TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
\l "_Tc18139" 【考點1：非線性回歸類型一：冪函數(shù)型】 PAGEREF _Tc18139 \h 1
\l "_Tc3372" 【考點2：非線性回歸類型二：指數(shù)函數(shù)型】 PAGEREF _Tc3372 \h 10
\l "_Tc20956" 【考點3：非線性回歸類型三：對數(shù)函數(shù)型】 PAGEREF _Tc20956 \h 17
【知識要點】
1、建立非線性回歸模型的基本步驟：
①確定研究對象，明確哪個是解釋變量，哪個是預報變量；
②畫出確定好的解釋變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關系（是否存在非線性關系）；
③由經(jīng)驗確定非線性回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈非線性關系，一般選用反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型等）；
④通過換元，將非線性回歸方程模型轉(zhuǎn)化為線性回歸方程模型；
⑤按照公式計算線性回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法），得到線性回歸方程；
⑥消去新元，得到非線性回歸方程；
⑦得出結果后分析殘差圖是否有異常.若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等.
常見的非線性回歸方程的轉(zhuǎn)化：
【考點1：非線性回歸類型一：冪函數(shù)型】
【知識點：類型一：冪函數(shù)型】
1．（2023·高二課時練習）2020年初，新型冠狀病毒（COVID-19）引起的肺炎疫情爆發(fā)以來，各地醫(yī)療機構采取了各種針對性的治療方法，取得了不錯的成效，某地開始使用中西醫(yī)結合方法后，每周治愈的患者人數(shù)如下表所示：由表格可得y關于x的二次回歸方程為y=6x2+a，則此回歸模型第4周的殘差（實際值與預報值之差）為（ ）
A．0B．1C．4D．5
【答案】D
【分析】令t=x2，則y關于t的一次回歸方程為y=6t+a，求出t,y，根據(jù)線性回歸方程過樣本中心點求出a，從而可求得預測值，即可得出殘差.
【詳解】令t=x2，則y關于t的一次回歸方程為y=6t+a，
t=1+4+9+16+255=11,y=2+17+36+93+1425=58，
則58=6×11+a，解得a=?8，
則y=6x2?8，
令x=4，得y=6×16=8=88，
所以殘差為93?88=5.
故選：D.
2．（2023·云南昆明·統(tǒng)考一模）某新能源汽車公司從2018年到2022年汽車年銷售量y（單位：萬輛）的散點圖如下：
記年份代碼為xx=1,2,3,4,5
(1)根據(jù)散點圖判斷，模型①y=a+bx與模型②y=c+dx2，哪一個更適宜作為年銷售量y關于年份代碼x的回歸方程？（給出判斷即可，不必說明理由）
(2)根據(jù)（1）的判斷結果，建立y關于x的回歸方程；
(3)預測2023年該公司新能源汽車銷售量．
參考數(shù)據(jù)：
參考公式：回歸方程y=a+bx中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：b=i=1nxi?xyi?yi=1nxi?x2=i=1nxiyi?nx?yi=1nxi2?nx2，a=y?bx
【答案】(1)y=c+dx2
(2)y=6.5+2.5x2
(3)預測2023年該公司新能源汽車銷售量96.5萬輛
【分析】（1）根據(jù)散點圖結合一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象特征分析判斷；
（2）換元令t=x2，結合題中數(shù)據(jù)與公式運算求解；
（3）令x=6，代入回歸方程運算求解.
【詳解】（1）由散點圖可知：散點圖與一次函數(shù)偏差較大，與二次函數(shù)較接近，故模型②y=c+dx2更適合.
（2）令t=x2，則i=15ti2=i=15xi4=979,i=15tiyi=i=15xi2yi=2805,t=15i=15ti=15i=15xi2=11，y=34，
對于回歸方程y=c+dt，
可得：d=i=15tiyi?5t?yi=15ti2?5t2=2805?5×11×34979?5×112=935374=2.5，c=y?dt=34?2.5×11=6.5，
故回歸方程為y=6.5+2.5t，即y=6.5+2.5x2.
（3）由（2）可得：y=6.5+2.5x2，
令x=6，則y=6.5+2.5×62=96.5，
預測2023年該公司新能源汽車銷售量96.5萬輛.
3．（2023·全國·高二專題練習）某電商平臺統(tǒng)計了近七年小家電的年度廣告費支出xi(萬元)與年度銷售量yi(萬臺)的數(shù)據(jù)，如表所示:
其中i=17xiyi=279.4，i=17xi2=708
(1)若用線性回歸模型擬合y與x的關系，求出y關于x的線性回歸方程；
(2)若用y=c+dx模型擬合得到的回歸方程為y=1.63+0.99x，經(jīng)計算線性回歸模型及該模型的R2分別為0.75和0.88，請根據(jù)R2的數(shù)值選擇更好的回歸模型擬合y與x的關系，進而計算出年度廣告費x為何值時，利潤z=200y?x的預報值最大？
參考公式：b=i=1nxiyi?nxyi=1nxi2?nx2=i=1nxi?xyi?yi=1nxi?x2，a=y?bx；
【答案】(1)y=0.17x+2.84
(2)選用回歸方程y=1.63+0.99x更好，x=9801時，利潤的預報值最大
【分析】(1)根據(jù)數(shù)據(jù)，利用公式即可求出線性回歸方程；
（2）R2越大擬合效果越好，選用回歸方程y=1.63+0.99x更好，從而計算出結果.
