一、單選題
1．已知集合，，若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求得，結(jié)合，得到，根據(jù)集合并集的運(yùn)算，即可求解.
【詳解】由集合，
因?yàn)?，可得，所?
故選：C.
2．已知，則（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得到，從而解出．
【詳解】因?yàn)?，所以，即?br>故選：A．
3．若，，且，則等于（ ）
A．B．2或C．D．2
【答案】C
【分析】利用平方法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】，
，
因?yàn)?，所?br>又，
，
則.
故選：C
4．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，，則使成立的n的最大值為（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】先求得，由此求得，由此解不等式求得正確答案.
【詳解】依題意，，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
所以.
所以，
設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，，
所以，
所以，
由得，
所以的最大值為.
故選：D
5．函數(shù)的圖像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用時(shí)排除選項(xiàng)D，利用時(shí)排除選項(xiàng)C，利用時(shí)排除選項(xiàng)B，所以選項(xiàng)A正確.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?br>當(dāng)時(shí)，，可知選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，可知選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，可知選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)A正確.
故選：A
6．已知，是方程的兩根，且，，則的值為（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】B
【分析】由韋達(dá)定理得，即，得，再根據(jù)兩角和的正切公式解決即可.
【詳解】由題知，，是方程的兩根，
所以，即，
因?yàn)?，?br>所以，，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
故選：B
7．在等腰直角三角形ABC中，，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P，若光線QR經(jīng)過的重心，則的周長等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，,所在直線為軸，軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，通過對稱光線的對稱關(guān)系找到點(diǎn)關(guān)于，的對稱點(diǎn)，，則即為的長.
【詳解】解析：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則，，，
所以直線的方程為.
設(shè)，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，
易得，.
易知直線就是所在的直線.
所以直線的方程為.
設(shè)的重心為，則，
所以，即，所以（舍去）或，
所以，.
結(jié)合對稱關(guān)系可知，，
所以的周長即線段的長度為：
.
故選：A.
8．已知是上的單調(diào)遞增函數(shù)，，不等式恒成立，則m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令在上是增函數(shù)，不等式恒成立等價(jià)于，所以，令，轉(zhuǎn)化為.
【詳解】依題意，在上是增函數(shù)，，不等式恒成立，
即恒成立，
等價(jià)于恒成立，
，
令，則，
易得，，.
故選：D.
二、多選題
9．，是兩個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線，則下列命題中錯(cuò)誤的是（ ）
A．若，，，則
B．若，，，則
C．若，，則
D．若，，則
【答案】ABC
【分析】根據(jù)線面垂直的定義和性質(zhì)，結(jié)合面面平行的性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】對于A，若，，，則或與斜交或與平行，該命題錯(cuò)誤；
對于B，若，，，則或與異面，該命題錯(cuò)誤；
對于C，若，，則或與斜交或與平行，該命題錯(cuò)誤；
對于D，若，，由線面垂直的性質(zhì)可知，該命題正確.
故選：ABC．
10．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作x軸的垂線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若為直角三角形，則（ ）
A．
B．雙曲線的離心率
C．雙曲線的焦距為
D．的面積為
【答案】BD
【分析】畫圖分析，由雙曲線的相關(guān)性質(zhì)計(jì)算判斷即可.
【詳解】如圖所示：

若為直角三角形，由雙曲線的對稱性可知：
，且.
設(shè)，則由雙曲線的定義得：，.
所以在直角三角形中，由勾股定理得：.
解得：，所以，
所以的面積為：.故D正確；
，所以，故C不正確；
由可知，，，
所以，故A不正確；
，故B正確.
故選：BD.
11．利用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽查某工廠的100件產(chǎn)品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余為不合格品，現(xiàn)在這個(gè)工廠隨機(jī)抽查一件產(chǎn)品，設(shè)事件A為“是一等品”，B為“是合格品”，C為“是不合格品”，則下列結(jié)果正確的是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】根據(jù)事件的關(guān)系及運(yùn)算求解．
【詳解】解：由題意知A，B，C為互斥事件，故C正確；又因?yàn)閺?00件中抽取產(chǎn)品符合古典概型的條件，所以，，則，故A、B，C正確；故D錯(cuò)誤.
故選ABC.
【點(diǎn)睛】本題考查事件的關(guān)系及古典概型的概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
12．已知a>1，b>3，且ab+1=3a+b，則（ ）
A．a(chǎn)+b有最大值B．a(chǎn)+b有最小值
C．a(chǎn)b有最大值D．a(chǎn)b有最小值
【答案】BD
【分析】原式可變形為（a-1）（b-3）=2，令m=a-1>0，n=b-3>0，利用基本不等式可得，.
