一、單選題
1．已知復數滿足，則復數的虛部為（ ）
A．iB．1C．D．
【答案】D
【分析】利用共軛復數的概念和復數的運算解求解.
【詳解】設復數，，
又，可得，解得，
所以復數的虛部為.
故選：D.
2．已知集合，若，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先求解集合B，再根據集合的運算分析區(qū)間端點的關系求解即可
【詳解】由題意可得.因為，所以解得
故選：C
3．已知向量，，設，的夾角為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求得，然后利用誘導公式求得正確答案.
【詳解】依題意，，
所以.
故選：A
4．在平行四邊形中，點、分別在線段和上，滿足，，若，則實數（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】由平面的向量的線性運算求解即可.
【詳解】因為，，
則，所以，
同理，
所以，
，
又因為，
所以，解得：.
故選：B.
5．大美黃岡，此心安處．在這里，東坡文化獨領風騷；在這里，紅色文化光耀中華；在這里，戲曲文化絢麗多姿；在這里，禪宗文化久負盛名．現有甲乙兩位游客慕名來到黃岡旅游，都準備從H，G，L，Y四個著名旅游景點中隨機選擇一個游玩，設事件A為“甲和乙至少一人選擇景點G”，事件為B“甲和乙選擇的景點不同”，則條件概率（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出事件A發(fā)生的概率和事件A和事件B共同發(fā)生的概率，利用條件概率公式即可求出.
【詳解】由題兩位游客從4個著名旅游景點中各隨機選擇一個游玩，共有種，
其中事件A的情況有種，事件A和事件B共同發(fā)生的情況有種，
所以，，所以.
故選：A.
6．數列滿足，，，，設，則數列的前10項和為（ ）
A．1B．0C．5D．
【答案】B
【分析】由數列的性質求出通項，得數列的通項，可求前10項和.
【詳解】數列滿足，，，，
數列中，奇數項構成首項為1公比為-1的等比數列，偶數項構成首項為-1公比為-1的等比數列，
則，，可得，，
由，則為奇數時，；為偶數時，，
所以數列的前10項和為0.
故選：B
7．若為一組從小到大排列的數，，，，，的第六十百分位數，則二項式的展開式的常數項是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據百分位數的定義可得，再寫出二項式的通項，可得常數項.
【詳解】由，可知，
所以二項式為，
其展開式的通項為，
令，即，
所以常數項為，
故選：B.
8．已知函數，則下列命題正確的是（ ）
A．，使得
B．方程有兩個不同實根，則實數的取值范圍是
C．，使得
D．若，則實數的取值范圍是
【答案】D
【分析】由函數的奇偶性可判斷A；方程有兩個不同實根，即與的圖象有兩個交點，求出的值域可判斷B；由題意證得對可判斷C；分類討論，，，與的大小可判斷D.
【詳解】對，都有
所以，為奇函數，A錯；
當時，，
易知在上單調遞增，此時，
當時，，
在上單調遞減，此時
時，，
時，，
而，所以，方程僅有一根，B錯；
時，，
此時
=
而函數在上單調遞增，得時，
所以對，C錯；
綜上，時，，此時
時，，此時
時，，此時，D對.
故選：D.
【點睛】方法點睛：已知函數有零點(方程有根)求參數值(取值范圍)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；
（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；
（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解
二、多選題
9．已知實數、滿足，則下列不等式正確的是（ ）
A．B．
C．D．若，則
【答案】ABC
【分析】利用不等式的性質，判斷在已知條件下結論是否正確.
【詳解】因，所以，A選項正確；
因，函數在R上單調遞增，時，B選項正確；
由，，所以，C選項正確；
由于，，則，，，
，由，等號不成立，
則，所以，D選項錯誤.
故選：ABC
10．下列命題中是真命題的有（ ）
A．若，，則
B．若，，則函數的圖象必定不經過第一象限
C．在中，“”是“”的充要條件
D．對于任意實數，用表示不大于的最大整數，例如：，，，則“”是“”的充分不必要條件
【答案】ABD
【分析】根據指對互化與對數運算判斷A；根據指數函數圖像與函數圖像變換判斷B；根據三角函數誘導公式判斷C；根據新定義對兩個條件正反推斷來判斷選項D.
