一、單選題
1．已知全集，集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用對數(shù)函數(shù)的定義域求解集合B，再利用補(bǔ)集運(yùn)算和交集運(yùn)算求解即可.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>又，所以.
故選：C
2．已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】B
【分析】先利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算及除法運(yùn)算化簡計(jì)算復(fù)數(shù)，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限.
故選：B
3．已知圓臺的上、下底面的半徑分別為1，3，其表面積為，則該圓臺的體積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用圓臺的表面積公式求得母線長，進(jìn)而求得圓臺的高，從而利用圓臺的體積公式即可得解.
【詳解】設(shè)圓臺的母線長為．高為．
所以，解得，
所以．
所以該圓臺的體積．
故選：D．
4．已知是兩個(gè)單位向量，若在上的投影向量為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用投影向量公式，結(jié)合數(shù)量積公式，即可求解.
【詳解】因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛?，所以，所以，所以?br>故選：A．
5．已知直線是兩條不重合的直線，是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】D
【分析】根據(jù)面面平行、垂直的判定與性質(zhì)對選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可
【詳解】對于A：若．則或，故A錯誤；
對于B：由，則設(shè)，當(dāng)時(shí)，也是符合條件的，故B錯誤；
對于C：在長方體中，如圖所示：
滿足，此時(shí)與相交，故C錯誤；
對于D：若，則，故D正確．
故選：D．
6．在數(shù)列中，，且，則數(shù)列的前15項(xiàng)和為（ ）
A．84B．102C．120D．138
【答案】C
【分析】先利用等差中項(xiàng)判斷數(shù)列為等差數(shù)列，然后利用通項(xiàng)公式基本量的運(yùn)算求出通項(xiàng)，利用求和公式求出和，然后分組求和即可求解.
【詳解】因?yàn)椋允堑炔顢?shù)列，
又，所以等差數(shù)列的公差，
所以，所以單調(diào)遞減，且，
所以的前項(xiàng)和，
所以數(shù)列的前15項(xiàng)和為
.
故選：C
7．17世紀(jì)，在研究天文學(xué)的過程中，為了簡化大數(shù)運(yùn)算，蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明了對數(shù)，對數(shù)的思想方法即把乘方和乘法運(yùn)算分別轉(zhuǎn)化為乘法和加法運(yùn)算，數(shù)學(xué)家拉普拉斯稱贊“對數(shù)的發(fā)明在實(shí)效上等于把天文學(xué)家的壽命延長了許多倍”．已知，設(shè)，則所在的區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>，
所以．
故選：D．
8．在中，內(nèi)角的對邊分別為，且，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡可得，再利用余弦定理可得，繼而利用輔助角公式化簡，可得答案.
【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得?br>所以，即，
所以．由正弦定理得．
由余弦定理得．
所以．其中，
所以的最大值為，此時(shí)，即，
故選：C．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用正、余弦定理并結(jié)合輔助角公式得，最后求得其最值.
二、多選題
9．已知事件滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若與互斥，則
C．若，則與相互獨(dú)立
D．若與相互獨(dú)立，則
【答案】BC
【分析】由互斥事件、對立事件以及相互獨(dú)立事件的概率公式逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋裕蔄錯誤；
若與互斥．則，故B正確；
因?yàn)椋耘c相互獨(dú)立．故C正確：
因?yàn)榕c相互獨(dú)立．所以．
所以，故D錯誤．
故選：BC．
10．已知，則下列說法正確的是（ ）
A．的最大值為B．的最小值為
C．的最小值為20D．的最小值為
【答案】BD
【分析】根據(jù)已知結(jié)合二次函數(shù)的最值與基本不等式對選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，則，
所以．
又因?yàn)樗裕蔄錯誤；
．
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．故B正確；
，
當(dāng)且僅當(dāng)．即時(shí)等號成立．
所以的最小值為16．故C錯誤；
，
當(dāng)且僅當(dāng)．即時(shí)等號成立．故的最小值為，故D正確．
故選：BD．
11．如圖，在棱長為1的正方體中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)面上的一點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則
B．的周長的最小值為
C．若，則點(diǎn)到平面的距離為
D．若平面，則線段長度的取值范圍是
【答案】ABD
【分析】A選項(xiàng)由空間向量的線性運(yùn)算可得；記點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，所以的周長最小值為，則B選項(xiàng)可求；建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到面的距離公式可求C；設(shè)是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，確定點(diǎn)的軌跡為線段，則可求D.
