一、單選題
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)交集與補集的定義求解.
【詳解】，
，，
故選：C.
2．已知為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則的虛部為（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】C
【分析】由題意可得，根據(jù)復數(shù)的乘、除法運算可得，結(jié)合復數(shù)的有關(guān)概念即可求解.
【詳解】由題意知，，
所以復數(shù)的虛部為1.
故選：C.
3．已知，，若，則的最小值為（ ）
A．2B．4C．D．9
【答案】D
【分析】由基本不等式結(jié)合乘“1”法可得答案.
【詳解】由可得，
，
當且僅當?shù)忍柍闪ⅲ?br>故選：D.
4．19世紀美國天文學家西蒙·紐康在翻閱對數(shù)表時，偶然發(fā)現(xiàn)表中以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率更高．約半個世紀后，物理學家本·福特又重新發(fā)現(xiàn)這個現(xiàn)象，從實際生活得出的大量數(shù)據(jù)中，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)約為總數(shù)的三成，并提出本·福特定律，即在大量進制隨機數(shù)據(jù)中，以開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為，如斐波那契數(shù)、階乘數(shù)、素數(shù)等都比較符合該定律．后來常有數(shù)學愛好者用此定律來檢驗某些經(jīng)濟數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實性．若（，），則的值為（）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】結(jié)合條件及對數(shù)的運算法則計算即可.
【詳解】依題意，得
，
又，故．
故選：B．
5．設是定義域為的偶函數(shù)，且，則（ ）
A．0B．1C．2023 `D．無法確定
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，由條件可得是周期為4的函數(shù)，再由函數(shù)為偶函數(shù)可得，代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因為，所以，
所以是周期為4的函數(shù)，
所以，
由，可得，即，
又因為是定義域為的偶函數(shù)，
所以，所以，
所以.
故選：A
6．設數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則“”是“存在滿足”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】由題意可知，根據(jù)不等式的性質(zhì)依次證明充分、必要條件成立，即可求解.
【詳解】由題意知，，則.
當時，存在使得，則，即，
所以充分條件成立；
當時，即，
若，則，q無實數(shù)解，不符合題意，
若，則，解得，所以必要條件成立，
所以“”是“存在滿足”的充要條件.
故選：C
7．已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用在區(qū)間上單調(diào)遞增，得到，從而得出，再利用，得到，再構(gòu)造，利用導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性間的關(guān)系，得出在區(qū)間上單調(diào)遞增，從而得出，即可得出結(jié)果.
【詳解】因為，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，
又，所以，得到，即，所以，故選項C和D錯誤；
又，所以，得到，即，
令，則，令，得到，
令，其部分圖像如圖所示，
如圖，當時，，且，
又，，所以，當時，，
所以，當時，，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又當時，，
所以，當，，得到，即，
故選：A.
【點睛】關(guān)鍵點晴，本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得到在區(qū)間上單調(diào)遞增，從而解決問題.
8．如圖，是輪子外邊沿上的一點，輪子的半徑為0.5（單位：）.若輪子從圖中位置向右勻速無滑動滾動，設當滾動的水平距離為（單位：）時，點距離地面的高度為（單位：），則下列說法中正確的是（ ）
A．當時，點恰好位于輪子的最高點
B．，其中
C．當時，點距離地面的高度在下降
D．若，，則的最小值為
【答案】B
【分析】根據(jù)條件，求出，再對各個選項逐一分析判斷即可得出結(jié)果.
【詳解】如圖，過分別作地平線的垂線，垂足分別為，過作于，記，
又輪子的半徑為0.5，則有，得到，
在中，，所以，
故，
對于選項A，當時，，所以選項A錯誤；
對于選項B，，所以選項B正確；
對于選項C，當時，，又，所以在區(qū)間上先減后增，故選項C錯誤；
對于選項D，由，得到，
由，得到或，，
又，當，時，滿足，此時，故選項D錯誤，
故選：B.
二、多選題
9．設，為實數(shù)，且，下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】對于A，可直接判斷，對于B，利用作差法判斷，對于CD，舉例判斷即可.
