2022-2023學(xué)年江蘇省淮安市楚州中學(xué)、新馬中學(xué)高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)均不變可得答案.【詳解】點(diǎn)關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)是.故選：A.2．的展開(kāi)式的第3項(xiàng)的系數(shù)為（    ）A．－40 B．40 C．－80 D．80【答案】B【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)即可求解.【詳解】由二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)得：，所以第3項(xiàng)的系數(shù)為40.故選：B．3．如圖，已知空間四邊形ABCD的對(duì)角線為AC，BD，設(shè)G是CD的中點(diǎn)，則等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可.【詳解】G是CD的中點(diǎn),所以故選：A.4．截至目前，聯(lián)合國(guó)共設(shè)個(gè)常任理事國(guó)，個(gè)非常任理事國(guó)，現(xiàn)從這個(gè)國(guó)家中選取個(gè)國(guó)家，且至少包含一個(gè)常任理事國(guó)，則共有的選法種數(shù)為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用組合應(yīng)用問(wèn)題，結(jié)合排除法列式計(jì)算作答.【詳解】從個(gè)國(guó)家中選取個(gè)國(guó)家有種選法，沒(méi)有常任理事國(guó)的選法有種，所以所求不同選法種數(shù)是.故選：A5．設(shè)，若，則（    ）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式分別求出的表達(dá)式，解方程即可求得結(jié)果.【詳解】由題可知，，所以；同理可得；由可得，即，所以，即，解得.故選：D6．已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外一點(diǎn)，下列條件中能確定點(diǎn)M與點(diǎn)A，B，C一定共面的是A． B．C． D．【答案】D【分析】首先利用坐標(biāo)法，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，然后對(duì)符合的選項(xiàng)驗(yàn)證存在使得，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】不妨設(shè).對(duì)于A選項(xiàng)，，由于的豎坐標(biāo)，故不在平面上，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，，由于的豎坐標(biāo)，故不在平面上，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，，由于的豎坐標(biāo)，故不在平面上，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，，由于的豎坐標(biāo)為，故在平面上，也即四點(diǎn)共面.下面證明結(jié)論一定成立：由，得，即，故存在，使得成立，也即四點(diǎn)共面.故選：D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間四點(diǎn)共面的證明方法，考查空間向量的線性運(yùn)算，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.7．2022年男足世界杯于2022年11月21日至2022年12月17日在卡塔爾舉行.現(xiàn)要安排甲?乙等6名志愿者去四個(gè)足球場(chǎng)服務(wù)，要求每個(gè)足球場(chǎng)都有人去，每人都只能去一個(gè)足球場(chǎng)，則甲?乙兩人被分在同一個(gè)足球場(chǎng)的安排方法種數(shù)為（    ）A．120 B．240 C．360 D．480【答案】B【分析】先確定6人分為4組的分組方法，再將四個(gè)組全排列，分到四個(gè)足球場(chǎng)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，即可求得答案.【詳解】由題意可知這6人去四個(gè)足球場(chǎng)服務(wù)，情況為：有3人一組包含甲?乙，其余人各一組，分到四個(gè)足球場(chǎng)，或者是甲、乙兩人一組，另有2人一組，其余兩人各一組，分到四個(gè)足球場(chǎng)，故將6人按分成四組，且甲?乙在同一組的分組方法有種，將6人按分成四組，且甲?乙在同一組的分組方法有種，則甲?乙兩人被分在同一個(gè)足球場(chǎng)的安排方法種數(shù)為，故選：B8．如圖，4個(gè)圓相交共有8個(gè)交點(diǎn)，現(xiàn)在4種不同的顏色供選用，給8個(gè)交點(diǎn)染色，要求在同一圓上的4個(gè)交點(diǎn)的顏色互不相同，則不同的染色方案共有（    ）種A．0 B．24 C．48 D．96【答案】D【分析】分析出各部分可以涂色的情況即可得出不同的染色方案的種數(shù).【詳解】由題意，其中一部分有四種方法，與其緊鄰的有3種方法，再相鄰的有2種，兩圓的公共部分有2種，剩余兩部分有2種，涂色示意圖如下：∴共有.故選：D. 二、多選題9．已知，，則（    ）A． B．C． D．∥【答案】AD【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)模長(zhǎng)公式、線性運(yùn)算、數(shù)量積的坐標(biāo)表示、共線向量定理逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)A，因?yàn)?/span>，所以，故A正確；對(duì)B，，故B不正確；對(duì)C，，所以不垂直，故C不正確；對(duì)D，，所以∥，故D正確.故選：AD.10．