一、單選題
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出集合，再由交集的定義求解即可.
【詳解】因為，
所以，則.
故選：C.
2．已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算及復(fù)數(shù)的模求解.
【詳解】，
，
故選：A
3．已知無窮數(shù)列，則“，使得”是“數(shù)列有最大項”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【分析】考查且時，可知充分性不成立，若數(shù)列是遞減數(shù)列，可知必要性不成立.
【詳解】若且，
此時，
則且，即，使得，
但沒有最大項，故充分性不成立；
若數(shù)列是遞減數(shù)列，則其最大項為，
則不存在，使得，
故必要性也不成立，
故選：D.
4．若不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】參變分離為對任意恒成立，求出，故.
【詳解】對任意恒成立，
變形為對任意恒成立，
其中，
又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
其中當(dāng)時，，當(dāng)時，，
，故.
故選：A
5．已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及二倍角余弦公式求解.
【詳解】
，
故選：C
6．如圖，圓臺的軸截面為等腰梯形在上底面的圓周上，且，則在上的投影向量為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】連接，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式及投影向量的定義即可得解.
【詳解】如圖，連接，則底面圓，
以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
不妨設(shè)圓臺的高為，，則，
故，
則，
所以，
所以在上的投影向量為.
故選：B.
7．已知雙曲線的左?右焦點分別為為坐標(biāo)原點，圓交雙曲線的左支于點，直線交雙曲線的右支于點，若為的中點，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)，據(jù)雙曲線的定義可用表示，由直角三角形可計算得，并用勾股定理列出了，進(jìn)而可求.
【詳解】設(shè)，則，因為為的中點，
所以，則由雙曲線的定義可知，
因為圓交雙曲線的左支于點，所以，
所以，即，
則化簡可得，即，
則，所以，
所以，即，
則化簡可得，即，
故選：D.
8．已知正數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】不等式可化為，分別構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大、最小值，由不等式左邊最小值等于右邊的最大值，建立方程即可得解.
【詳解】由，
設(shè)，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號；
設(shè)，則，
當(dāng)時，當(dāng)時，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，故，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
又，則，
此時，則.
故選：A
【點睛】關(guān)鍵點點睛：不等式中含有不相關(guān)的雙變量，據(jù)此分別構(gòu)造不同的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值是關(guān)鍵之一，其次根據(jù)不等式左邊的最小值與不等式右邊的最大值相等，由不等式成立得出方程是關(guān)鍵點之二，據(jù)此建立方程求解即可.
二、多選題
9．已知實數(shù)滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合特殊值逐項分析即可.
【詳解】因為，
所以，故A正確；
可化為，顯然成立，故B正確；
又，故，則C錯誤；
令，則，故D錯誤，
故選：AB.
10．已知四棱錐的高為2，側(cè)棱長都相等，且各個頂點都在球的球面上，，，則下列說法正確的是（ ）
A．平面截球所得的截面面積為
B．四棱錐的側(cè)棱長為
C．球的表面積為
D．到平面的距離為
【答案】ACD
【分析】首先確定四邊形四點共圓，圓心為點在底面的射影，進(jìn)而分析出四邊形外接圓的半徑，以及側(cè)棱長，并利用四棱錐外接球的球心在上，利用直角三角形求得外接球的半徑，得到球的表面積，利用等體積轉(zhuǎn)化求得到平面的距離.
【詳解】如圖，平面，因為側(cè)棱長相等，所以點到的距離相等，即點是四邊形外接圓的圓心，
因為，則，
所以點為的中點，因為，，所以，
則四邊形外接圓的半徑為1，則平面截球所得的截面面積為，故A正確；
中，,則四棱錐的側(cè)棱長為，故B錯誤；
設(shè)四棱錐外接球的球心為，在上，半徑為，
設(shè)，，
則中，，得，那么四棱錐外接球的半徑，
所以球的表面積為，故C正確；
因為，，為等腰直角三角形，則，
中，，，，
中，，
設(shè)點到平面的距離為，
則，則，則，故D正確.