【詳解】對于選項A：
由，，得，，
則，
故選項A正確；
對于選項B：
，，
函數的圖像是單調遞減的指數函數向下平移大于1個單位，
草圖如下：
函數的圖象不經過第一象限，
故選項B正確；
對于選項C：
在中，若，則,則，
反之，若，則或，
則或,則不一定成立，
故“”是“”的充分不必要條件，
故選項C錯誤；
對于選項D：
根據題意，若，則必有，故，
反之，若，取，，則，故不成立，
故“”是“”的充分不必要條件，
故選項D正確；
故選：ABD.
11．函數，設為的導函數，的圖象與直線相交，其中有三個相鄰的交點、、滿足，則下列結論中正確的有（ ）
A．對，都有
B．將函數圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上各點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，即得函數的圖象
C．為偶函數，則正實數的最小值為
D．在上單調遞增
【答案】AD
【分析】根據已知結合的圖象得出，代入解得，即可根據三角函數值域判斷A；根據函數圖象變換判斷B；根據三角函數偶函數的判定求解后判斷C；根據三角函數的單調區(qū)間求法判斷D.
【詳解】由，得，
令，則取得最大值時的，
的圖象與直線相交，其中有三個相鄰的交點、、滿足，
結合的大致圖象可以得到，，
，
，
，即，
對于選項A：，，
，故A正確；
對于選項B：，，
的圖象向右平移個單位長度，得到，
再將所得圖象上各點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到，與不符，故B錯誤；
對于選項C：若為偶函數，
則，即，
則正實數的最小值為，故C錯誤；
對于選項D：令，解得，
即的單調遞增區(qū)間為，
令，得，
，
在上單調遞增，故D正確；
故選：AD.
12．已知定義在的函數滿足：①對恒有；②對任意的正數，恒有．則下列結論中正確的有（ ）
A．
B．過點的切線方程
C．對，不等式恒成立
D．若為函數的極值點，則
【答案】ACD
【分析】由條件①結合導數的運算法則可設，再由條件②，求得，選項A，B易判斷；對C，構造函數，利用導數證明即可；對D，利用導數判斷極值點的范圍，即可得證.
【詳解】恒有，
，
可設（其中C為常數），
又對任意的正數恒有，
對任意的正數恒有，
，
，
，即，
對于A，由上式可得，故A正確；
對于B，，設切點為，則切線斜率為，
，化簡得，解，
所以點 就是切點，所以切線方程為，故B錯誤；
對于C，令，，則，
令，可得，，可得，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，
，所以，對恒成立，故C正確；
對于D，設，，
在上單調遞增，且，，
所以使在上單調遞減，在上單調遞增，
為函數的極小值點且滿足，，
，故D正確.
故選：ACD.
【點睛】思路點睛：本題屬于導數的應用問題，難度較大.首先分析條件①，由導數的運算法則得，可設，再由條件②，代入運算求得，再根據導數知識可依次判斷各個選項得解.
三、填空題
13．公比為2的等比數列的前項和為，若，則 ．
【答案】
【分析】由等比數列性質得，求值即可.
【詳解】公比為2的等比數列，，
則.
故答案為：
14．函數在區(qū)間上有兩個零點，則實數的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】利用三角函數的零點個數，轉化為方程的根的個數，求解參數范圍.
【詳解】由在上有兩個零點，
則在上有兩個實數根,
所以,,
又因為，
所以在上有兩個不同的實數根,
則.
故答案為：.
15．甲袋中有個蘋果，個橘子，乙袋中有3個蘋果，2個橘子，現從甲袋中隨機取一個水果放在乙袋，再從乙袋中隨機取一個水果，若從乙袋中取出的水果是蘋果的概率為，則的最小值為 ．
【答案】7
【分析】分情況求從乙袋中取出的水果是蘋果的概率，求和化簡可得，，再結合對勾函數的單調性可得最小值.