【詳解】（1）由題意可得：
x=1+2+4+6+11+13+197=8
y=1.9+3.2+4.0+4.4+5.2+5.3+5.47=4.2
所以b=i=17xiyi?7xyi=17xi2?7x2=279.4?7×8×4.2708?7×82=0.17，
a=y?bx=4.2?0.17×8=2.84，
y關于x的線性回歸方程：y=0.17x+2.84.
（2）因為0.750，f(x)單調(diào)遞增，當x∈(351,+∞)時，f'(x)R12，根據(jù)R2的意義，即可得出模型②的擬合效果好，選擇模型②；
（2）y與t可用線性回歸來擬合，有y=dt+c，求出系數(shù)d,c，得到回歸方程y=100t+2，即可得到成本費y與同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量x的回歸方程為y=100x+2，代入x=25，即可求出結果.
【詳解】（1）應該選擇模型②.
由題意可知，R22>R12，則模型②中樣本數(shù)據(jù)的殘差平方和i=1nyi?y2比模型①中樣本數(shù)據(jù)的殘差平方和小，即模型②擬合效果好.
（2）由已知t=1x，成本費y與t可用線性回歸來擬合，有y=dt+c.
由已知可得，d^=i=120(yi?y)(ti?t)i=120(ti?t)2=40.04=100，
所以c=y?dt=10?100×0.08=2，
則y關于t的線性回歸方程為y=100t+2.
成本費y與同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量x的回歸方程為y=100x+2，
當x=25（噸）時，y=10025+2=6（萬元/噸）.
所以，同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量為25（噸）時y的預報值為6萬元/噸.
6．（2023·江蘇·高二專題練習）有一個開房門的游戲，其玩法為:
盒中先放入兩把鑰匙T和兩把鑰匙F，T能夠打開房門，F(xiàn)不能打開房門.
每次從盒中隨機取一把試開，試開后不放回鑰匙.第一次打開房門后，關上門繼續(xù)試開，第二次打開房門后停止抽取，稱為進行了一輪游戲.
若每一輪取鑰匙不超過三次，則該輪“成功”，否則為“失敗”，如果某一輪“成功”，則游戲終止；若“失敗”，則將所有鑰匙重新放入盒中，并再放入一把鑰匙F，繼續(xù)下一輪抽取，直至“成功”.
(1)有1000名愛好者獨立參與這個游戲，記t表示“成功”時抽取鑰匙的輪次數(shù)，y表示對應的人數(shù)，部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:
若將y=bt2+a作為y關于t的經(jīng)驗回歸方程，估計抽取7輪才“成功”的人數(shù)（人數(shù)精確到個位）；
(2)由于時間關系，規(guī)定：進行游戲時，最多進行三輪，若均未“成功”也要終止游戲.求游戲要進行三輪的概率.
參考公式：最小二乘估計b=i=1nxiyi?nxyi=1nxi2?nx2，a=y?bx.
參考數(shù)據(jù)：取i=15xi2=1.08，x=0.3，其中xi=1ti2，x=15i=15xi.
【答案】(1)14人
(2)720
【分析】（1）利用參考數(shù)據(jù)以及最小二乘法公式求出b、a的值，可得出經(jīng)驗回歸方程，然后在回歸方程中令t=7，可求得結果；
（2）設事件A為“第一輪成功”，事件B為“第二輪成功”，則A、B相互獨立，分析可知游戲要進行三輪，即前兩輪均失敗，計算出PA、PB的值，利用對立事件和獨立事件的概率公式可求得所求事件的概率.
【詳解】（1）解：令xi=1ti2，設y=bx+a，
由條件知i=15xiyi=507+1444+729+3216+2525=554，y=507+144+72+32+255=156，
所以b=i=15xiyi?5xyi=15xi2?5x2=554?5×0.3×1561.08?5×0.32=3200.63≈507.94，
a=156?507.94×0.3=3.618，從而y=507.94x+3.618，
故所求的回歸方程為y=507.94t2+3.618.
所以，估計當t=7時，y=507.9449+3.618≈14，即抽取7輪才“成功”的人數(shù)約為14人.
（2）解：由條件知，游戲要進行三輪，即前兩輪均失敗.
設事件A為“第一輪成功”，事件B為“第二輪成功”，則A、B相互獨立.
因為PA=A22A42+C21C21A22A43=12，PB=A22A52+C21C31A22A53=310，
所以，前兩輪均失敗的概率為PAB=PAPB=12×710=720.
故游戲要進行三輪的概率為720.
7．（2023春·高二單元測試）根據(jù)黨的“扶貧同扶志、扶智相結合”精準扶貧、精準脫貧政策，中國兒童少年基金會為了豐富留守兒童的課余文化生活，培養(yǎng)良好的閱讀習慣，在農(nóng)村留守兒童聚居地區(qū)捐建“小候鳥愛心圖書角”.2016年某村在寒假和暑假組織開展“小候鳥愛心圖書角讀書活動”，號召全村少年兒童積極讀書，養(yǎng)成良好的閱讀習慣，下表是對2016年以來近5年該村莊100位少年兒童的假期周人均讀書時間的統(tǒng)計：
現(xiàn)要建立y關于x的回歸方程，有兩個不同回歸模型可以選擇，模型一:y=bx+a；模型二:y=cx2+d，即使畫出y關于x的散點圖，也無法確定哪個模型擬合效果更好，現(xiàn)用最小二乘法原理，已經(jīng)求得模型一的方程為y=3.1x?2.8.
