一、單選題
1．已知全集，集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)補(bǔ)集的概念即可求解.
【詳解】依題意，全集，而，所以.
故選：C.
2．命題“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，準(zhǔn)確改寫，即可求解.
【詳解】因?yàn)榇嬖诹吭~命題的否定為全稱量詞命題，全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，
所以命題“”的否定是“”.
故選：C．
3．已知，則（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則及共軛復(fù)數(shù)的概念計(jì)算即可.
【詳解】由題意可得，
所以，則.
故選：D
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)結(jié)合必要不充分條件的判定方法求解即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，或或，所以“”推不出“”，
但是當(dāng)時(shí)，，所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
5．在等比數(shù)列中，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式可直接求得結(jié)果.
【詳解】，，解得：.
故選：C.
6．函數(shù)的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除C；根據(jù)的符號(hào)可排除A；利用導(dǎo)數(shù)說明不是函數(shù)的極值點(diǎn)，即可排除D.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>因?yàn)椋?br>所以函數(shù)為偶函數(shù)，故排除C；
因?yàn)?，故排除A；
當(dāng)時(shí)，，則，
因?yàn)?，所以不是函?shù)的極值點(diǎn)，故排除D.
故選：B.
7．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】將切化弦，結(jié)合正弦定理得，再利用余弦定理求出答案．
【詳解】因?yàn)椋裕?br>由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
整理得，即．
故選：C．
8．已知函數(shù)（）在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由余弦型函數(shù)的性質(zhì)列出不等式組，進(jìn)而得出的取值范圍.
【詳解】因?yàn)椋海裕海?br>令：，則得：.
因?yàn)椋涸谏嫌袀€(gè)零點(diǎn)，
所以：，解得：.
故的取值范圍為：，故B項(xiàng)正確.
故選：B.
二、多選題
9．已知平面向量，，則（ ）
A．若，則
B．若，則與的夾角為銳角
C．若為任意非零向量，則存在實(shí)數(shù)，使得
D．若在上的投影向量為，則或
【答案】AD
【分析】利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可判斷A選項(xiàng)；由與的夾角為銳角求出的取值范圍，可判斷B選項(xiàng)；設(shè)，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可判斷C選項(xiàng)；利用投影向量的性質(zhì)可得出，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得的值，可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則，解得，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，若與的夾角為銳角，則且、不共線，
所以，，解得且，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)，其中，若存在，使得，
則，
令，此時(shí)，該方程無解，
若，不存在實(shí)數(shù)，使得，C錯(cuò)；
對(duì)于D選項(xiàng)，若在上的投影向量為，則，
即，整理可得，解得或，D對(duì).
故選：AD.
10．設(shè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．xy的最小值為B．的最小值為4
C．的最大值為2D．的最小值為
【答案】BD
【分析】根據(jù)基本不等式即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，
即時(shí)等號(hào)成立，的最大值為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)樗裕?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)椋?br>所以的最大值為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)椋訢正確.
故選：BD.
11．已知函數(shù)的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，若將的圖象向左平移個(gè)單位得到的圖象頭于軸對(duì)稱，則（ ）
A．
B．直線為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸
C．為函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心
D．若在上單調(diào)遞增．則
【答案】ABD
【分析】由正弦型函數(shù)圖象的變換求解函數(shù)解析式，然后利用性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】由題意知，故，又的圖象向左平移個(gè)單位得到，所以，又，故，故A正確；
因?yàn)?，且為極小值，所以直線為曲線的一條對(duì)稱軸，故B正確；
因?yàn)?，所以不是曲線的一個(gè)對(duì)稱中心，故C錯(cuò)誤；
由，得，即在上單調(diào)遞增，故，故D正確．
故選:ABD．
12．已知，函數(shù)的圖象記為，的圖象記為.則（ ）
A．函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)B．與沒有共同的切線
C．當(dāng)時(shí)，曲線在曲線的下方D．當(dāng)時(shí)，
【答案】AC
【分析】利用導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)、切線、最值、不等式等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A選項(xiàng)，，
，在區(qū)間上，單調(diào)遞減；
在區(qū)間上單調(diào)遞增，
由于，所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，A選項(xiàng)正確.
C選項(xiàng)，由上述分析可知恒成立，
所以恒成立，且當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，曲線在曲線的下方，C選項(xiàng)正確.
B選項(xiàng)，，
所以和在點(diǎn)處的切線方程為，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，
令，
，由于，所以，
即，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AC
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，主要是利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值點(diǎn)等，部分題目要結(jié)合零點(diǎn)存在性定理來判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).求解曲線的切線方程，關(guān)鍵點(diǎn)是切點(diǎn)和斜率，斜率可利用導(dǎo)數(shù)求解，也可以利用切線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)來求得.
三、填空題
13． ．
【答案】/
【分析】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡即可得出答案.
【詳解】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得：
．
故答案為：.
14．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差，，則當(dāng)取最小值時(shí)， ．
【答案】7
【分析】由題意可得，判斷數(shù)列的前7項(xiàng)為負(fù)數(shù)，從第8項(xiàng)開始為正數(shù)，可得結(jié)論．
【詳解】，
即即.
