一、單選題
1．已知集合，，則A∩B＝（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分別求解兩個(gè)集合，再求交集.
【詳解】，得，即，
，得，即，
所以.
故選：C
2．已知為虛數(shù)單位，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則計(jì)算可得.
【詳解】.
故選：D
3．已知非零向量，，滿足，，若為在上的投影向量，則向量，夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量的投影向量的計(jì)算公式，結(jié)合其夾角公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】由，為在上的投影向量，
所以，故
故選：B
4．各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列，若，則（ ）
A．或15B．或C．15D．
【答案】C
【分析】根據(jù)條件先求解出的值，然后根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求解出結(jié)果.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意可知，
因?yàn)槌傻炔顢?shù)列且，
所以，
所以，解得或（舍），
所以，
故選：C.
5．已知圓上兩動(dòng)點(diǎn)A，B滿足為正三角形，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由條件可得，由此確定點(diǎn)的軌跡方程，再求的最大值可得結(jié)論.
【詳解】由題可知是邊長(zhǎng)為1的正三角形，
設(shè)的中點(diǎn)為，則，
又，所以點(diǎn)的軌跡方程為，且．
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)等號(hào)成立，
所以的最大值為，
所以的最大值為．
故選：D．
6．已知，則的最小值為（ ）
A．4B．6C．D．
【答案】D
【分析】由已知可得且、，再由，應(yīng)用基本不等式求其最小值，注意取值條件.
【詳解】由，，即，易知，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，
所以的最小值為.
故選：D
7．若函數(shù)，的值域?yàn)?，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用可得，再由三角函數(shù)圖像性質(zhì)可得，解不等式即可求得的取值范圍.
【詳解】根據(jù)題意可知若，則可得；
顯然當(dāng)時(shí)，可得，
由的值域?yàn)?，利用三角函?shù)圖像性質(zhì)可得，
解得，即的取值范圍是.
故選：D
8．如圖，水利灌溉工具筒車的轉(zhuǎn)輪中心到水面的距離為，筒車的半徑是，盛水筒的初始位置為與水平正方向的夾角為．若筒車以角速度沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，為筒車轉(zhuǎn)動(dòng)后盛水筒第一次到達(dá)入水點(diǎn)所需的時(shí)間（單位：），則（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意求出盛水桶到水面的距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，令即可求解.
【詳解】設(shè)盛水桶在轉(zhuǎn)動(dòng)中到水面的距離為，時(shí)間為，
由題意可得，盛水桶到水面的距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系如下：
，
令，即，解得，
又，可得，，
，故C正確；
，，
，故D錯(cuò)誤；
又，解得，故B錯(cuò)誤；
，解得，故A錯(cuò)誤.
故選：C.
二、多選題
9．已知函數(shù)，則（ ）
A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
B．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為1
C．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為
D．若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩解，則
【答案】AC
【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷AB選項(xiàng)；結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷C選項(xiàng)；畫出函數(shù)大致圖象，結(jié)合圖象即可判斷D選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，
令，即；令，即，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A正確；
因?yàn)椋?br>所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，?br>所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，
即，故C正確；
因?yàn)椋瘮?shù)大致圖象如圖，

要使方程在區(qū)間上有兩解，
則，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
10．已知直線l：（），則（ ）
A．直線l過定點(diǎn)B．直線l與圓相切時(shí)，m的值是
C．原點(diǎn)到直線l的最大距離為2D．直線l與圓相交
【答案】AB
【分析】對(duì)A整理直線方程即可求出定點(diǎn)；對(duì)B，根據(jù)幾何法點(diǎn)到直線的距離等于半徑即可得到方程，解出即可；對(duì)C，的長(zhǎng)度即為最大值；對(duì)D判斷定點(diǎn)在圓上即可.
【詳解】對(duì)A，由得，令，則，
所以過定點(diǎn)，A對(duì).
對(duì)B，直線l與圓相切時(shí)，，∴，B對(duì).
對(duì)C，，∴原點(diǎn)到l的最大距離為，C錯(cuò).