為弘揚(yáng)我國(guó)古代的“六藝文化”，某夏令營(yíng)主辦單位計(jì)劃利用暑期開(kāi)設(shè)“禮”、“樂(lè)”、“射”、“御”、“書(shū)”、“數(shù)”六門(mén)體驗(yàn)課程，每周一門(mén)，連續(xù)開(kāi)設(shè)六周，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．某學(xué)生從中選2門(mén)課程學(xué)習(xí)，共有15種選法B．課程“樂(lè)”“射”排在不相鄰的兩周，共有240種排法C．課程“御”“書(shū)”“數(shù)”排在相鄰的三周，共有144種排法D．課程“禮”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480種排法【答案】ACD【分析】根據(jù)給定條件利用組合知識(shí)可以判斷A正確；不相鄰問(wèn)題利用插空法可以判斷B錯(cuò)誤；相鄰問(wèn)題利用捆綁法可以判斷C正確；利用特殊位置法可以判斷D正確.【詳解】對(duì)于A，從六門(mén)課程中選兩門(mén)的不同選法有種，A正確；對(duì)于B，先排“禮”、“御”、“書(shū)”、“數(shù)”，再用插空法排“樂(lè)”“射”，不同排法共有種，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，“御”“書(shū)”“數(shù)”排在相鄰的三周，可將“御”“書(shū)”“數(shù)”視為一個(gè)元素，不同排法共有種，C正確；對(duì)于D，從中間四周中任取一周排“禮”，再排其它五門(mén)體驗(yàn)課程共有種，D正確.故選：ACD.11．下列有關(guān)排列數(shù)、組合數(shù)的等式中，正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】對(duì)于AC,根據(jù)組合數(shù)的公式即可;對(duì)于B，根據(jù)排列數(shù)的公式即可;對(duì)于D，根據(jù)二項(xiàng)式定理即可.【詳解】對(duì)于A, ,故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，組合數(shù)的性質(zhì)，，故C正確；對(duì)于D，由二項(xiàng)式定理知，=，故D錯(cuò)誤；故選：BC.12．布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚在正六邊形上畫(huà)了具有視覺(jué)效果的正方體圖案，如圖1，把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚拼成圖2的組合，這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的空間幾何體.若圖3中每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．點(diǎn)到直線的距離是B．C．平面與平面的夾角余弦值為D．異面直線與所成角的正切值為【答案】BCD【分析】通過(guò)空間向量的基底運(yùn)算可得B的正誤，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得A、C、D的正誤.【詳解】依題意，所以選項(xiàng)B正確；如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，對(duì)于A：，，設(shè)，則點(diǎn)到直線CQ的距離，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B： ,；設(shè)平面的法向量的一個(gè)法向量為，則，令可得為，設(shè)平面的法向量為，則，則所以，即平面與平面的夾角余弦值為，所以C正確；對(duì)于D，因?yàn)?/span>，，所以，所以，所以異面直線與所成角的正切值為，所以D正確．故選：BCD. 三、填空題13．已知點(diǎn)B是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則的值是      ．【答案】【分析】先求得點(diǎn)在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的射影B，再利用兩點(diǎn)間的距離求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的射影是，所以.故答案為：.14．的展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)的和是，則          .【答案】【分析】采用賦值法，令，根據(jù)展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)的和即可求得答案.【詳解】由題意令，則的展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)的和是，故答案為：15．2023年春節(jié)期間，電影院上映《滿江紅》《流浪地球2》《熊出沒(méi)·伴我“熊芯”》等多部電影，這些電影涵蓋了懸疑、科幻、動(dòng)畫(huà)等多類型題材，為不同年齡段、不同圈層的觀眾提供了較為豐富的觀影選擇.某居委會(huì)有6張不同的電影票，獎(jiǎng)勵(lì)給甲、乙、丙三戶“五好文明家庭”，其中一戶1張，一戶2張，一戶3張，則共有      種不同的分法.【答案】360【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列組合即可求解.【詳解】從6張電影票中任選1張，有種選法；從余下的5張中任選2張，有種選法；最后余下3張全選，有種選法.由于甲、乙、丙是不同的三戶“五好文明家庭”，因此共有種不同的分法.故答案為:36016．已知，，則的最小值為      .【答案】9【分析】根據(jù)柯西不等式求解最小值即可.【詳解】∵∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，可取故答案為：9 四、解答題17．(1)化簡(jiǎn)求值：；(2)解方程：；【答案】(1)329；(2).