又，
該等差數(shù)列為遞增數(shù)列，
該等差數(shù)列的前7項(xiàng)為負(fù)數(shù)，從第8項(xiàng)開始為正數(shù)，即前7項(xiàng)和最小.
當(dāng)取最小值時(shí)，.
故答案為：7.
15．已知函數(shù)，若，則 ．
【答案】
【分析】由解析式易得，結(jié)合已知即可求目標(biāo)函數(shù)值.
【詳解】由，則，
又，故．
故答案為：
四、單空題
16．函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意，恒有，若， .
【答案】
【分析】設(shè)，得到，由，利用賦值法，分別求得的值，得出函數(shù)的周期性，結(jié)合周期性，即可求解.
【詳解】設(shè)，可得，
因?yàn)?，即?br>若，令，則，所以；
令，則，即所以；
令，則，即所以；
令，則，即所以；
令，則，即所以；
令，則，即所以；
令，則，即所以；
令，則，即所以，
由此可得的值有周期性，最小正周期為，
且，
所以.
故答案為：.
五、問答題
17．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面積．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）先由平方關(guān)系求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；
（2）根據(jù)余弦定理的推論以及可解出，即可由三角形面積公式求出面積．
【詳解】（1）由于， ，則．因?yàn)椋?br>由正弦定理知，則．
（2）因?yàn)?，由余弦定理，得?br>即，解得，而，，
所以的面積．
18．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等差數(shù)列前項(xiàng)和以及通項(xiàng)公式結(jié)合已知聯(lián)立方程組，求出基本量即可.
（2）由分組求和法以及等比數(shù)列公式法即可求解.
【詳解】（1）設(shè)公差為d，依題意得,解得,
所以，．
（2）因?yàn)椋?，
所以
．
19．已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的最小正周期和圖象的對(duì)稱軸方程；
(2)若存在，使得不等式成立，求．
【答案】(1)最小正周期為，對(duì)稱軸方程為；
(2)
【分析】（1）化簡，得，從而可得周期；令，求解即可得到對(duì)稱軸方程；
（2）根據(jù)題意可得，又，從而可得，求解得，從而可得.
【詳解】（1）
，
的最小正周期，
令，解得，
對(duì)稱軸方程為；
（2），即，
又，
則，故，
．
20．已知函數(shù)在處取得極值．
(1)求的值；
(2)求函數(shù)在上的最值．
【答案】(1)
(2)最小值為．最大值為
【分析】(1)利用極值的定義列方程求解；
(2)利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)在的單調(diào)性，結(jié)合極值和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值即可求最值.
【詳解】（1）因，故，
由于在處取得極值，
故有即，
化簡得解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，，
令，解得或，令，解得，
所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
所以在處取得極值，
符合題意，所以．
（2）由（1）知．
令，得．
在時(shí)，隨的變化．的變化情況如下表所示：
當(dāng)時(shí)，有極大值，
當(dāng)時(shí)，有極小值．
因?yàn)椋?br>所以．
因此在的最小值為，最大值為.
21．在中，已知，，，設(shè)點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，點(diǎn)為線段延長線上的一點(diǎn)．
(1)當(dāng)且P是邊BC上的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)與交于點(diǎn)，求線段的長；
(2)設(shè)，若，求線段長度的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由均為中點(diǎn)及重心的性質(zhì)判斷出點(diǎn)的位置，進(jìn)而用基向量表示出，再根據(jù)數(shù)量積求得的模長；
（2）根據(jù)共線向量定理用向量表示點(diǎn)的位置，再根據(jù)平面向量基本定理用一組基向量表示出，分別代入題目條件的式子并化簡變形，后用基本不等式即可求得最值.
【詳解】（1）設(shè)，，當(dāng)，得是的中點(diǎn)，
又是的中點(diǎn)時(shí)，則是的重心，
，
.
（2）設(shè)，則，
，
由，得：
∴，因?yàn)榍遥?br>所以即，
∴，
令，則
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取到等號(hào)，所以的最大值是，
又，
故線段的最小值為.
22．已知，．
(1)若在其定義域上為減函數(shù)，求的取值范圍；
(2)若函數(shù)在上有且只有1個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題知在上恒成立，分離參數(shù)得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值即可得解；
（2）求導(dǎo)，再分和兩種情況討論，求出其單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合零點(diǎn)得存在性定理即可得解.
【詳解】（1）由題知在上恒成立，
∴，令，則，
由，得，∴在上單調(diào)遞增，
由，得，∴在上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，
∴；
（2）由題知，，，
∴，
由，得，
當(dāng)時(shí)，，使得，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，，
∴當(dāng)，即時(shí)，在上無零點(diǎn)，
當(dāng)，即時(shí)，在上有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，
又，，
故在上無零點(diǎn)．
綜上，的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：
（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；
（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；
（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題.
2
3
正
0
負(fù)
0
正
11
單調(diào)遞增
18
單調(diào)遞減
-14
單調(diào)遞增
-7

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