對(duì)D，圓，化簡(jiǎn)，圓心，，
因?yàn)椋栽趫A上，直線l與圓可能相切，D錯(cuò)，
故選：AB.
11．（多選）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A．
B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C．函數(shù)在上單調(diào)遞減
D．將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱
【答案】AC
【分析】由函數(shù)的部分圖象求出函數(shù)解析式，再判斷選項(xiàng)中的命題是否正確．
【詳解】由函數(shù)的部分圖象知，，
，所以，
又因?yàn)椋?br>所以；
解得
又因?yàn)?，所以?br>所以；
所以，選項(xiàng)A正確；
時(shí)， ，
所以的圖象不關(guān)于對(duì)稱，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，選項(xiàng)C正確；
函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位，得，所得圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：AC．
12．在正四棱柱中，，，.H，，E分別為，，的中點(diǎn)，點(diǎn)M在直線上，，.下列說法正確的有（ ）
A．當(dāng)時(shí)，與所成角的余弦值為
B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M到平面的距離為
C．當(dāng)時(shí)，平面
D．若平面與平面所成銳二面角的余弦值為，則
【答案】BC
【分析】如圖以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量逐個(gè)分析判斷即可.
【詳解】以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.
對(duì)于A.，，，
，A錯(cuò).
對(duì)于B，，E到面的距離為B到面的距離，
，，所以.
設(shè)M到平面的距離h，則，所以，B對(duì).
對(duì)于C，，，，，，
，，所以面，C對(duì).
對(duì)于D，，，，則，
設(shè)平面的法向量，
則，不妨設(shè)，則，，所以，
設(shè)平面的法向量，，
則，不妨設(shè)，則，，所以，
所以，化簡(jiǎn)整理得，解得或2，D錯(cuò)，
故選：BC.
三、填空題
13．將函數(shù)圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：將函數(shù)圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，縱坐標(biāo)不變，
得到，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，
則，
故答案為：．
14．與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面都相切的球，稱為圓臺(tái)的內(nèi)切球，若圓臺(tái)的上下底面半徑為，，且，則它的內(nèi)切球的體積為 .
【答案】
【分析】利用已知條件求得圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)勾股定理求得圓臺(tái)的高，即內(nèi)切球的直徑，最終利用球體體積公式求解即可.
【詳解】由題意，畫出圓臺(tái)的直觀圖，其中為圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，，分別為上、下底面的圓心，點(diǎn)為內(nèi)切球的球心，點(diǎn)為球與圓臺(tái)側(cè)面相切的一個(gè)切點(diǎn).
則由題意可得：，
.
因此可得：內(nèi)切球半徑，即得內(nèi)切球的體積為.
故答案為：
15．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，是等比數(shù)列，滿足，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)已知條件，先求得，進(jìn)而求得，從而求得.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
為等比數(shù)列，為等差數(shù)列，，則的等比數(shù)列，
，∴，則，∴，，
，∴，.
故答案為：
16．有一直角轉(zhuǎn)彎的走廊（兩側(cè)與頂部都封閉），已知兩側(cè)走廊的高度都是米，左側(cè)走廊的高度為米，右側(cè)走廊的寬度為米，現(xiàn)有不能彎折的硬管需要通過走廊，設(shè)可通過的最大極限長(zhǎng)度為米（不計(jì)硬管粗細(xì)）.為了方便搬運(yùn)，規(guī)定允許通過此走廊的硬管的最大實(shí)際長(zhǎng)度為米，則的值是 .
【答案】9
【分析】先研究硬管水平放置時(shí)，令，建立，，利用導(dǎo)數(shù)求出；再研究鐵管在豎直方向可傾斜后能通過的最大長(zhǎng)度.
【詳解】如圖，鐵管水平放置時(shí)，令，
，，，
設(shè)，，
.
令，，解得：，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.
所以，
此時(shí)通過最大長(zhǎng)度，∴，
∴則硬管可通過的最大極限長(zhǎng)度，
∴.
故答案為：.