【詳解】從甲袋中取處的水果為蘋果且從乙袋中取出的水果是蘋果的概率為，，，
從甲袋中取處的水果為橘子且從乙袋中取出的水果是蘋果的概率為，，，
所以，，，
即，，
則，，
又函數在上單調遞減，在上單調遞增，
，，
所以當時，取最小值為，
故答案為：.
16．已知函數與函數互為反函數，它們的圖象關于對稱．若關于的不等式恒成立，則實數的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】由題意，只需不等式恒成立即可，令，利用導數求出最小值即可得解.
【詳解】由恒成立，可得，此時直線恒在直線上方，
不等式恒成立只需不等式恒成立即可，
令，則，由可得，
當時，，當時，，
在上單調遞減，在上單調遞增，
，
.
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：本題解題關鍵是利用反函數的性質，結合恒成立，得到，再將所求不等式恒成立轉化為恒成立.
四、解答題
17．在中，點為邊上一點，滿足，，．
(1)求；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先，根據已知條件求，利用正弦定理解三角形求；
（2）先求，再根據范圍求角.
【詳解】（1），，且，,
則，，
，；
，，
，，
，
,，解得：.
（2）
，
而.
五、應用題
18．隨著全國新能源汽車推廣力度的加大，新能源汽車消費迎來了前所未有的新機遇．
(1)為了更好了解大眾對新能源汽車的接受程度，某城市汽車行業(yè)協會依據年齡采用按比例分層隨機抽樣的方式抽取了200名市民，并對他們選擇新能源汽車，還是選擇傳統(tǒng)汽車進行意向調查，得到了以下統(tǒng)計數據：
完成列聯表，并判斷依據的獨立性檢驗，能否認為選擇新能源汽車與年齡有關．
(2)為了解某一地區(qū)新能源汽車銷售情況，某機構根據統(tǒng)計數據，用最小二乘法得到該地區(qū)新能源汽車銷量（單位：萬臺）關于年份的線性回歸方程為，且銷量的方差，年份的方差為．求與的相關系數，并據此判斷該地區(qū)新能源汽車銷量與年份的相關性強弱；
參考公式：（i）線性回歸方程：，其中，；
（ii）相關系數，若，則可判斷與線性相關較強；
（iii），其中．
附表：
【答案】(1)表格見解析，有關
(2)0.94，與線性相關較強.
【分析】（1）完成列聯表，再根據列聯表中的數據以及公式進行計算求解即可；
（2）由相關系數的公式代入求解即可.
【詳解】（1）由題可知：
零假設為：選擇新能源汽車與車主性別相互獨立，即選擇新能源汽車與車主年齡無關．
所以，
所以依據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立.
由此推斷犯錯誤的概率不大于，故至少有的把握認為選擇新能源汽車與年齡有關.
（2）相關系數為
所以，故與線性相關較強.
六、解答題
19．數列的前項積為，，數列是公差為的等差數列．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，若數列的前項和為，求的最大值與最小值．
【答案】(1)
(2)最小值為，最大值為
【分析】（1）由數列是公差為的等差數列求出，再由時，即可求解；
（2）數列是等比數列，根據前項和的單調性求最大值與最小值．
【詳解】（1）數列是公差為的等差數列，
，，
，
時，，
又符合上式，
．
（2），數列是首項為，公比為的等比數列，
，
①當為奇數時，，
此時為單調遞減數列，，
②當為偶數時，，
此時為單調遞增數列，，
綜上①②，的最小值為，最大值為.
20．已知的內角，，所對的邊分別為，，，且．
(1)求角的大??；
(2)，，點為線段的中點，點、分別在線段和上，滿足，求面積的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據三角恒等變換及正弦定理可得，，再根據，求解即可；
（2）設則有，，從而得，令，由三角恒等變換及輔助角公式，求出的最大值，即可得答案.
【詳解】（1）解：因為，
所以，
即，
由正弦定理，可得，
因為，可得且，
所以，則，所以，
因為，所以，
則.