故選：ACD
11．已知等比數(shù)列的公比為，且，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．?dāng)?shù)列的前2023項和一定大于0
C．若，則
D．若，則一定小于0
【答案】BCD
【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可判斷A；討論，結(jié)合等比數(shù)列的前項和可判斷B；構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值結(jié)合等比數(shù)列的通項公式可判斷C，D.
【詳解】對于A，由可得：，
因為，所以，即，
，解得：或，故A錯誤；
對于B，當(dāng)時，則，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，，，所以，
當(dāng)時，，，，所以，
當(dāng)時，，，，所以，
所以數(shù)列的前2023項和一定大于0，故B正確；
對于C，若，則，即，
設(shè)，，
則，所以在上單調(diào)遞減，
所以，則，所以，
所以，故C正確；
對于D，若，因為是等比數(shù)列，
所以，
設(shè)，，
令，，
令，則，令，則，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，所以，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
所以當(dāng)時，，
如下圖，畫出，易知，當(dāng)時，存在，
即，即，因為，故，故D正確；
故選：BCD.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題C，D選項的關(guān)鍵點在于構(gòu)造函數(shù)，，通過對函數(shù)求導(dǎo)，求出函數(shù)的最值結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)而得出答案.
12．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有6個不相等的實根，則實數(shù)的值可能為（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】令，求出的值域，作出的圖象，根據(jù)圖象得出函數(shù)的圖象與的圖象交點的個數(shù)與的關(guān)系，然后分類討論結(jié)合圖形即得.
【詳解】令，則，
因為，
所以，的值域為，
所以，，
作出函數(shù)的圖象，
由圖象可知，當(dāng)時，函數(shù)的圖象與的圖象有4個交點，
當(dāng)時，函數(shù)的圖象與的圖象有3個交點，
當(dāng)或時，函數(shù)的圖象與的圖象有2個交點，
當(dāng)時，函數(shù)的圖象與的圖象沒有交點，
因為，，
所以當(dāng)時，方程有兩根，且，此時方程有2個不相等的實根；
當(dāng)時，方程有三個根，且，此時方程有4個不相等的實根；
當(dāng)時，方程有四個根，且，此時方程有6個不相等的實根；
當(dāng)時，方程有四個根，且，此時方程有5個不相等的實根；
當(dāng)時，方程有四個根，且，此時方程有4個不相等的實根；
當(dāng)時，方程有兩個根，且，此時方程有2個不相等的實根；
當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根，此時方程沒有實根；
綜上所述，當(dāng)時，關(guān)于的方程有6個不相等的實根.
又，所以，所以.
對于A項，不滿足，故A錯誤；
對于B項，滿足，故B正確；
對于C項，不滿足，故C錯誤；
對于D項，，滿足，故D正確.
故選：BD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：將看成兩個函數(shù)與的復(fù)合函數(shù).作出函數(shù)的圖象，根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出函數(shù)的圖象與的圖象與的關(guān)系.
三、填空題
13．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則 .
【答案】
【分析】結(jié)合函數(shù)的圖象，由周期求出，再由求出，即可求出的解析式，進(jìn)而求出.
【詳解】由圖象可知，，則，又因為，
因為，則，
又因為，所以，則，
因為，所以，所以，
所以.
故答案為：.
14．如圖，在正方體中，和分別為底面和側(cè)面的中心，則二面角的余弦值為 .
【答案】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角的余弦值即可.
【詳解】以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
設(shè)正方體棱長為2，則，
故，，，
設(shè)平面，平面的法向量分別為，
則，令，可得，故，
由，令，可得，故，
所以，
由圖形可知，二面角的平面角為鈍角，
故二面角的余弦值為.
故答案為：
15．已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點為，過拋物線上一點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，設(shè)，若與相交于點，且，則的面積為 .
【答案】
【分析】根據(jù)已知求出點的坐標(biāo)，以及準(zhǔn)線的方程，得出點的坐標(biāo).取中點為，由已知可得出，點是的重心.設(shè)，根據(jù)重心得出.由已知可得出共線，代入相關(guān)點的坐標(biāo)，即可得出方程，解出，代入拋物線的方程得出，求出點坐標(biāo)，進(jìn)而即可根據(jù)面積公式得出答案.