(1)請你用最小二乘法原理，結合下面的參考數(shù)據(jù)及參考公式求出模型二的方程（計算結果保留到小數(shù)點后一位）；
(2)用計算殘差平方和的方法比較哪個模型擬合效果更好，已經(jīng)計算出模型一的殘差平方和為i=15y1?y12=3.7.
附：參考數(shù)據(jù)：i=15tiyi?5tyi=15ti2?5t2≈0.52，其中ti=xi2，i=1,2,3,4,5.
參考公式：對于一組數(shù)據(jù)u1,v1，u2,v2，…，un,vn，其回歸直線v=a?βu的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為β=i=1nuivi?nuvi=1nui2?nu2，a=v?βu.
【答案】(1)y=0.5x2+0.8；
(2)模型二的擬合效果更好.
【分析】（1）首先換元令t=x2，先求得t和y，再根據(jù)數(shù)據(jù)和參考公式求得模型二的方程；
（2）利用殘差公式，求模型二的殘差，比較大小，即可判斷.
【詳解】（1）令t=x2，則模型二可化為y關于t的線性回歸問題，則
t=1+4+9+16+255=11，y=1.3+2.8+5.7+8.9+13.85=6.5，
則由參考數(shù)據(jù)可得c=i=15tiyi?5tyi=15ti2?5t2≈0.52≈0.5，
d=y?ct=6.5?0.52×11≈0.8，
則模型二的方程為y=0.5x2+0.8；
（2）由模型二的回歸方程可得，y12=0.5×1+0.8=1.3，
y2(2)=0.5×4+0.8=2.8，y3(2)=0.5×9+0.8=5.3，y4(2)=0.5×16+0.8=8.8，
y5(2)=0.5×25+0.8=13.3，
∴i=15yi?yi(2)2=02+02+0.42+0.12+0.52=0.420)去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設z=lny，將其變換后得到經(jīng)驗回歸方程z=2x?1，則k,c的值分別是（ ）
A．?2,eB．2,1eC．?2,1eD．2,e
【答案】B
【分析】模型y=cekx(c>0)兩邊取對數(shù)，又z=lny，可得z=lnc+kx，又已知回歸方程z=2x?1，可求k,c的值.
【詳解】由題意得lny=lncekx=lnc+kx，設z=lny，可得z=lnc+kx.
又經(jīng)驗回歸方程為z=2x?1，
所以lnc=?1,k=2，故c=1e,k=2.
故選：B
2．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考二模）云計算是信息技術發(fā)展的集中體現(xiàn)，近年來，我國云計算市場規(guī)模持續(xù)增長.已知某科技公司2018年至2022年云計算市場規(guī)模數(shù)據(jù)，且市場規(guī)模y與年份代碼x的關系可以用模型y=c1ec2x（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）擬合，設z=lny，得到數(shù)據(jù)統(tǒng)計表如下：
由上表可得經(jīng)驗回歸方程z=0.52x+a，則2025年該科技公司云計算市場規(guī)模y的估計值為（ ）
A．e5.08B．e5.6C．e6.12D．e6.5
【答案】B
【分析】根據(jù)a=z?bx可得線性回歸方程，再由回歸方程求出2025年z的預測值，代入z=lny即可得解.
【詳解】因為x=3,z=3，
所以a=z?0.52x=3?3×0.52=1.44，
即經(jīng)驗回歸方程z=0.52x+1.44，
當x=8時，z=0.52×8+1.44=5.6，
所以y=ez=e5.6，
即2025年該科技公司云計算市場規(guī)模y的估計值為e5.6，
故選：B
3．（2023春·湖南張家界·高二慈利縣第一中學校考期中）對具有相關關系的兩個變量x和y進行回歸分析時，經(jīng)過隨機抽樣獲得成對的樣本點數(shù)據(jù)xi,yii=1,2,?,n，則下列結論正確的是（ ）
A．若兩變量x，y具有線性相關關系，則回歸直線至少經(jīng)過一個樣本點
B．若兩變量x，y具有線性相關關系，則回歸直線一定經(jīng)過樣本點中心(x,y)
C．若以模型y=ae?x(a>0)擬合該組數(shù)據(jù)，為了求出回歸方程，設z=lny，將其變換后得到線性方程z=6x+ln3，則a，h的估計值分別是3和6
D．回歸分析中常用殘差平方和來刻畫擬合效果好壞，殘差平方和越小，擬合效果越好
【答案】BCD
【分析】根據(jù)回歸方程的性質(zhì)判斷A，B，比較列方程確定a，h的估計值判斷C，根據(jù)殘差和的意義判斷D.
【詳解】對于A，若兩變量x，y具有線性相關關系，則所有樣本點都可能不在回歸直線上，A錯誤；
對于B，若兩變量x，y具有線性相關關系，則回歸直線一定經(jīng)過樣本點中心(x,y)，B正確；
對于C，因為y=ae?x(a>0)，所以lny=?x+lna，即z=?x+lna，又z=6x+ln3，所以a，h的估計值分別是3和6，C正確；
對于D，殘差平方和越小，擬合效果越好，D正確；
故選：BCD.