四、解答題
17．在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，且．
(1)求的值；
(2)若的面積，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）結(jié)合余弦定理，化簡(jiǎn)整理得到的值.
（2）先利用三角形面積公式得的值，再結(jié)合題意利用余弦定理得，進(jìn)而列方程組得到的值.
【詳解】（1）由題意，將 代入，
，即，所以．
故.
（2）由于，
又為銳角，即.
，.
所以，結(jié)合解得.
故.
18．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為，若，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義和求和公式求，進(jìn)而可得結(jié)果；
（2）由（1）可得：，利用分組求和結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式運(yùn)算求解.
【詳解】（1）設(shè)的公比為，
因?yàn)?，即?br>且，可得，解得或（舍去）．
又因?yàn)?，解得?br>所以.
（2）由（1）可得：，
所以
，
所以.
19．已知．
(1)當(dāng)時(shí)，求的最小正周期以及單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)當(dāng)時(shí)，求的值域．
【答案】(1)最小正周期為，單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)
【分析】（1）應(yīng)用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，應(yīng)用公式求得，應(yīng)用整體代入法即可求單調(diào)區(qū)間；
（2）應(yīng)用換元法，設(shè)，則函數(shù)轉(zhuǎn)化為，，即可求解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，
令，，得，，
所以函數(shù)的最小正周期為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）當(dāng)，，
設(shè)，則，
令，，又，
故當(dāng)時(shí)，取得最大值，當(dāng)時(shí)，取得最小值，
所以的值域?yàn)椋?br>20．設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若不等式對(duì)任意正整數(shù)均成立，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1） 應(yīng)用得出等差數(shù)列再求數(shù)列通項(xiàng)公式即可;
（2）應(yīng)用裂項(xiàng)相消求和結(jié)合不等式恒成立求解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以；
當(dāng)時(shí)，且，兩式相減并整理可得．
因?yàn)闉檎?xiàng)數(shù)列，所以，所以．
（2）有（1）可知，
，
，
故，可化為，
因?yàn)楹愠闪ⅲ裕?br>21．如圖，已知四邊形為平行四邊形，為的中點(diǎn)，，．將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置．

(1)若平面平面，求證：；
(2)若點(diǎn)A到直線的距離為，求二面角的平面角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)或
【分析】（1）根據(jù)題意利用面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，進(jìn)而可得結(jié)果；
（2）分析可知即為二面角的平面角，記為，建系，可得，結(jié)合點(diǎn)到線的距離公式運(yùn)算求解.
【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，且為等邊三角形，所以?br>又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，所以為等腰三角形，
可得，，即，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?br>則平面，且平面，所以．
（2）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以?br>取的中點(diǎn)，則，由（1）得，所以，
所以即為二面角的平面角，記為．
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

則，，
因?yàn)?，則，
可得；，
則點(diǎn)A到直線的距離為，
由題意可得，解得，或，
所以二面角的平面角的余弦值為或．
22．已知 ，函數(shù)，.
(1)當(dāng)與都存在極小值，且極小值之和為時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若，求證：.
【答案】(1)1
(2)證明見解析
【分析】（1）分別對(duì)，求導(dǎo)，討論和，得出和的單調(diào)性，即可求出，的極小值，即可得出答案.
（2）令，由可得，要證 ，不妨設(shè)，所以只要證，令，，對(duì)求導(dǎo)，得出的單調(diào)性，即可證明.
【詳解】（1），定義域均為，
，
當(dāng)時(shí)，則，在單調(diào)遞增，無極值，與題不符；
當(dāng)時(shí)，令，解得：，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
在取極小值，且；
又，
當(dāng)時(shí)：，在單調(diào)遞減，無極值，與題不符；
當(dāng)時(shí)：令，解得：，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
在取極小值，且；
由題：，解得：.
（2）令，因?yàn)椋裕?br>由可得：，
（1）-（2）得：，所以，
要證： ，只要證： ，只要證：
不妨設(shè)，所以只要證：，
即證：，令，只要證：，
令， ，
所以在上單調(diào)遞增，
， 即有成立，所以成立.

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