【詳解】因為，所以，
對于A，當時，，所以A正確，
對于B， ，所以B正確，
對于C，當時， ，所以C錯誤，
對于D，當時，則，所以D錯誤，
故選：AB.
10．如圖，函數(shù)（）的圖象與軸相交于，兩點，與軸相交于點，且滿足的面積為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．函數(shù)的圖象對稱中心為，
C．的單調(diào)增區(qū)間是，
D．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后可以得到函數(shù)的圖象
【答案】AC
【分析】由題意，結(jié)合圖象可得，即函數(shù)的最小正周期為，即可求得，得到，利用整體代換法計算正切函數(shù)的對稱中心和單調(diào)區(qū)間即可判斷BC，利用函數(shù)的平移變換即可判斷D.
【詳解】A：當時，，又，
所以，得，
即函數(shù)的最小正周期為，由得，故A正確；
B：由選項A可知，令，
解得，即函數(shù)的對稱中心為，故B錯誤；
C：由，得，故C正確；
D：將函數(shù)圖象向右平移個長度單位，得函數(shù)的圖象，故D正確.
故選：ACD
11．在棱長為2的正方體中，點是棱的中點，點在底面內(nèi)運動（含邊界），則（ ）
A．若是棱的中點，則平面
B．若在上運動，則
C．若在棱上運動，則四面體的體積為定值
D．若直線，與底面所成的角相等，則點的軌跡長度為
【答案】ACD
【分析】如圖，根據(jù)面面平行的判定定理與性質(zhì)即可證明A；建立如圖空間直角坐標系，設，利用空間向量法證明，即可判斷B；如圖，點F到平面的距離為CD到平面的距離為定值2，即可判斷C；如圖，利用空間兩點距離公式計算確定點F的軌跡方程，結(jié)合圖形即可判斷D.
【詳解】A：如圖，連接，則，取BC的中點G，連接EG、FG，
則，所以，
又平面，平面，
所以平面，平面，又，平面，
所以平面平面，由平面，得平面，故A正確；
B：建立如圖空間直角坐標系，
則，
設，則，
所以，又，
所以，所以不成立，故B錯誤；
C：如圖，易知四面體為三棱錐，
由圖可知點F到平面的距離為CD到平面的距離，即為2，
所以，為定值，故C正確；
D：如圖，直線與平面所成角分別為銳角，
則，即，有，
設，由，得，
整理得，
即點F在平面內(nèi)的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓弧，
則圓心角，所以圓弧的弧長為，故D正確.
故選：ACD
12．設是定義域為的可導函數(shù)，若存在非零常數(shù)，使得對任意的實數(shù)恒成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì).則（ ）
A．若函數(shù)具有性質(zhì)，則也具有性質(zhì)
B．若具有性質(zhì)，則
C．若具有性質(zhì)，且，則
D．若函數(shù)（，）具有性質(zhì)，則的取值范圍是
【答案】ABC
【分析】對給定等式兩邊求導，再利用定義判斷A；求出的周期計算判斷B；由性質(zhì)求出數(shù)列的通項，再計算前n項和判斷C；取說明判斷D.
【詳解】對于A，函數(shù)具有性質(zhì)，即存在非零常數(shù)，使得對任意的實數(shù)恒成立，
對兩邊求導得，
因此存在非零常數(shù)，使得對任意的實數(shù)恒成立，也具有性質(zhì)，A正確；
對于B，函數(shù)具有性質(zhì)，則對任意的實數(shù)，，即，
于是，即函數(shù)的周期是4，因此，
所以，B正確；
對于C，函數(shù)具有性質(zhì)，則，有，
取，則，而當時，，
因此數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
則，C正確；
對于D，函數(shù)（，）具有性質(zhì)，即存在非零常數(shù)，
使得對任意的實數(shù)恒成立，即，而，因此，
當時，令，求導得，當時，，當時，，
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，
于是當時，的解為，與非零常數(shù)矛盾，即，
因此的取值范圍不是，D錯誤.
故選：ABC
【點睛】思路點睛：涉及函數(shù)新定義問題，理解新定義，找出數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想與題意有關(guān)的數(shù)學知識和方法，再轉(zhuǎn)化、抽象為相應的數(shù)學問題作答.