4．（2023·全國·模擬預測）為了研究某種細菌隨天數(shù)x變化的繁殖個數(shù)y，收集數(shù)據(jù)如下：
(1)在圖中作出繁殖個數(shù)y關于天數(shù)x變化的散點圖，并由散點圖判斷y=bx+a（a，b為常數(shù)）與y=c1ec2x（c1，c2為常數(shù)，且c1>0，c2≠0）哪一個適宜作為繁殖個數(shù)y關于天數(shù)x變化的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
(2)對于非線性回歸方程y=c1ec2x（c1，c2為常數(shù)，且c1>0，c2≠0），令z=lny，可以得到繁殖個數(shù)的對數(shù)z關于天數(shù)x具有線性關系及一些統(tǒng)計量的值．
①證明：“對于非線性回歸方程y=c1ec2x，令z=lny，可以得到繁殖個數(shù)的對數(shù)z關于天數(shù)x具有線性關系（即z=βx+α，β，α為常數(shù)）”；
②根據(jù)（1）的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程（系數(shù)保留2位小數(shù)）．
附：對于一組數(shù)據(jù)u1,v1，u2,v2，…，un,vn，其回歸直線方程v=βu+α的斜率和截距的最小二乘估計分別為β=i=1nui?uvi?vi=1nui?u2，α=v?βu．
【答案】(1)作圖見解析，選擇y=c1ec2x為回歸方程較適宜
(2)① 證明見解析；②y=e0.69x+1.12
【分析】（1）根據(jù)散點圖，結合一次函數(shù)和指數(shù)型函數(shù)圖象的特征進行判斷即可；
（2）①根據(jù)對數(shù)與指數(shù)的互化公式進行求解即可；
②利用題中所給的數(shù)據(jù)和公式進行求解即可.
【詳解】（1）作出散點圖如圖所示．
由散點圖看出樣本點分布在一條指數(shù)型曲線的周圍，
故選擇y=c1ec2x為回歸方程較適宜；
（2）①由已知，z=lny，則z=lny=lnc1ec2x=lnc1+lnec2x=lnc1+c2x，
則α=lnc1，β=c2，即z=βx+α．所以繁殖個數(shù)的對數(shù)z關于天數(shù)x具有線性關系．
②由①知繁殖個數(shù)的對數(shù)z關于天數(shù)x可以用線性回歸方程來擬合．
由表中數(shù)據(jù)可得β=i=16xi?xyi?yi=16xi?x2=12.0917.5≈0.69，
α=z=βx=3.53?0.69×3.5≈1.12，
則z關于x的線性回歸方程為z=0.69x+1.12．
又z=lny，
因此細菌的繁殖個數(shù)y關于天數(shù)x的非線性回歸方程為y=e0.69x+1.12．
5．（2023春·四川成都·高二樹德中學?？茧A段練習）某高科技公司對其產(chǎn)品研發(fā)年投資額x（單位：百萬元）與其年銷售量y（單位：千件）的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，整理后得到如下統(tǒng)計表1和散點圖.通過初步分析，求得年銷售量y關于年投資額x的線性回歸方程為y=1.2x?1.3.
(1)該公司科研團隊通過進一步分析散點圖的特征后，計劃用y=ebx+a作為年銷售量y關于年投資額x的非線性回歸方程，請根據(jù)參考數(shù)據(jù)及表2的數(shù)據(jù)，求出此方程；
(2)若求得線性回歸模型的相關系數(shù)R12=0.88，請根據(jù)參考數(shù)據(jù)，求出（1）中非線性回歸模型的相關系數(shù)R22，并比較兩種回歸方程的擬合效果哪個更好？（精確到0.01）
參考數(shù)據(jù)：i=15xi2=55，i=15xizi=13.4；e?0.68≈0.54，e?0.09≈0.96，e0.50≈1.74，e1.09≈3.15，e1.68≈5.67；
參考公式：b=i=1nxi?xyi?yi=1nxi?x2=i=1nxiyi?nxyi=1nxi2?nx2，a=y?bx，R2=1?i=1nyi?yi2i=1nyi?y2=1?i=1nyi?yi2i=1nyi2?ny2.
【答案】(1)y=e0.59x?1.27
(2)0.99，非線性回歸方程擬合效果更好
【分析】（1）根據(jù)已知公式計算b，a，根據(jù)z=lny，即可求得答案；
（2）由（1）的結論y=e0.59x?1.27，求得R22，與R12=0.88相比較，可得結論.
【詳解】（1）由y=ebx+a，則lny=bx+a，記z=lny，即z=bx+a，
z=?0.7+0+0.4+1.1+1.75=0.5，x=1+2+3+4+55=3，
b=13.4?5×3×0.555?5×32=0.59，a=0.5?0.59×3=?1.27，
所以z=lny=0.59x?1.27，即非線性回歸方程為y=e0.59x?1.27.
（2）由（1）可得：y=e0.59x?1.27，
R22≈1??0.042+0.042+?0.242+?0.152+?+12+1.52+32+5.52?5×2.32≈0.99，
顯然R22>R12=0.88，故非線性回歸方程擬合效果更好.
6．（2023·廣東江門·統(tǒng)考一模）某高科技公司對其產(chǎn)品研發(fā)年投資額x（單位：百萬元）與其年銷售量y（單位：千件）的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，整理后得到如下統(tǒng)計表和散點圖.