【詳解】若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．則，故A正確；
記點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，所以的周長，故B正確；
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系．如圖所示．所以，．所以，，所以．設(shè)平面的一個(gè)法向量為．所以令．解得，所以平面的一個(gè)法向量．所以點(diǎn)到平面的距離，故C錯誤；
取的中點(diǎn)為．取的中點(diǎn)為．取的中點(diǎn)為．
如圖所示．
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以．
因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫妫?br>同理可得平面．
又平面，所以平面平面．
又平面．所以點(diǎn)的軌跡為線段．
由，得，，，，
所以．即為直角．
所以線段長度的取值范圍是．故D正確．
故選：ABD．
12．已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)的極值點(diǎn)為1
B．
C．若分別是曲線和上的動點(diǎn).則的最小值為
D．若對任意的恒成立，則的最小值為
【答案】ACD
【分析】對于A，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求出極值點(diǎn)；對于B，設(shè)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值即可求解；對于C，利用曲線與曲線互為反函數(shù)，可先求點(diǎn)到的最小距離，然后再求的最小值；對于D，利用同構(gòu)把恒成立問題轉(zhuǎn)化為，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解最值即可.
【詳解】．所以，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以的極值點(diǎn)為1，故A正確；
設(shè)，則，
由單調(diào)性的性質(zhì)知在上單調(diào)遞增．
又，則存在．使得，
即，，所以當(dāng)時(shí)．，當(dāng)時(shí)．．
所以在上單調(diào)遞減．在上單調(diào)遞增.
所以，又，則，
所以，故B錯誤；
因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于對稱，
設(shè)點(diǎn)到的最小距離為，設(shè)函數(shù)上斜率為的切線為，
，由得，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，即，所以，
所以的最小值為，故C正確；
若對任意的恒成立，
則對任意的恒成立，
令，則．所以在上單調(diào)遞增，則，
即，令，所以，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
所以，所以，即的最小值為，故D正確.
故選：ACD
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.
三、填空題
13．一組數(shù)據(jù)24，78，47，39，60，18，28，15，53，23，42，36的第75百分位數(shù)是 ．
【答案】50
【分析】由百分位數(shù)的概念求解即可.
【詳解】先按照從小到大排序：15，18，23，24，28，36，39，42，47，53，60，78．
共12個(gè)數(shù)據(jù)，，第9，10個(gè)數(shù)據(jù)分別為47，53，則第75百分位數(shù)為．
故答案為：50
14．已知空間向量，若共面，則 ．
【答案】6
【分析】根據(jù)向量共面列方程，化簡求得的值.
【詳解】若共面，則存在實(shí)數(shù)，使得，
即．
所以，解得．所以．
故答案為：
15．已知函數(shù)，則不等式的解集為 ．
【答案】
【分析】令，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出的單調(diào)性.進(jìn)而判斷的奇偶性.將不等式變形可得， 即.結(jié)合的性質(zhì)即可得出不等式，求解不等式，即可得出答案.
【詳解】令，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且恒成立，
所以在上單調(diào)遞減.
又，
所以是奇函數(shù)．
由，可得，
所以.
又在上單調(diào)遞減，
所以．
整理可得，，解得，
所以不等式的解集為．
故答案為：.
16．在三棱錐中，，且三棱錐的外接球的表面積為，記的面積分別為，則的最大值為 ．
【答案】32
【分析】根據(jù)球表面積公式得出外接球的半徑，設(shè)，由已知結(jié)合外接球的長方體模型可得外接球，即可得出，在結(jié)合三角形面積公式與基本不等式得出，即可代入值得出答案.
【詳解】設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，
所以，解得．
設(shè)，
因?yàn)?
所以由長方體模型可知，即．
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．
所以的最大值為32．
故答案為：32.
四、解答題
17．已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若，且，求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）首先化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的的性質(zhì)，代入公式，即可求解；
（2）由（1）的結(jié)果可得，再根據(jù)角的變換，利用兩角和的正弦公式，即可求解.
