TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc116593822" 【考點(diǎn)1：雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程】 PAGEREF _Tc116593822 \h 1
\l "_Tc116593823" 【考點(diǎn)2：雙曲線的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題】 PAGEREF _Tc116593823 \h 3
\l "_Tc116593824" 【考點(diǎn)3：雙曲線的幾何性質(zhì)】 PAGEREF _Tc116593824 \h 4
\l "_Tc116593825" 【考點(diǎn)4：與雙曲線有關(guān)的最值或范圍問(wèn)題】 PAGEREF _Tc116593825 \h 8
【考點(diǎn)1：雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程】
【知識(shí)點(diǎn)：雙曲線的定義】
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.
(1)當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，P點(diǎn)不存在．
【知識(shí)點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】
(1)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)；
(2)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．
待定系數(shù)法求雙曲線方程的五種類型
1．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若雙曲線mx2＋ny2＝1的焦點(diǎn)在y軸上，則（ ）
A．m0C．m0，直線l過(guò)其上焦點(diǎn)F2，交雙曲線上支于A，B兩點(diǎn)，且AB=4，F(xiàn)1為雙曲線下焦點(diǎn)，△ABF1的周長(zhǎng)為18，則m值為（ ）
A．8B．9C．10D．254
4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P是雙曲線E：x216-y29=1的右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2為雙曲線E的左、右焦點(diǎn)，ΔPF1F2的面積為20，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為203B．ΔPF1F2的周長(zhǎng)為803
C．∠F1PF2大于π3D．ΔPF1F2的內(nèi)切圓半徑為32
【考點(diǎn)3：雙曲線的幾何性質(zhì)】
【知識(shí)點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì)】
[方法技巧]
1．求雙曲線離心率或其范圍的方法
(1)求a，b，c的值，由eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解．
2．雙曲線的形狀與e的關(guān)系
k＝eq \f(b,a)＝eq \f(\r(c2－a2),a)＝eq \r(\f(c2,a2)－1)＝eq \r(e2－1)，e越大，即漸近線的斜率的絕對(duì)值就越大，這時(shí)雙曲線的形狀就從狹窄逐漸變得開闊．由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開口就越開闊．
[提醒] 求雙曲線的離心率及其范圍時(shí)，不要忽略了雙曲線的離心率的取值范圍是(1，＋∞)這個(gè)前提條件，否則很容易產(chǎn)生增解或擴(kuò)大所求離心率的取值范圍．
1．（2021·全國(guó)·高考真題（文））點(diǎn)3,0到雙曲線x216-y29=1的一條漸近線的距離為（ ）
A．95B．85C．65D．45
2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C:x2-y23=1的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，當(dāng)PF1=6時(shí)，△PF1F2面積為（ ）．
A．43B．37C．4552D．67
3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線x24-y2b2=1(b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)點(diǎn)F2的直線交雙曲線右支于A、B兩點(diǎn)，若△ABF1是等腰三角形，且∠A=120°，則△ABF1的周長(zhǎng)為（ ）
A．1633+8B．42-1C．433+8D．23-2
4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）雙曲線E:x2a2-y2b2=1a>0,b>0被斜率為4的直線截得的弦AB的中點(diǎn)為2,1,則雙曲線E的離心率為（ ）
A．2B．3C．2D．5
5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線y2m-x22=1m>0，直線l過(guò)其上焦點(diǎn)F2，交雙曲線上支于A，B兩點(diǎn)，且AB=4，F(xiàn)1為雙曲線下焦點(diǎn)，△ABF1的周長(zhǎng)為18，則m值為（ ）
A．8B．9C．10D．254
6．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））設(shè)F1、F2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)，若在雙曲線右支上存在點(diǎn)P，滿足PF2=F1F2，且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的離心率e為（ ）
A．45B．54C．35D．53
7．（2019·全國(guó)·高考真題（文））設(shè)F為雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點(diǎn)．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為
A．2B．3
C．2D．5
8．（2021·全國(guó)·高考真題（理））已知F1,F2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且∠F1PF2=60°,PF1=3PF2，則C的離心率為（ ）
A．72B．132C．7D．13
9．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）已知雙曲線C:x2-y26=1，則（ ）
A．雙曲線C的焦距為7
B．雙曲線C的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的6倍
C．雙曲線y26-x2=1與雙曲線C的漸近線相同
D．雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(±6,0)
10．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知雙曲線C:x2a2-y23=1(a>0)的左?右焦點(diǎn)分別為F1,F2，離心率為2,P為C上一點(diǎn)，則（ ）
A．雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為2
B．雙曲線C的一條漸近線方程為y=3x
C．PF1-PF2=2
D．雙曲線C的焦距為4
11．（2022·江西·景德鎮(zhèn)一中高一期末）已知雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-y24=1，則（ ）
A．雙曲線C的離心率等于半焦距
B．雙曲線y2-x24=1與雙曲線C有相同的漸近線
C．雙曲線C的一條漸近線被圓x-12+y2=1截得的弦長(zhǎng)為455
D．直線y=kx+b與雙曲線C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)只可能為0，1，2
12．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）與雙曲線x29-y216=1有共同漸近線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A-3,23的雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為___________.