(1)該公司科研團隊通過分析散點圖的特征后，計劃分別用①y=bx+a和②y=edx+c兩種方案作為年銷售量y關于年投資額x的回歸分析模型，請根據(jù)統(tǒng)計表的數(shù)據(jù)，確定方案①和②的經(jīng)驗回歸方程；（注：系數(shù)b，a，d，c按四舍五入保留一位小數(shù)）
(2)根據(jù)下表中數(shù)據(jù)，用相關指數(shù)R2（不必計算，只比較大?。┍容^兩種模型的擬合效果哪個更好，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預測當研發(fā)年投資額為8百萬元時，產(chǎn)品的年銷售量是多少？
參考公式及數(shù)據(jù)：b=i=1nxi?xyi?yi=1nxi?x2=i=1nxiyi?nxyi=1nxi2?nx2，a=y?bx，
R2=1?i=1nyi?yi2i=1nyi?y2=1?i=1nyi?yi2i=1nyi2?ny2，
i=16xizi=?1×0.7+2×0+3×0.4+4×1.1+5×1.8+6×2.5=28.9，e3.4=30.
【答案】(1)y=2.1x?3.4，y=e0.6x?1.4
(2)30（千件）
【分析】（1）求出x,y，根據(jù)公式計算出b,a得線性回歸方程；求出z，再求得系數(shù)a，b，代入得非線性回歸方程；
（2）根據(jù)（1）回歸方程分別求得相關指數(shù)R12,R22，比較可得，然后估算銷售量即可．
【詳解】（1）由題可得x=161+2+3+4+5+6=3.5，y=160.5+1+1.5+3+6+12=4，
i=16xiyi=1×0.5+2×1+3×1.5+4×3+5×6+6×12=121，i=16xi2=1+4+9+16+25+36=91 ，
所以b=i=16xiyi?6xyi=16xi2?6x2=121?5×4×3.591?6×3.52≈2.11， a=y?bx=4?2.11×3.5≈?3.4，
方案①回歸方程y=2.1x?3.4，
對y=edx+c兩邊取對數(shù)得：lny=dx+c，令z=lny，z=dx+c是一元線性回歸方程.
z=16?0.7+0+0.4+1.1+1.8+2.5=0.85 ，
d=i=16xiyi?6xyi=16xi2?6x2=28.9?6×3.5×0.8591?6×3.52≈0.63，
c=z?dx=0.85?0.63×3.5≈?1.4，
方案②回歸方程y=e0.6x?1.4 ；
（2）方案①相關指數(shù)R12=1?18.29i=1nyi2?ny2；
方案②相關指數(shù)R22=1?0.65i=1nyi2?ny2，
R122.1，即x>e2.1≈8.2．
故當x=9時，即到2022年每戶平均可支配收入才能超過35（千元）．
3．（2023春·吉林長春·高二長春十一高?？茧A段練習）《中共中央國務院關于全面推進鄉(xiāng)村振興加快農(nóng)業(yè)農(nóng)村現(xiàn)代化的意見》，這是21世紀以來第18個指導“三農(nóng)”工作的中央一號文件.文件指出，民族要復興，鄉(xiāng)村必振興，要大力推進數(shù)字鄉(xiāng)村建設，推進智慧農(nóng)業(yè)發(fā)展.某鄉(xiāng)村合作社借助互聯(lián)網(wǎng)直播平臺進行農(nóng)產(chǎn)品銷售，眾多網(wǎng)紅主播參與到直播當中，在眾多網(wǎng)紅直播中，統(tǒng)計了10名網(wǎng)紅直播的觀看人次xi和農(nóng)產(chǎn)品銷售量yii=1,2,3,?,10的數(shù)據(jù)，得到如圖所示的散點圖.
(1)利用散點圖判斷，y=a+bx和y=c+dlnx哪一個更適合作為觀看人次x和銷售量y的回歸方程類型；（只要給出判斷即可，不必說明理由）
(2)對數(shù)據(jù)作出如下處理：得到相關統(tǒng)計量的值如表：
其中令ωi=lnxi，ω=110i=110ωi.
根據(jù)（1）的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，求y（單位：千件）關于x（單位：十萬次）的回歸方程，并預測當觀看人次為280萬人時的銷售量；
參考數(shù)據(jù)和公式：ln2≈0.69，ln7≈1.95
附：對于一組數(shù)據(jù)u1,v1、u2,v2、?、un,vn，其回歸線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為：β=i=1nui?uvi?vi=1nui?u2，α=v?βu.
【答案】(1)y=c+dlnx更適合；
(2)y=10.3+10lnx，預測當觀看人次為280萬人時的銷售量約為43600件.
【分析】（1）根據(jù)散點圖中散點的分布情況可選擇合適的回歸模型；
（2）令ω=lnx，則y=c+dω，將表格中的數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式，可求得d、c的值，進而可得出y關于x的回歸方程，將x=28代入回歸方程可得出銷售量.
【詳解】（1）解：由散點圖可知，散點分布在一條對數(shù)型曲線附近，所以選擇回歸方程y=c+dlnx更適合.
（2）解：令ω=lnx，則y=c+dω，
因為i=110ωi?ωyi?y=66，i=110ωi?ω2=6.6，
所以d=i=110ωi?ωyi?yi=110ωi?ω2=666.6=10，
又因為y=30.3，ω=2，所以c=y?dω=30.3?10×2=10.3，
所以y與ω的線性回歸方程為y=10.3+10ω，
故y關于x的回歸方程為y=10.3+10lnx.
令x=28，代入回歸方程可得y=10.3+10ln28=10.3+10×2ln2+ln7≈43.6（千件）
所以預測觀看人次為280萬人時的銷售量約為43600件.