（2）解：設
在中，，
在中，，
由得，
，
令，
其中，
所以當即時，，
所以.
21．為積極響應“反詐”宣傳教育活動的要求，提高市民“反詐”意識，某市進行了一次網絡“反詐”知識競賽，共有10000名市民參與了知識競賽，現從參加知識競賽的市民中隨機地抽取100人，得分統(tǒng)計如下：
(1)現從該樣本中隨機抽取兩名市民的競賽成績，求這兩名市民中恰有一名市民得分不低于70分的概率；
(2)若該市所有參賽市民的成績近似服從正態(tài)分布，試估計參賽市民中成績超過79分的市民數（結果四舍五入到整數）；
(3)為了進一步增強市民“反詐”意識，得分不低于80分的市民可繼續(xù)參與第二輪答題贈話費活動，規(guī)則如下：
①參加答題的市民的初始分都設置為100分；
②參加答題的市民可在答題前自己決定答題數量，每一題都需要用一定分數來獲取答題資格（即用分數來買答題資格），規(guī)定答第k題時所需的分數為；
③每答對一題得2分，答錯得0分；
④答完題后參加答題市民的最終分數即為獲得的話費數（單位：元）．
已知市民甲答對每道題的概率均為，且每題答對與否都相互獨立，則當他的答題數量為多少時，他獲得的平均話費最多？
參考數據：若，則，，
【答案】(1)
(2)1587
(3)或
【分析】（1）由表可知，現從該樣本中隨機抽取兩名市民的競賽成績，基本事件總數為，這兩名市民中恰有一名市民得分不低于70分包含的基本事件的個數為，利用古典概型公式即可得解.
（2）根據正態(tài)分布區(qū)間概率公式求解即可.
（3）以隨機變量表示甲答對的題數，則且，記甲答完題所加的分數為隨機變量，則，所以，列出甲答完n題后的最終得分為，即可得出結果.
【詳解】（1）從該樣本中隨機抽取兩名市民的競賽成績，基本事件總數為，設“抽取的兩名市民中恰有一名市民得分不低于70分”為事件A，則事件包含的基本事件的個數為，因為每個基本事件出現的可能性都相等，所以，
即抽取的兩名市民中恰有一名市民得分不低于70分的概率為；
（2）因為，所以，
故參賽市民中成績超過79分的市民數約為；
（3）以隨機變量表示甲答對的題數，
則且，
記甲答完題所加的分數為隨機變量，
則，所以，
依題意為了獲取答道題的資格，
甲需要的分數為：，
設甲答完題后的最終得分為，
則
.
由于，所以當或時，取最大值.
即當他的答題數量為或時，他獲得的平均話費最多.
【點睛】本題考查古典概型、正態(tài)分布的性質、二項分布的性質及數學期望的實際應用，考查學生對數據的分析與處理能力.
七、證明題
22．已知關于的方程有兩個不同實根，．
(1)求實數的取值范圍；
(2)證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據題意，將問題轉化為方程在有兩根，然后構造函數求最值，即可得到結果；
（2）根據題意，構造函數，可得在單調遞增，即可得到，從而得到證明.
【詳解】（1）方程，
令，函數在單調遞增且，
方程在有兩根，
可轉化方程在有兩根，其中，
令，則在為減函數，在為增函數，
又時，；時，，.
（2）不妨設兩根，則，，
令則，
在單調遞增，時，，
由得，，
而在單調遞減，且，
所以，所以，
，
，又，
，而在單調遞增，
.
【點睛】關鍵點睛：本題主要考查了利用導數研究函數零點問題，以及利用導數證明不等式，難度較大，解答本題的關鍵在于構造函數，通過函數的最值或者單調性解決問題.
選擇新能源汽車
選擇傳統(tǒng)汽車
合計
40歲以下
70
40歲以上（包含40歲）
60
100
合計
200
選擇新能源汽車
選擇傳統(tǒng)汽車
合計
40歲以下
70
30
100
40歲以上（包含40歲）
40
60
100
合計
110
90
200
成績（分）
頻數
6
12
18
34
16
8
6

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