【詳解】
由已知可得，，準(zhǔn)線方程為，，
取中點為，則.
又，
所以，，點是的重心.
設(shè)，則，
所以，.
因為三點共線，所以共線.
又，，
所以有，.
代入拋物線的方程可得，，.
不妨取，
所以，.
故答案為：.
16．已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)和滿足：，，且為奇函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于 對稱（寫出一種對稱即可，不必考慮所有情況）；若，，則 .
【答案】 ，（或）
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)運算結(jié)合已知得出，即的圖象關(guān)于對稱，根據(jù)奇函數(shù)定義結(jié)合導(dǎo)數(shù)運算得出，即的圖象關(guān)于對稱，根據(jù)對稱與周期的關(guān)系得出周期為4的周期函數(shù)，即可得出關(guān)于對稱，還關(guān)于對稱，根據(jù)導(dǎo)數(shù)運算結(jié)合已知得出（為常數(shù)），再結(jié)合，給賦特值得出，即可結(jié)合為奇函數(shù)，得出是周期為4的周期函數(shù)，即可根據(jù)與式子反應(yīng)的圖象平移關(guān)系得出也是周期為4的周期函數(shù)，即可結(jié)合已知計算得出答案.
【詳解】由得，
則，即，
則的圖象關(guān)于對稱，
為奇函數(shù)，
，
則，即，
則的圖象關(guān)于對稱，
，，
，即，
則，
是周期函數(shù)，周期為4，
的圖象關(guān)于對稱，還關(guān)于對稱，
的圖象關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，
在一個周期里有與兩個對稱點，則關(guān)于對稱，
在一個周期里有與兩個對稱軸，則關(guān)于對稱，
，
，
（為常數(shù)），
，
，
取，則，解得，
，
，
，
，即，
，
函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，
，即，
的圖象是的圖象平移得出的，
也是周期為4的周期函數(shù)，
則，，
為奇函數(shù)，
，
令，得
，
，
由得，
由得，，，
，
故答案為：，（或）；.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運用，以及抽象函數(shù)的奇偶性，周期性和對稱性的性質(zhì)的靈活轉(zhuǎn)換運用，注意抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運算要結(jié)合復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運算，注意符號的改變，抽象函數(shù)的奇偶性，周期性和對稱性的聯(lián)系怎么體現(xiàn)到算式中，將導(dǎo)數(shù)還原回原函數(shù)時注意要加常數(shù)項.
四、解答題
17．已知方程.
(1)若此方程表示圓，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若的值為（1）中能取到的最大整數(shù)，將得到的圓設(shè)為圓，設(shè)為圓上任意一點，求到直線的距離的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接根據(jù)圓的方程存在的條件即可求出的取值范圍；
（2）由（1）可得的值，求出圓的方程，求出圓心到直線的距離，再根據(jù)到直線的距離的取值范圍為，即可得出答案.
【詳解】（1）若此方程表示圓，則，解得，
即實數(shù)的取值范圍為；
（2）由（1）可知，此時圓，
即，
則圓心到直線的距離，
故圓與直線相離，
所以到直線的距離的取值范圍為，
即.
18．已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且.
(1)求的大?。?br>(2)設(shè)是邊上的一點，且滿足，求的面積的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角整理可得，，進(jìn)而得出.結(jié)合角的范圍，即可得出答案；
（2）根據(jù)已知可得出，進(jìn)而由，結(jié)合已知及面積公式推得.根據(jù)基本不等式得出，即可得出答案.
【詳解】（1）因為，
由正弦定理，
得，
所以
.
因為，所以，即，
解得.
又因為，所以.
（2）由和，可知.
因為，
所以.
又因為，
所以，即.
又，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，
所以，
所以，
所以的面積的最小值為.
19．如圖所示，三棱臺的底面為正三角形，平面，和分別為和的中點，是線段（含端點）上一動點.