13．（2021·全國(guó)·高考真題（理））已知雙曲線C:x2m-y2=1(m>0)的一條漸近線為3x+my=0，則C的焦距為_________．
14．（2021·四川·攀枝花七中高二階段練習(xí)（文））已知F為雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A是以O(shè)F為直徑的圓與雙曲線C的一個(gè)公共點(diǎn).若點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)也在雙曲線C上，則雙曲線C的漸近線的斜率為___________.
15．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0) 的左.右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)點(diǎn)F1作直線l:y=-bax的垂線，垂足為Q，直線F1Q與雙曲線C在第一象限的交點(diǎn)為P，且點(diǎn)P在以F1F2為直徑的圓上.則此雙曲線的離心率為____________.
16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線x24-y22=1，
(1)過(guò)點(diǎn)M1，1的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若M為弦AB的中點(diǎn)，求直線AB的方程；
(2)是否存在直線l，使得1，12 為l被該雙曲線所截弦的中點(diǎn)，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，滿足______（從下列條件中選擇其中兩個(gè)補(bǔ)充在橫線上并作答）．
①離心率為2；②漸近線為y=±3x；③過(guò)點(diǎn)P(2,3)．
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)在（1）的條件下，若直線l過(guò)點(diǎn)Q(0,-1)，且與雙曲線右支交于A、B兩點(diǎn)，求直線l的傾斜角的取值范圍；
(3)在（2）的條件下，是否存在以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)的直線l，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【考點(diǎn)4：與雙曲線有關(guān)的最值或范圍問(wèn)題】
【知識(shí)點(diǎn)：與雙曲線有關(guān)的最值或范圍問(wèn)題的求解方法】
(1)利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義，尤其是雙曲線的性質(zhì)，求最值或取值范圍．
(2)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)求最值或取值范圍．
(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范圍．
(4)利用一元二次方程的判別式求最值或取值范圍．
[提醒] 求解與雙曲線幾何性質(zhì)有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題時(shí)，要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸等雙曲線的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系
1．（2020·全國(guó)·高考真題（理））設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=a與雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于D,E兩點(diǎn)，若△ODE的面積為8，則C的焦距的最小值為（ ）
A．4B．8C．16D．32
2．（2021·江蘇·高二單元測(cè)試）過(guò)雙曲線x29-y216=1的右支上的一點(diǎn)P分別向圓C1：(x+5)2+y2=4和圓C2：(x-5)2+y2=r2(r>0)作切線，切點(diǎn)分別為M、N，若|PM|2-|PN|2的最小值為58，則r=（ ）
A．2B．3C．2D．3
3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A(1,1)，點(diǎn)P是雙曲線C:x29-y27=1左支上的動(dòng)點(diǎn)，Q是圓D:(x+4)2+y2=14上的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A．C的實(shí)軸長(zhǎng)為6
B．C的漸近線為y=±377x
C．|PQ|的最小值為12
D．|PA|-|PD|的最小值為6-10
4．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支交于不同的兩點(diǎn)，則k的取值范圍__________
5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若直線l:y=3x3-233過(guò)雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，且與雙曲線的一條漸近線平行.
（1）求雙曲線的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)B(0，b)且與x軸不平行的直線和雙曲線相交于不同的兩點(diǎn)M，N，MN的垂直平分線為m，求直線m與y軸上的截距的取值范圍.
6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦點(diǎn)為F3,0，過(guò)點(diǎn)F與x軸垂直的直線l1與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)，且MN=4.
(1)求C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)A0,-1的直線l2與雙曲線C的左?右兩支分別交于D，E兩點(diǎn)，與雙曲線C的兩條漸近線分別交于G，H兩點(diǎn)，若GH=λDE，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍. 類型一
與雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1有公共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)
類型二
若已知雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq \f(b,a)x或y＝－eq \f(b,a)x，則可設(shè)雙曲線方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)
類型三
與雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為eq \f(x2,a2－k)－eq \f(y2,b2＋k)＝1(－b20)有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為eq \f(x2,a2－λ)－eq \f(y2,λ－b2)＝1(b20)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
圖形
性質(zhì)
范圍
x≥a或x≤－a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
對(duì)稱性
對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心：(0,0)
頂點(diǎn)
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
漸近線
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
離心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)
a，b，c的關(guān)系
c2＝a2＋b2
實(shí)虛軸
線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|A1A2|＝2a；
線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)|B1B2|＝2b；
a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)

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