4．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習）《中共中央國務院關于全面推進鄉(xiāng)村振興加快農(nóng)業(yè)農(nóng)村現(xiàn)代化的意見》，這是21世紀以來第18個指導“三農(nóng)”工作的中央一號文件.文件指出，民族要復興，鄉(xiāng)村必振興，要大力推進數(shù)字鄉(xiāng)村建設，推進智慧農(nóng)業(yè)發(fā)展.某鄉(xiāng)村合作社借助互聯(lián)網(wǎng)直播平臺進行農(nóng)產(chǎn)品銷售，眾多網(wǎng)紅主播參與到直播當中，在眾多網(wǎng)紅直播中，統(tǒng)計了10名網(wǎng)紅直播的觀看人次xi和農(nóng)產(chǎn)品銷售量yii=1,2,3,?,10的數(shù)據(jù)，得到如圖所示的散點圖.
(1)利用散點圖判斷，y=a+bx和y=c+dlnx哪一個更適合作為觀看人次x和銷售量y的回歸方程類型；（只要給出判斷即可，不必說明理由）
(2)對數(shù)據(jù)作出如下處理：得到相關統(tǒng)計量的值如表：
其中令ωi=lnxi，ω=110i=110ωi.根據(jù)（1）的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，求y關于x的回歸方程，并預測當觀看人次為280萬人時的銷售量；
(3)規(guī)定：觀看人次大于等于120萬人次的主播為優(yōu)秀主播，從這10名主播中隨機抽取3名，記其中優(yōu)秀主播的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望.
參考數(shù)據(jù)和公式：ln2≈0.69，ln7≈1.95
附：對于一組數(shù)據(jù)u1,v1，u2,v2，…，un,vn，其回歸線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為：β=i=1nui?uvi?vi=1nui?u2，α=v?βu.
【答案】(1)y=c+dlnx更適合
(2)y=10.3+10lnx，43600件
(3)分布列見解析，65
【分析】（1）觀察散點圖，根據(jù)散點的分布規(guī)律判斷應采用的模型；
（2）令ω=lnx，先求y與ω的線性回歸方程，由此可得y與x的回歸方程，再利用回歸方程預測；
（3）確定隨機變量的X的可能取值，再求取各值的概率，由此可得X的分布列，利用均值公式求其期望.
【詳解】（1）由散點圖可知，散點分布在一條對數(shù)型曲線附近，
所以選擇回歸方程y=c+dlnx更適合；
（2）令ω=lnx，則y=c+dω，
因為i=110ωi?ωyi?y=66，i=110ωi?ω2=6.6，
所以d=i=110ωi?ωyi?yi=110ωi?ω2=666.6=10，
又y=30.3，ω=2，
所以c=y?dω=30.3?10×2=10.3，
所以y與ω的線性回歸方程為y=10.3+10ω，
故y關于x的回歸方程為y=10.3+10lnx.
令x=28，代入回歸方程可得y=10.3+10ln28=10.3+10×2ln2+ln7≈43.6（千件），
所以預測觀看人次為280萬人時的銷售量約為43600件.
（3）由散點圖可知，這10名主播中，優(yōu)秀主播的個數(shù)有4個，
所以X的可能取值為0，1，2，3，
所以PX=0=C63C40C103=16，PX=1=C62C41C103=12，
PX=2=C61C42C103=310，PX=3=C60C43C103=130，
所以X的分布列為：
數(shù)學期望EX=0×16+1×12+2×310+3×130=65.
5．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預測）某劇場的座位數(shù)量是固定的，管理人員統(tǒng)計了最近在該劇場舉辦的五場表演的票價xi（單位：元）和上座率yi（上座人數(shù)與總座位數(shù)的比值）的數(shù)據(jù)，其中i=1，2，3，4，5，并根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到如下的散點圖：
(1)由散點圖判斷y=bx+a與y=clnx+d哪個模型能更好地對y與x的關系進行擬合（給出判斷即可，不必說明理由），并根據(jù)你的判斷結果求回歸方程；
(2)根據(jù)（1）所求的回歸方程，預測票價為多少時，劇場的門票收入最多．
參考數(shù)據(jù)：x=240,y=0.5，i=15xi2=365000，i=15xiyi=457.5；設zi=lnxi，則i=15zi≈27，i=15zi2≈147.4，i=15ziyi≈12.7；e5.2≈180，e5.4≈220，e6.4≈600．
參考公式：對于一組數(shù)據(jù)u1,v1,u2,v2,?,un,vn，其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為：β=i=1nuivi?nuvi=1nui2?nu2=i=1nui?uvi?vi=1nui?u2，α=v?βu．
【答案】(1)y=clnx+d能更好地對y與x的關系進行擬合，y=?0.5lnx+3.2；
(2)預測票價為220元時，劇場的門票收入最多．
【分析】（1）由散點圖知，y=clnx+d能更好地對y與x的關系進行擬合，設z=lnx，由公式求出c，再將y,z代入求出d，可得y關于z的線性回歸方程，進而得出y關于x的回歸方程；
（2）設函數(shù)fx=?0.5xlnx+3.2x，對函數(shù)求導，判斷出單調(diào)性和極值，可預測劇場的門票收入最多時的票價．
【詳解】（1）y=clnx+d能更好地對y與x的關系進行擬合．
設z=lnx，先求y關于z的線性回歸方程．
由已知得z=15i=15zi≈275=5.4，
所以c=i=15ziyi?5zyi=15zi2?5z2≈12.7?5×5.4×0.5147.4?5×5.42=12.7?13.5147.4?145.8=??0.5，
d=y?cz=0.5??0.5×5.4=3.2，
所以y關于z的線性回歸方程為y=?0.5z+3.2，
所以y關于x的回歸方程為y=?0.5lnx+3.2；
（2）設該劇場的總座位數(shù)為M，由題意得門票收入為M?0.5xlnx+3.2x，
設函數(shù)fx=?0.5xlnx+3.2x，則f′(x)=?0.5lnx+2.7，
當f′(x)e5.4時，函數(shù)單調(diào)遞減，當f′(x)>0，即02.1，即x>e2.1≈8.2，
故當x=9時，即到第9天才能超過35杯；
（3）由題意知，這7天中銷售超過25杯的有4天，則隨機變量X的可能取值為0,1,2,3
PX=0=C40C33C73=135，PX=1=C41C32C73=1235，
PX=2=C42C31C73=1835，PX=3=C43C30C73=435，
則隨機變量X的分布列為
7．（2023·全國·高三專題練習）一所中學組織學生對某線下某實體店2022年部分月份的月利潤情況進行調(diào)查統(tǒng)計，得到的數(shù)據(jù)如下：
根據(jù)散點圖，準備用①y=alnx+b或②y=cx+d建立y關于x的回歸方程.