【分析】(1)根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)，在算式前面加上一項(xiàng)即可逐步計(jì)算；(2)由排列數(shù)和組合數(shù)的公式展開(kāi)即可計(jì)算.【詳解】(1)；(2)由組合數(shù)和排列數(shù)可知，原方程可化為，則，即為，即，解得或(舍).方程的根為.18．從0，1，2，…，6這七個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)不同的數(shù)字，分別作為函數(shù)的系數(shù)a，b，c，求：(1)可組成多少個(gè)不同的二次函數(shù)？(2)其中對(duì)稱軸是y軸的拋物線有多少條？【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的定義及特殊元素特殊位置優(yōu)先考慮，再結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理即可求解；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出，再利用特殊元素特殊位置優(yōu)先考慮即可求解；【詳解】（1）由二次函數(shù)的定義，，則有種取法；在剩下的6個(gè)數(shù)字中取兩個(gè)作為和，有種．所以共有二次函數(shù)（個(gè)）；（2）由二次函數(shù)的對(duì)稱軸是y軸，則，在余下的6個(gè)數(shù)字中取兩個(gè)作為和，有條.所以對(duì)稱軸是y軸的拋物線有條.19．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，分別是的中點(diǎn)，請(qǐng)運(yùn)用空間向量方法（建系如圖）.求解下列問(wèn)題:(1)求異面直線與所成角的大小;(2)求到平面的距離.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意得到各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到與，再利用空間向量夾角的余弦表示即可得解；（2）先求得與平面的一個(gè)法向量，再利用點(diǎn)到平面距離的向量解法即可得解.【詳解】（1）根據(jù)題意，得，，，，，，，，.則，，設(shè)異面直線與所成的角為，則，所以，則，所以異面直線與所成的角為.（2）由（1）得，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即，取，則，故，所以點(diǎn)E到平面的距離為.20．在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)和與各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和之比為32:1.求：(1)的值；(2)展開(kāi)式中的系數(shù).【答案】(1)(2) 【分析】（1）先求出各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和，根據(jù)可求出結(jié)果；（2）根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可求出結(jié)果；【詳解】（1）各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為，令，則各項(xiàng)系數(shù)和為，所以可得，得，得，得.（2）由（1）知，，所以的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得，所以展開(kāi)式中的系數(shù)為.21．已知三棱錐中，△是邊長(zhǎng)為3的正三角形，與平面所成角的余弦值為．(1)求證：；(2)求二面角的平面角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，證明平面，即可得證；（2）取正三角形的中心，連接，從而可得平面，則即為與平面所成角的平面角，進(jìn)而可得，取中點(diǎn)為，連接，則，故即為二面角的平面角，解即可得解.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>△是邊長(zhǎng)為3的正三角形，所以，又平面，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以；（2）取正三角形的中心，連接，則點(diǎn)在上，且，由，△是正三角形，得三棱錐為正三棱錐，則平面，故即為與平面所成角的平面角，又與平面所成角的余弦值為，所以，即，即三棱錐是正四面體，取中點(diǎn)為，連接，則，故即為二面角的平面角，在中，，則，所以，所以二面角的平面角的正弦值．22．如圖，四棱錐中，底面為矩形，.二面角的大小是，平面與平面的交線上存在一點(diǎn)滿足二面角大小也是.(1)求四面體的體積；(2)若為直線上的動(dòng)點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定和性質(zhì)定理得到點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，則，然后代入體積計(jì)算公式即可求解；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用向量的夾角公式求出，換元利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可.【詳解】（1）如圖，因?yàn)?/span>，平面，平面，所以平面，因?yàn)檫^(guò)的平面平面，所以，平面，平面，所以平面，又因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，則，所以.（2）過(guò)作，，，又面DEC，面，又面，面面，，面，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，，令，解得，得，又，，令，則，當(dāng)，即時(shí)， 

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