【詳解】由ab+1=3a+b可得（a-1）（b-3）=2，令m=a-1>0，n=b-3>0，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
由，解得，
故，當(dāng)且僅當(dāng)3a=b時(shí)取等號(hào).
故選：BD
三、填空題
13．已知的面積為，求AC邊的長為 .
【答案】
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得C點(diǎn)坐標(biāo)為，進(jìn)而求AC邊的長.
【詳解】如圖，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
因?yàn)椋瑒tB點(diǎn)坐標(biāo)是，
可得，
又因?yàn)?，則，解得，
且，則，解得，
可知C點(diǎn)坐標(biāo)為，
則，所以.
故AC邊的長為.
故答案為：.
14．等差數(shù)列中，，，則滿足不等式的正整數(shù)的最大值是 .
【答案】59
【分析】計(jì)算得到，解不等式得到答案.
【詳解】由得，即，又，解得，
故正整數(shù)的最大值為59.
故答案為：59.
【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.
15．已知首項(xiàng)都是1的兩個(gè)數(shù)列，滿足．若，則數(shù)列的前項(xiàng)和 ．
【答案】
【分析】根據(jù)已知條件判斷出數(shù)列是等差數(shù)列，求得，進(jìn)而求得，利用錯(cuò)位相減求和法求得.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
故．
由，得，
于是數(shù)列的前項(xiàng)和
，
，
兩式相減得
所以．
故答案為：
16．如圖，在矩形中，，，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起得到，當(dāng)二面角的平面角為，點(diǎn)在平面上的投影為，當(dāng)從運(yùn)動(dòng)到，則點(diǎn)所形成軌跡的長度為 .
【答案】
【解析】根據(jù)折疊關(guān)系找出與有關(guān)的幾何關(guān)系，得出點(diǎn)的軌跡為圓的一部分，再考慮在運(yùn)動(dòng)過程中掃過的弧長即可求解.
【詳解】
在折疊后的圖中，作垂足為，連接，根據(jù)三垂線定理，，
所以就是二面角的平面角為，，
根據(jù)折疊關(guān)系，與全等，對應(yīng)邊上的高位置相同，即在線段上，
且是線段的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，則，
所以點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓的一部分，當(dāng)從運(yùn)動(dòng)到，點(diǎn)在圓周上從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到
，這段弧所對圓心角為，這段弧長為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】此題考查折疊問題與二面角和投影的軌跡問題，關(guān)鍵在于通過幾何關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡.
四、解答題
17．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.
(1)求的值；
(2)若，求面積的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知，由正弦定理結(jié)合兩角和與差的正弦公式，得到，再利用正弦定理求解；
（2）結(jié)合（1）利用余弦定理得到再由求解.
【詳解】（1）解：由及正弦定理，
得，
，
從而，
得.
（2）由余弦定理知，
則，
，
當(dāng)，，時(shí)取等號(hào)，
故面積的最大值為.
18．設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知與的等差中項(xiàng)是1，且，求通項(xiàng).
【答案】或
【分析】設(shè)，得到求解.
【詳解】解：設(shè)，則，
由題意得
解得或
故或.
19．如圖1，在平面圖形中，，，，，沿將折起，使點(diǎn)到的位置，且，，如圖2.

(1)求證：平面平面.
(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為?若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)線段FG上存在點(diǎn)M，
【分析】（1）根據(jù)題意，分別證得和，利用線面垂直的判定定理，證得平面，進(jìn)而證得平面平面；
（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)線段上存在點(diǎn)滿足題意，令,求得平面和平面的一個(gè)法向量和，結(jié)合向量的夾角公式，列出方程，即可求解.
【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，且，所以四邊形為等腰梯形?br>又因?yàn)?，所以?br>所以，所以，即，
因?yàn)?，，平面AEG，所以平面，
又因?yàn)槠矫?，所以平面平?
（2）解：由，，且，平面，
所以平面，
因?yàn)?，可得，所以平面?br>又由（1）知，，所以兩兩互相垂直，
以為原點(diǎn)，所在的直線分別為 軸、軸和軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

因?yàn)椋倪呅问蔷匦?，所以?br>則，，.
假設(shè)線段上存在點(diǎn)滿足題意，
令,則，可得，.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
取，可得，所以，
由平面，則平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面與平面所成角為，
則，其中，
所以，解得，即，
所以線段上存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為，且.