(1)求證：平面；
(2)試問：是否存在，使得與平面的所成角為？若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)不存在，理由見解析
【分析】（1）連結(jié)，設(shè)與交于，連結(jié)，，利用線面平行的判定定理證明即可；
（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的坐標(biāo)表示建立方程，求解即可.
【詳解】（1）連結(jié)，設(shè)與交于，連結(jié)，
因為平面平面，所以，
又因為是中點，所以，
所以四邊形為正方形，
所以是的中點，
因為為的中點，所以為的中位線，
所以，
又因為平面平面，
所以平面；
（2）連結(jié)，正中，且平面，
以為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
，
于是，
設(shè)，
即
設(shè)平面的一個法向量為，則，即，
取，則，得，
若與平面的所成角為，
則
，
整理得，此式無解，故不存在這樣的.
20．已知正項數(shù)列的前項和為.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)，結(jié)合題中條件，即可求解；
（2）分奇偶項兩組進(jìn)行求和，一組利用公式法求和；另一組，裂項相消求和.
【詳解】（1）因為，
所以，
相減得：，
因為，所以，
又因為，所以，
即，也適合上式，
所以，即數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，
所以；
（2）因為，
當(dāng)
，
所以
.
21．已知橢圓的上頂點為，設(shè)點軸上的兩個動點和滿足，且當(dāng)位于橢圓的右焦點時，.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)直線和分別交橢圓于和兩點，求證：直線經(jīng)過定點.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意可直接求得，在中，有，可求得，進(jìn)一步計算即可;
（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線和橢圓方程，解出點的坐標(biāo)，求得直線方程進(jìn)一步考查即可；也可設(shè)線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合題中條件即可求得.
【詳解】（1）因為橢圓的上頂點為，所以，
在當(dāng)位于橢圓的右焦點時，中，有，
即，所以，
于是，
所以橢圓的方程為；
（2）設(shè)，則，
因為，所以，即，
設(shè)直線和的斜率分別為和，
則（定值），
（法一）因為直線的方程為，則，化簡得，
解得，于是，
同理可得，又由，整理得，
所以，
于是直線的方程為，化簡得，
所以直線經(jīng)過定點.
（法二）設(shè)直線的方程為，
因為橢圓方程為，即，所以，所以，
整理得，
于是，所以，
解得，
即直線的方程為，令，有，
所以直線經(jīng)過定點.
【點睛】圓錐曲線中定點問題的兩種解法;
(1)引進(jìn)參數(shù)法:引進(jìn)動點的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量,再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系,找到定點.
(2)特殊到一般法:根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點,再證明該定點與變量無關(guān).
22．已知函數(shù).
(1)若，求證：當(dāng)時，；
(2)討論函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù).
【答案】(1)證明見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)考查函數(shù)的單調(diào)性即可證明；（2）利用導(dǎo)數(shù)考查函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理即可求解.
【詳解】（1）當(dāng)時，，所以，
因為，所以，所以，
所以在上單調(diào)遞增，，得證；
（2）由題意，，
所以，
當(dāng)時，因為，
所以，所以在上單調(diào)遞增；
.當(dāng)時，設(shè)，
因為，
所以在上單調(diào)遞增，
且
①當(dāng)即時，
對恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，結(jié)合1可知，在上單調(diào)遞增，
因為，所以在區(qū)間上的零點個數(shù)為1；
②當(dāng)即時，
，使得，
結(jié)合可知：
當(dāng)時，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
所以，
所以存在和，使得，
即在區(qū)間上的零點個數(shù)為2.
綜上：當(dāng)時，在區(qū)間上的零點個數(shù)為1；
當(dāng)時，在區(qū)間上的零點個數(shù)為2
【點睛】方法點睛：求零點的個數(shù)一般有兩個思路：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，求得最值，利用零點存在性定理進(jìn)行求解；二是轉(zhuǎn)化為求方程的根的個數(shù)，通?？梢赞D(zhuǎn)化為求兩個函數(shù)交點的個數(shù)，注意數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想.

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