【詳解】（1）由題意知
．
故函數(shù)的最小正周期．
令．解得．
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，
（2）因?yàn)椋?br>又．所以，
所以，
所以
．
18．如圖，在直三棱柱中，分別為線段，的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取中點(diǎn)，證明四邊形為平行四邊形，即得，根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面與平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.
【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，如圖所示．
在中，為中點(diǎn),為中點(diǎn)，所以且，
在直三棱柱中，且．
因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又平面平而，所以平面．
（2）在直三棱柱中，平而，
又平面，所以,且,
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示,不妨設(shè)，所以，
所以,設(shè)平面的一個(gè)法向量為．
所以,
令,解得,所以平面的一個(gè)法向量．
又平面的一個(gè)法向量可取為，
設(shè)平面與平面的夾角為,
所以，
即平面與平面夾角的余弦值為．
19．在中，內(nèi)角的對邊分別為，且．
(1)求角的大?。?br>(2)若，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，，求的周長．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理與余弦定理求解即可；
（2）由三角形的面積公式與余弦定理求解可得答案.
【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫矗?br>由余弦定理得．
又．所以．
（2）因?yàn)椋?，又?br>所以，即．
在中，由余弦定理得，
所以．
解得或（舍）．
所以的周長．
20．已知數(shù)列滿足.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列通項(xiàng)公式，注意驗(yàn)證首項(xiàng)是否成立；
（2）先利用裂項(xiàng)相消法求，再利用數(shù)列的單調(diào)性證明即可.
【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列滿足．
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，所以,所以.
當(dāng)時(shí)，，上式也成立.所以.
（2）由（1）知，
所以
.
令，
所以
，
又，所以.
所以是遞增數(shù)列，所以，
所以.
21．如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，，二面角的大小為，點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)．
(1)求證：平面平面；
(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求的值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）設(shè)，由線面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可得平面平面；
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，過點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸．建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，設(shè)，可得，利用線面角的向量求法求出得可得答案.
【詳解】（1）設(shè)，連接，
在菱形中，為中點(diǎn)，且，因?yàn)椋裕?br>又平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，
過點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸．建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
因?yàn)?，所以為二面角的平面角．所以?br>因?yàn)樗倪呅问橇庑?，，所以?br>所以，
所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，
令，解得，
所以平面的一個(gè)法向量，
設(shè)，
所以，
設(shè)直線與平面所成角的大小為，
所以，
解得或（舍）．
所以，所以．
22．已知函數(shù)，
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)與的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）直接求導(dǎo)，討論和，求出對應(yīng)單調(diào)區(qū)間即可；
（2）將題設(shè)轉(zhuǎn)化為有一個(gè)零點(diǎn)，由知函數(shù)除0之外無其他零點(diǎn)，分，，和依次討論函數(shù)的零點(diǎn)情況，即可求解.
【詳解】（1）易得的定義域?yàn)椋?br>令，
若，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，所以在上單調(diào)遞增，
若，即時(shí)，
當(dāng)，即時(shí)，，
所以，所以在上單調(diào)遂增；
當(dāng)，即時(shí)，令，解得或，
所以當(dāng)或時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，即，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）令，
函數(shù)與的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于恰有一個(gè)零點(diǎn)，
又，即函數(shù)除0之外無其他零點(diǎn)，，
令，所以，
當(dāng)時(shí)，，則，
所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，
若，當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，則，
所以恰有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意；
若，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞城，即在上單調(diào)遞減，
又，
則存在，使得，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
令，
所以，
所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，
所以，
所以，
所以在上至少存在1個(gè)零點(diǎn)，不合題意；
若，當(dāng)時(shí)，由上知在上單調(diào)遞減，
所以，
則在單調(diào)遞增，即，
當(dāng)時(shí)，令，則，
即在上單調(diào)遞減，所以，即，
令，則，
即在上單調(diào)遞減，，即，
則，即恰有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意；
若，當(dāng)時(shí)，由上知在上單調(diào)遞減，
又，，
則存在，使得，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)且時(shí)，，
所以在存在1個(gè)零點(diǎn)，不合題意，
綜上，的取值范圍是，
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第2小題的解決關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)有一個(gè)零點(diǎn)， ，所以可得函數(shù)除0之外無其他零點(diǎn)，從而得解.

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安徽省縣中聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

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