20．已知，分別為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直于x軸的直線，與雙曲線C交于點(diǎn)M，N，且三角形為等邊三角形，雙曲線C與x軸兩交點(diǎn)間距離為2．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)設(shè)過的直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，是否存在一個(gè)定點(diǎn)P使為定值？如果存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由雙曲線C與x軸的交點(diǎn)間距離可得的值，再由過焦點(diǎn)且垂直于軸的焦點(diǎn)弦時(shí)雙曲線的通徑，長為，及等邊三角形可得，再由之間的關(guān)系求出的值，進(jìn)而求出雙曲線的方程；
（2）設(shè)直線的方程，與雙曲線的方程聯(lián)立求出兩根之和即兩根之積，設(shè)的坐標(biāo)，由為定值可得對應(yīng)系數(shù)成比例，可得的坐標(biāo)，并求出定值.
【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線與x軸兩交點(diǎn)間距離為2，
所以，，則．
設(shè)點(diǎn)在x軸的上方，則．
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以．
因?yàn)?，所以，所以?br>因?yàn)闉榈冗吶切?，所以為直角三角形?br>在中，，所以．
由雙曲線的定義可知，
故雙曲線的方程為．
（2）存在．理由如下：
當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，
根據(jù)雙曲線的對稱性可得如果存在這樣的點(diǎn)，則點(diǎn)在x軸上，設(shè)點(diǎn)，，，
則，．
將代入得直線的方程為，
聯(lián)立，消去x得．
當(dāng)時(shí)，，
則，，
所以
，
若為定值和參數(shù)m無關(guān)，即，
解得，故定點(diǎn)坐標(biāo)為．
當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，則,
當(dāng)時(shí)，也適合.
綜上，存在一個(gè)定點(diǎn)使為定值．
【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的通徑，直線與雙曲線的位置關(guān)系，判斷是否過定點(diǎn)，考察運(yùn)算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算，邏輯推理的核心素養(yǎng).
21．隨著人們生活水平的提高，健康越來越成為當(dāng)下人們關(guān)心的話題，因此，健身也成了廣大市民的一項(xiàng)必修課.某健身機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了2022年1～5月份某初級私人健身教練課程的月報(bào)名人數(shù)（單位：人）與該初級私人健身教練價(jià)格（單位：元/小時(shí)）的情況，如下表所示.
(1)求（，2，3，4，5）的相關(guān)系數(shù)r，并判斷月報(bào)名人數(shù)y與價(jià)格x是否有很強(qiáng)的線性相關(guān)性?（當(dāng)時(shí)，可以認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性；否則，沒有很強(qiáng)的線性相關(guān)性）（精確到0.001）
(2)請建立關(guān)于的線性回歸方程；（精確到0.001）
(3)當(dāng)價(jià)格為每小時(shí)230元時(shí)，估計(jì)該課程的月報(bào)名人數(shù)為多少人?（結(jié)果保留整數(shù)）
參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（，2，3，…，n），相關(guān)系數(shù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.
參考數(shù)據(jù)：.，，.
【答案】(1)-0.929，與有很強(qiáng)的線性相關(guān)性
(2)
(3)4人.
【分析】（1）利用公式求得相關(guān)系數(shù)判斷；
（2）利用公式分別求得，，寫出回歸方程；
（3）將代入回歸方程求解.
【詳解】（1）解：由已知數(shù)據(jù)可得：
，
，
相關(guān)系數(shù)
因?yàn)椋耘c有很強(qiáng)的線性相關(guān)性.
（2）因?yàn)椋?br>，
所以關(guān)于的線性回歸方程為.
（3）當(dāng)時(shí)，，
故當(dāng)價(jià)格為每小時(shí)230元時(shí)，估計(jì)該課程的月報(bào)名人數(shù)為4人.
22．已知函數(shù)．
(1)若，求函數(shù)的極值；
(2)當(dāng)時(shí)，若對，恒成立，求的最小值．
【答案】(1)極小值為，極大值為
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)，再根據(jù)極值的定義即可得出答案；
（2）令，求導(dǎo)得，由函數(shù)單調(diào)遞增及，，可知存在，使得，即，從而可求出函數(shù)的最小值，，恒成立，則，從而可將表示出來，
【詳解】（1）若，可得，
有，
令，可得，令，則或，
故函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為，
函數(shù)的極小值為，極大值為；
（2）令，
有，
由函數(shù)單調(diào)遞增及，，
可知存在，使得，即，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，
可得
，
由，恒成立，
有，可得，
有，
可得，
令，
有
，
令，則，令，則，
所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，
所以，
故的最小值為．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
月份
1
2
3
4
5
初級私人健身教練價(jià)格（元/小時(shí)）
210
200
190
170
150
初級私人健身教練課程的月報(bào)名人數(shù)（人）
5
8
7
9
11

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