(1)用線性相關系數(shù)說明上面的兩種模型哪種適宜作為y關于x的回歸方程?
(2)由參考數(shù)據(jù)，根據(jù)（1）的判斷結果，求y關于x的回歸方程（精確到0.1）.
附：對于一組數(shù)據(jù)ui,vi（i=1，2，3，?，n），其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為β=i=1nui?uvi?vi=1nui?u2，α=v?βu.相關系數(shù)r=i=1nui?uvi?vi=1nui?u2i=1nvi?v2.
參考數(shù)據(jù)：x=7，y=3.55，λ=1.80，μ=2.55，i=16λi?λ2=2.20，
i=16μi?μ2=2.89，i=16yi?yλi?λ=5.55，i=16yi?yμi?μ=6.32，
i=16yi?y2i=16λi?λ2=5.76，i=16yi?y2i=16μi?μ2=6.61.
【答案】(1)模型①
(2)y=2.5lnx?1.0
【分析】(1)計算相關系數(shù)比較大小即可確定更適宜的模型；
(2)利用最小二乘法相關公式即可求解.
【詳解】（1）由題意y=aλ+b的線性相關系數(shù)的相關系數(shù)
r1=i=16yi?yλi?λi=16yi?y2i=16λi?λ2=≈0.963.
y=cx+d的相關系數(shù)r2=i=16yi?yμi?μi=16yi?y2i=16μi?μ2=≈0.956.
所以1>r1>r2>0，因此模型①擬合效果更好.
（2）根據(jù)（1）的判斷結果，
計算a與b由參考數(shù)據(jù)a=i=16yi?yλi?λi=16λi?λ2=≈2.52，∴a=2.5
所以b=y?2.52×λ≈?1.0.
于是y關于x的回歸方程①為y=2.5lnx?1.0.
8．（2023·福建·統(tǒng)考模擬預測）放行準點率是衡量機場運行效率和服務質(zhì)量的重要指標之一.某機場自2012年起采取相關策略優(yōu)化各個服務環(huán)節(jié)，運行效率不斷提升.以下是根據(jù)近10年年份數(shù)xi與該機場飛往A地航班放行準點率yi（i=1，2，?，10）（單位：百分比）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)所作的散點圖及經(jīng)過初步處理后得到的一些統(tǒng)計量的值.
其中ti=lnxi?2012，t=110i=110ti
(1)根據(jù)散點圖判斷，y=bx+a與y=clnx?2012+d哪一個適宜作為該機場飛往A地航班放行準點率y關于年份數(shù)x的經(jīng)驗回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由），并根據(jù)表中數(shù)據(jù)建立經(jīng)驗回歸方程，由此預測2023年該機場飛往A地的航班放行準點率.
(2)已知2023年該機場飛往A地?B地和其他地區(qū)的航班比例分別為0.2、0.2和0.6.若以（1）中的預測值作為2023年該機場飛往A地航班放行準點率的估計值，且2023年該機場飛往B地及其他地區(qū)（不包含A、B兩地）航班放行準點率的估計值分別為80%和75%，試解決以下問題：
（i）現(xiàn)從2023年在該機場起飛的航班中隨機抽取一個，求該航班準點放行的概率；
（ii）若2023年某航班在該機場準點放行，判斷該航班飛往A地、B地、其他地區(qū)等三種情況中的哪種情況的可能性最大，說明你的理由.
附：（1）對于一組數(shù)據(jù)u1,v1，u2,v2，…，un,vn，其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為β=i=1nui?uvi?vi=1nui?u2=i=1nuivi?nu?vi=1nui2?nu2，α=v?βu
參考數(shù)據(jù)：ln10≈2.30，ln11≈2.40，ln12≈2.48.
【答案】(1)y=clnx?2012+d適宜，預測2023年該機場飛往A地的航班放行準點率84%
(2)（i）0.778；（ii）可判斷該航班飛往其他地區(qū)的可能性最大，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)線性回歸方程的計算公式，選擇合適的模型計算即可；
（2）利用全概率公式和條件概率公式，即可根據(jù)概率判斷可能性最大的情況.
