝﹣7時，l1：2x﹣2y+13＝0，l2：x﹣y﹣4＝0，此時l1//l2，
當(dāng)m＝﹣1時，l1：x+2y﹣4＝0，l2：x+2y﹣4＝0，此時l1，l2重合，
∴m＝﹣7．
（2）l2：2x+（5+m）y＝8，
令y＝0，則x＝4；令x＝0，則y=85+m，
直線l1在x軸、y軸上截距之和等于6，
∴4+85+m=6，解得m＝﹣1．
【考點8：兩條直線垂直的判定及應(yīng)用】
【知識點：兩條直線垂直的判定及應(yīng)用】
1．（2022?遼寧開學(xué)）已知直線l經(jīng)過點A（0，4），且與直線2x﹣y﹣3＝0垂直，則直線l的方程是（ ）
A．2x﹣y+4＝0B．x+2y+8＝0C．2x﹣y﹣4＝0D．x+2y﹣8＝0
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線垂直的性質(zhì)，求出直線l的斜率，再結(jié)合直線l經(jīng)過點A（0，4），即可求解．
【解答】解：∵直線l與直線2x﹣y﹣3＝0垂直，
∴直線l的斜率為?12=?12，
∵直線l經(jīng)過點A（0，4），
∴y=?12x+4，即x+2y﹣8＝0．
故選：D．
2．（2022春?南充期末）“m＝1”是“直線l1：（m﹣4）x+my+1＝0與直線l2：mx+（m+2）y﹣2＝0互相垂直”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【分析】利用直線垂直的性質(zhì)列出方程求出m，再根據(jù)充要條件的定義判斷即可．
【解答】解：∵直線l1：（m﹣4）x+my+1＝0與直線l2：mx+（m+2）y﹣2＝0互相垂直，
∴（m﹣4）m+m（m+2）＝0，∴2m2﹣2m＝0，∴m＝0或m＝1，
∴m＝1是直線l1：（m﹣4）x+my+1＝0與直線l2：mx+（m+2）y﹣2＝0互相垂直的充分不必要條件，
故選：A．
3．（2022?成都開學(xué)）已知直線l1：2sinαx+y﹣1＝0，直線l2：x﹣csαy+1＝0，若l1⊥l2，則tanα＝（ ）
A．?12B．12C．2D．﹣2
【分析】結(jié)合直線垂直的條件及同角基本關(guān)系即可求解．
【解答】解：因為l1：2sinαx+y﹣1＝0，直線l2：x﹣csαy+1＝0，l1⊥l2，
所以2sinα﹣csα＝0，
則tanα=12．
故選：B．
4．（2022春?澄城縣期末）已知直線l1：（m+2）x﹣（m﹣2）y+2＝0，直線l2：3x+（m+2）y﹣5＝0，若l1⊥l2，則m＝（ ）
A．2或﹣5B．﹣2或﹣5C．2或5D．﹣2或5
【分析】直接根據(jù)兩條直線垂直的等價條件求m的值．
【解答】解：由題意知，l1⊥l2，則3（m+2）+[﹣（m﹣2）]×（m+2）＝0；
解得，m＝5或﹣2．
故選：D．
5．（2022春?達(dá)州期末）已知直線l經(jīng)過點P（2，4）．
（1）若點Q（1，1）在直線l上，求直線l的方程；
（2）若直線l與直線4x﹣3y＝0垂直，求直線l的方程．
【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合直線的斜率公式，求出斜率k，再結(jié)合直線的點斜式公式，即可求解．
（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合直線垂直的性質(zhì)，以及直線l經(jīng)過點P（2，4），即可求解．
【解答】解：（1）直線l經(jīng)過點Q（1，1）和點P（2，4），
則直線l的斜率k=4?12?1=3，
故直線l的方程為y﹣1＝3（x﹣1），即y＝3x﹣2．
（2）∵直線l與直線4x﹣3y＝0垂直，
∴可設(shè)直線l的方程為3x+4y+m＝0，
∵直線l過點P（2，4），
∴3×2+4×4+m＝0，解得m＝﹣22，
∴直線l的方程為3x+4y﹣22＝0．
6．（2021秋?楊陵區(qū)校級期末）已知直線l：3x+4y﹣7＝0．
（1）求直線l的斜率和在y軸上的截距；
（2）若直線m與l垂直，且過點P（﹣2，5），求m的方程．
【分析】（1）直接利用直線的方程求出直線的斜率和截距；
（2）利用直線垂直的充要條件求出直線的斜率，進(jìn)一步利用點斜式求出直線的方程．
【解答】解：（1）由l：3x+4y﹣7＝0可得：y=?34x+74，
∴斜率為?34；截距為74；