三、單空題
13．若向量，滿足，，且在上的投影向量為，則 .
【答案】3
【分析】由投影向量公式可得，再求即可.
【詳解】在上的投影向量為，因為，所以，
所以，
故答案為：3.
四、填空題
14．已知是第三象限角，是終邊上的一點，若，則 .
【答案】/0.5
【分析】利用三角函數(shù)的定義求出的值，再利用二倍角公式求解即可.
【詳解】因為是終邊上的一點，所以,
則解得，
又因為是第三象限角，所以即，從而.
所以.
從而.
故答案為：
15．在平面直角坐標系中，已知直線與圓相切于點，與圓相交于，兩點（異于），若，則 .
【答案】
【分析】求出兩圓的圓心坐標，表達出圓心距，過兩圓心作已知直線的垂線，利用幾何知識即可得出兩圓半徑，進而求出的值.
【詳解】由題意，，
在圓中，圓心，半徑為，
在圓中，圓心，半徑為，
連接，
∴直線的解析式為：，且直線與直線平行，
，
在直線中，，
∵直線與圓相切于點，
∴
與圓相交于，兩點（異于），
過作垂直于點，連接

∴，，
∵,
∴，解得：，
在中，，
由勾股定理得：，即，
解得：，
∴
故答案為：.
五、單空題
16．設定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，已知，且，若關(guān)于的不等式的解集中恰有一個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，通過以及條件可得，將不等式，轉(zhuǎn)化為，畫出和的圖像，根據(jù)圖像列不等式求解.
【詳解】設，則，
所以
所以，
又，得，
所以，
所以，
即
對于函數(shù)，，
當，即時，函數(shù)單調(diào)遞增，
當，即時，函數(shù)單調(diào)遞減，
又函數(shù)恒過點，
再同一坐標系中畫出和的圖像如下：
，
若關(guān)于的不等式的解集中恰有一個整數(shù)，則該整數(shù)必為，
所以，解得.
故答案為：.
六、證明題
17．記為數(shù)列的前n項和，滿足，.
(1)求的通項公式；
(2)證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）首先根據(jù)與的關(guān)系，得到的遞推關(guān)系，然后再利用累乘法求解通項公式；
（2）根據(jù)第一問的結(jié)果求得數(shù)列的通項公式，然后借助裂項相消的求和方法求其前項和，進而證明不等式成立.
【詳解】（1）因為，
∴當時，，
所以，
整理得：，即，
∴
顯然對于也成立，
∴的通項公式
（2）
∴
由于，所以，故得證.
七、問答題
18．在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知，．
(1)求角B的大??；
(2)若的面積，設D是BC的中點，求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)結(jié)合已知條件和正弦定理邊化角，三角恒等變換即可求出B；
(2)根據(jù)三角形面積公式求出a，根據(jù)余弦定理求出b.在和分別由正弦定理表示出和，根據(jù)，即可得.
【詳解】（1）∵，
∴由正弦定理得，，
即，
即，
即，
即，
，，，
，；
（2），
.
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
，，
∴.
19．已知函數(shù)
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當時，.
【答案】(1)答案見解析；
(2)證明見解析.
【分析】（1）對函數(shù)求導，討論、研究導數(shù)符號，即可確定對應單調(diào)性；
（2）由（1）知，應用分析法，將問題轉(zhuǎn)化為證明在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)并研究恒成立.
【詳解】（1）由且，
當，即，則，此時在上遞減；
當，即，則上，上，
此時在上遞增，上遞減；
綜上，時在上遞減；時在上遞增，在上遞減；
（2）由（1）知：時，
要證，即證，
只需證在上恒成立，
令且，則，
當時，遞減；當時，遞增；
所以，
即在上恒成立，故時，得證.
八、證明題
20．如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)面底面，為中點，，.
(1)求證：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)三棱柱的性質(zhì)和三角形中位線，由線面平行的判定定理即可得出證明；
（2）利用線面垂直的判定定理可得，，兩兩垂直，建立以為坐標原點的空間直角坐標系，利用空間向量即可求得二面角的余弦值.