【詳解】（1）由散點圖判斷y=clnx?2012+d適宜作為該機場飛往A地航班放行準點率y關于年份數(shù)x的經(jīng)驗回歸方程類型.
令t=lnx?2012，先建立y關于t的線性回歸方程.
由于c=i=110tiyi?10tyi=1?10ti2?10t?2=1226.8?10×1.5×80.427.7?10×1.52=4，
d=y?ct=80.4?4×1.5=74.4，
該機場飛往A地航班放行準點率y關于t的線性回歸方程為y=4t+74.4，
因此y關于年份數(shù)x的回歸方程為y=4lnx?2012+74.4
所以當x=2023時，該機場飛往A地航班放行準點率y的預報值為
y=4ln2023?2012+74.4=4ln11+74.4≈4×2.40+74.4=84.
所以2023年該機場飛往A地航班放行準點率y的預報值為84%.
（2）設A1=“該航班飛往A地”，A2=“該航班飛往B地”，A3=“該航班飛往其他地區(qū)”，C=“該航班準點放行”，
則PA1=0.2，PA2=0.2，PA3=0.6，
PCA1=0.84，PCA2=0.8，PCA3=0.75.
（i）由全概率公式得，
PC=PA1PCA1+PA2PCA2+PA3PCA2
=0.84×0.2+0.8×0.2+0.75×0.6=0.778，
所以該航班準點放行的概率為0.778.
（ii）PA1C=PA1CPC=PA1PCA1PC=0.2×，
PA2C=PA2CPC=PA2PCA2PC=0.2×，
PA3C=PA3CPC=PA3PCA3PC=0.6×，
因為0.6×0.75>0.2×0.84>0.2×0.8，
所以可判斷該航班飛往其他地區(qū)的可能性最大.
曲線方程
變換公式
變換后的線性關系式
周數(shù)x
1
2
3
4
5
治愈人數(shù)y
2
17
36
93
142
y
i=15xi2
i=15xi4
i=15xiyi
i=15xi2yi
34
55
979
657
2805
年份
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
廣告費支出x
1
2
4
6
11
13
19
銷售量y
1.9
3.2
4.0
4.4
5.2
5.3
5.4
i=15ui
i=15vi
i=15ui?uvi?v
i=15ui?u2
16.10
26.02
0.40
1.60
x
y
t
i=120xi?x2
i=120ti?t2
i=120yi?yxi?x
i=120yi?yti?t
14.5
10
0.08
665
0.04
-450
4
t
1
2
3
4
5
y
507
144
72
32
25
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份代碼x
1
2
3
4
5
每周人均讀書時間y（小時）
1.3
2.8
5.7
8.9
13.8
年份
2018年
2019年
2020年
2021年
2022年
年份代碼x
1
2
3
4
5
云計算市場規(guī)模y/千萬元
7.4
11
20
36.6
66.7
z=lny
2
2.4
3
3.6
4
天數(shù)x
1
2
3
4
5
6
繁殖個數(shù)y
6
12
25
49
95
190
x
y
z
i=16xi?x2
i=16xi?xy1?y
i=16xi?xzi?z
3.50
62.83
3.53
17.50
596.57
12.09
x
1
2
3
4
5
y
0.5
1
1.5
3
5.5
表1
x
1
2
3
4
5
z=lny
?0.7
0
0.4
1.1
1.7
表2
x
1
2
3
4
5
y
0.5
1
1.5
3
5.5
y
0.54
0.96
1.74
3.15
5.67
x
1
2
3
4
5
6
y
0.5
1
1.5
3
6
12
z=lny
-0.7
0
0.4
1.1
1.8
2.5
經(jīng)驗回歸方程殘差平方和
y=bx+a
y=edx+c
i=15yi?yi2
18.29
0.65
年份代碼x
1
2
3
4
5
中國信創(chuàng)產(chǎn)業(yè)規(guī)模y/千億元
8.1
9.6
11.5
13.8
16.7
v
i=15xivi
e1.919
e0.177
1.196
2.45
38.52
6.81
1.19
2.84
年份
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年份代碼x
1
2
3
4
5
6
7
每戶平均可支配收入y（千元）
4
15
22
26
29
31
32
y
u
i=17xiyi
i=17uiyi
i=17ui2
e2.1
22.7
1.2
759
235.1
13.2
8.2
x
y
ω
i=110xi?x2
i=110ωi?ω2
i=110xi?xyi?y
i=110ωi?ωyi?y
9.4
30.3
2
366
6.6
439.2
66
x
y
ω
i=110xi?x2
i=110ωi?ω2
i=110xi?xyi?y
i=110ωi?ωyi?y
9.4
30.3
2
366
6.6
439.2
66
X
0
1
2
3
P
16
12
310
130
日期
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
第七天
日期代碼x
1
2
3
4
5
6
7
杯數(shù)y
4
15
22
26
29
31
32
y
u
i=17xiy1
i=17uiy1
i=17ui2
e2.1
22.7
1.2
759
235.1
13.2
8.2
X
0
1
2
3
P
135
1235
1835
435
月份x
2
4
6
8
10
12
凈利潤y（萬元）
0.9
2.0
4.2
3.9
5.2
5.1
λ=lnx
0.7
1.4
1.8
2.1
2.3
2.5
μ=x
1.4
2.0
2.4
2.8
3.2
3.5
x
y
t
i=110xi2
i=110xiyi
i=110ti2
i=110tiyi
2017.5
80.4
1.5
40703145.0
1621254.2
27.7
1226.8

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