（2）由直線m與l垂直得：k=43，且過點P（﹣2，5），
可得m的方程為y?5=43(x+2)，
整理得4x﹣3y+23＝0．
7．（2021秋?任丘市校級期末）已知直線l過點P（3，4）．
（1）若直線與直線4x﹣3y+5＝0垂直，求直線l的方程；
（2）若直線l在兩坐標(biāo)軸的截距相等，求直線l的方程．
【分析】（1）由已知條件可設(shè)直線l的方程為3x+4y+m＝0，再將點P（3，4）代入，即可求解．
（2）根據(jù)已知條件，分直線l過原點，直線l不過原點兩種情況討論，即可求解．
【解答】解：（1）∵直線l與直線4x﹣3y+5＝0垂直，
∴可設(shè)直線l的方程為3x+4y+m＝0，
∵直線l過點P（3，4），
∴3×3+4×4+m＝0，解得m＝﹣25，
故直線l的方程為3x+4y﹣25＝0．
（2）當(dāng)直線l過原點時，斜率為43，由點斜式可得直線l的方程為y=43x，即4x﹣3y＝0，
當(dāng)直線l不過原點時，設(shè)直線l的方程為x+y＝a，
∵直線l過點P（3，4），
∴a＝7，x+y﹣7＝0，
綜上所述，所求直線l的方程為4x﹣3y＝0或x+y﹣7＝0．
8．（2021秋?武漢期末）已知直線l1：3x+2y+6＝0，直線l2：2x﹣3m2y+18＝0，直線l3：2mx﹣3y+12＝0．
（1）若l1與l2的傾斜角互補(bǔ)，求m的值；
（2）當(dāng)m為何值時，三條直線能圍成一個直角三角形．
【分析】（1）由l1與l2的傾斜角互補(bǔ)，列式求解m值即可；
（2）根據(jù)題意，讓每兩條直線分別垂直，由垂直充要條件，得到關(guān)于m的方程，再求出m的值．
【解答】解：（1）直線l1：3x+2y+6＝0的斜率為?32，
直線l2：2x﹣3m2y+18＝0的斜率為23m2，
∵l1與l2的傾斜角互補(bǔ)，∴?32+23m2=0，解得m=±23；
（2）由題意，若3x+2y+6＝0和2x﹣3m2y+18＝0垂直，
則3×2+2×（﹣3m2）＝0，解得m＝±1，
經(jīng)驗證當(dāng)m＝1時，后面兩條直線平行，構(gòu)不成三角形，故m＝﹣1；
同理，若3x+2y+6＝0和2mx﹣3y+12＝0垂直
則6m﹣6＝0，解得m＝1，應(yīng)舍去；
若2x﹣3m2y+18＝0和2mx﹣3y+12＝0垂直，
則4m+9m2＝0，解得m＝0或m=?49，經(jīng)驗證均符合題意，
故m的值為：0，﹣1，?49．形式
幾何條件
方程
適用范圍
點斜式
過一點(x0，y0)，斜率k
y－y0＝k(x－x0)
與x軸不垂直的直線
形式
幾何條件
方程
適用范圍
斜截式
縱截距b，斜率k
y＝kx＋b
與x軸不垂直的直線
形式
幾何條件
方程
適用范圍
兩點式
過兩點(x1，y1)，(x2，y2)
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
與x軸、y軸均不垂直的直線
形式
幾何條件
方程
適用范圍
截距式
橫截距a，縱截距b
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點的直線
直線方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq \\al(2,1)＋Beq \\al(2,1)≠0)
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq \\al(2,2)＋Beq \\al(2,2)≠0)
l1與l2平行
的充分條件
eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)≠eq \f(C1,C2)(A2B2C2≠0)
l1與l2重合
的充分條件
eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)＝eq \f(C1,C2)(A2B2C2≠0)
直線方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq \\al(2,1)＋Beq \\al(2,1)≠0)
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq \\al(2,2)＋Beq \\al(2,2)≠0)
l1與l2垂直
的充要條件
A1A2＋B1B2＝0