【詳解】（1）連結(jié)交于，連結(jié)，如下圖所示：
在三棱柱中，四邊形是平行四邊形，，
所以是的中點.
在中，為中點，故，
又平面，平面，
所以平面.
（2）由（1）可知，，又，所以.
在正中，為中點，所以，
又因為，，平面，
所以平面，又平面，所以.
又平面平面，平面，平面平面，
所以平面.
因為，平面，所以，.
所以分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，如下圖所示：
則，，，，
所以，.
顯然，是平面的一個法向量，
設平面的法向量為，
則即取，則；
所以是平面的一個法向量，
，
設二面角的大小為，
據(jù)圖可知二面角為銳角，，
所以二面角的余弦值為.
九、問答題
21．在平面直角坐標系中，已知圓的方程為，且圓與軸交于，兩點（在的左側(cè)），若直線：（）與圓相交于，兩點.
(1)若，求實數(shù)的值；
(2)設直線與直線交于點，記直線，直線，直線的斜率分別為，，，求的值.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）由構(gòu)成方程組得，再結(jié)合點，在圓上可求得，則可求；
（2）設直線的方程為，聯(lián)立直線方程與圓的方程可得，B同理可得，再由，，三點共線，得到 ，能得到與的關(guān)系式，然后可求，得到與的關(guān)系式，則的值可求.
【詳解】（1）設，，
由得，即，故.
因為點，在圓上，所以，解得：，
所以，又，所以.
（2）依題意，，，直線的方程為，
聯(lián)立方程組，整理得：，
所以，，故.
同理可得.
因為，，三點共線，所以，即，
整理可得：，
顯然，故.
設，則，解得，
即，所以，所以.
十、證明題
22．已知函數(shù)，其中a為實數(shù).
(1)若，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；
(2)若函數(shù)在上存在兩個極值點，，且.求證：.
【答案】(1)0
(2)證明見解析
【分析】利用導函數(shù)的判斷函數(shù)的單調(diào)性即可求最小值.
先根據(jù)，為函數(shù)在上存在兩個極值點，可得，為的兩根，可得，帶入后即證，再根據(jù)，和的關(guān)系，消元后只需要證明即，結(jié)合，即證.
【詳解】（1）當時，，，，
令，，則，
所以在上單調(diào)遞增，故，
所以，在上單調(diào)遞增，
所以當時，的最小值為．
（2）依題意，在上存在兩個極值點，，且．
所以在R上有兩個不等的實根，，且．
令，，
所以當時，，所以在上單調(diào)遞減，
當時，，在上單調(diào)遞增，
故函數(shù)在處取得最小值，
要使得在R上有兩個不同的零點，必須滿足得，
此時，故．
因為，是的兩個不等的實根，
所以，即
要證：，即證：，只要證：．
下面首先證明：．
要證：，即證：，
因，在上單調(diào)遞增，
只要證：，即證：，
令，，
則，
所以在上單調(diào)遞減，，即．
因為，所以．
所以，故．
要證：，只要證：，即證：，
只要證：，即證：，
事實上，，顯然成立，得證．
【點睛】方法點睛：
雙變量問題常用解題策略：
1.變更主元，對于題目涉及到的兩個變元，已知中一個變元在題設給定的范圍內(nèi)任意變動，求另一外變元的取值范圍問題，這類問題我們稱之不“偽雙變量”問題.這種“偽雙變量”問題，往往會利用我們將字母x作為自變量的誤區(qū)來進行設計.此時，我們變更一元思路，將另一個變量作為自變量，從而使問題得以解決，我們稱這種方法為變更主元法.
2.指定主變量，有些問題雖然有兩個變量，只要把其中一個當作常數(shù)，另一個看成自變量，便可使問題得以解決，我們稱這種思想方法為指定主變量思想.
3.整體代換，變量歸一，通過等價轉(zhuǎn)化，將關(guān)于,x的雙變量問題等價轉(zhuǎn)化為以x,x所表示的運算式作為整體的單變量問題，通過整體代換為只有一個變量的函數(shù)式，從而使問題得到巧妙的解決，我們將這種解決問題的思想稱之為變量歸一思想.

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