一、選擇題：共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
2. 形如我們稱為“二階行列式”，規(guī)定運算，若在復平面上的一個點A對應復數(shù)為，其中復數(shù)滿足，則點A在復平面內(nèi)對應坐標為（）
A. B. C. D.
【答案】A
3. 已知動點的坐標滿足方程，則動點的軌跡是（）
A. 橢圓B. 雙曲線C. 拋物線D. 圓
【答案】C
4. 已知向量，，且，若，則在方向上的投影向量的坐標是（）
A. B. C. D.
【答案】A
5. 中國國家館，以城市發(fā)展中的中華智慧為主題，表現(xiàn)出了“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉，富庶百姓”的中國文化精神與氣質(zhì).如圖，現(xiàn)有一個與中國國家館結(jié)構(gòu)類似的正四棱臺，上下底面的中心分別為和，若，，則正四棱臺的體積為（）
A. B. C. D.
【答案】B
6. 已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，數(shù)列的前項和為，若，則的最大值為（）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
7. 已知是定義在上的偶函數(shù)，函數(shù)滿足，且，在單調(diào)遞減，則（）
A. 在單調(diào)遞減B. 在單調(diào)遞減
C. 在單調(diào)遞淢D. 在單調(diào)遞減
【答案】C
8. 已知點在直線上，過點作圓的兩條切線，切點分別為A，B，點在圓上，則點到直線距離的最大值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
故選:B.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 下列說法正確的是（）
A. 一組數(shù)據(jù)2、3、3、4、5、7、7、8、9、11的第80百分位數(shù)為8.5
B. 在回歸分析中，可用決定系數(shù)判斷模型擬合效果，越小，模型的擬合效果越好
C. 若變量服從，，則
D. 將總體劃分為2層，通過分層抽樣，得到兩層的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為，和，，若，則總體方差
【答案】AC
10. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，且，若為奇函數(shù)，則可能取值為（）
A. B. C. D.
【答案】BD
11. 若函數(shù)，既有極大值點又有極小值點，則（）
A. B. C. D.
【答案】ACD
12. 已知一圓錐，其母線長為且與底面所成的角為，下列空間幾何體可以被整體放入該圓錐的是（）（參考數(shù)值：，）
A. 一個半徑為的球
B. 一個半徑為與一個半徑為的球
C. 一個邊長為且可以自由旋轉(zhuǎn)的正四面體
D. 一個底面在圓錐底面上，體積為的圓柱
【答案】ABC
三、填空題：共4小題，每小題5分，共20分.
13. 二項式的展開式中，所有項系數(shù)和為，則的系數(shù)為______（用數(shù)字作答）.
【答案】
14. 隨機變量有3個不同的取值，且其分布列如下：
則最小值為______.
【答案】
15. 已知雙曲線的左，右焦點分別為，，過左焦點作直線與雙曲線交于A，B兩點（B在第一象限），若線段的中垂線經(jīng)過點，且點到直線的距離為，則雙曲線的離心率為______.
【答案】
16. 已知函數(shù)，有唯一零點，則的值為______.
【答案】2
四、解答題：共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知正項數(shù)列的前項和為，且滿足，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前和.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推式求出首項，得出當時，，和相減并化簡可得，即可求得答案；
（2）利用（1）的結(jié)果可得的表達式，利用等差數(shù)列的前n項和公式以及裂項法求和，即可求得答案.
【小問1詳解】
由得，則，解得，
當時，，所以，
整理得，
因為是正項數(shù)列，所以，所以，
所以是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
所以，.
【小問2詳解】
由（1）可得，，
所以，
所以
.
18. 在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
（1）求證：；
（2）如圖：點在線段上，且，求的值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）在中根據(jù)余弦定理、正弦定理及三角公式化簡可得；
（2）由第一問在中結(jié)合正弦定理可得，在中根據(jù)余弦定理可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
證明：由余弦定理得，
又，可得，即，
由正弦定理得，
而，代入上式，
可得，
所以（舍）或，
即.
【小問2詳解】
因為，，所以，
在中，由正弦定理得，
而，可得，
代入，可得，
由余弦定理得.
19. 如圖，在四棱錐中，棱平面，底面四邊形是矩形，，點為棱的中點，點在棱上，.
（1）求證：；
（2）已知平面與平面的交線與直線所成角的正切值為，求二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用線線垂直證線面垂直，再由線面垂直的性質(zhì)證線線垂直即可；
（2）建立合適的空間直角坐標系，利用空間向量求二面角即可.
【小問1詳解】
因為平面，平面，所以，
又因為四邊形是矩形，所以，
因為平面，
所以平面，
因為平面，所以.
因為為中點，，所以，
因為，所以平面，
因為平面，所以.
【小問2詳解】
在矩形中，，平面，平面，
所以平面.
又平面，平面平面，所以.
所以與直線所成角即為.
在中，，，
所以.
以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，所以，.
設(shè)平面的法向量為，
則，取，
可得.
又為平面的一個法向量，
所以.
由圖可知，二面角為銳角，
所以二面角的余弦值為.
20. 人工智能（AI）是一門極富挑戰(zhàn)性科學，自誕生以來，理論和技術(shù)日益成熟.某公司研究了一款答題機器人，參與一場答題挑戰(zhàn).若開始基礎(chǔ)分值為（）分，每輪答2題，都答對得1分，僅答對1題得0分，都答錯得分.若該答題機器人答對每道題的概率均為，每輪答題相互獨立，每輪結(jié)束后機器人累計得分為，當時，答題結(jié)束，機器人挑戰(zhàn)成功，當時，答題也結(jié)束，機器人挑戰(zhàn)失敗.
（1）當時，求機器人第一輪答題后累計得分的分布列與數(shù)學期望；
（2）當時，求機器人在第6輪答題結(jié)束且挑戰(zhàn)成功的概率.
【答案】（1）分布列見解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用離散型隨機變量的分布列與期望公式計算即可；
（2）根據(jù)超幾何分布分類討論計算即可.
【小問1詳解】
當時，第一輪答題后累計得分所有取值為4，3，2，
根據(jù)題意可知：，，，
所以第一輪答題后累計得分的分布列為：
所以.
【小問2詳解】
當時，設(shè)“第六輪答題后，答題結(jié)束且挑戰(zhàn)成功”為事件A，
此時情況有2種，分別為：
情況①：前5輪答題中，得1分的有3輪，得0分的有2輪，第6輪得1分；
情況②：前4輪答題中，得1分的有3輪，得分的有1輪，第5.6輪都得1分；
所以.
21. 如圖，已知橢圓的左右頂點分別為A、B，P是橢圓上異于A、B的動點，滿足，當為上頂點時，的面積為2.
（1）求橢圓方程；
（2）若直線交直線于點，直線交橢圓于點，求證：直線過定點.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）設(shè)橢圓上頂點，根據(jù)題意求出即可得解；
（2）分直線斜率是否存在，設(shè)，，，先根據(jù)斜率不存在求出定點，
方法1，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出兩點的坐標，然后證明三點共線即可.
方法2，當直線斜率存在時，設(shè)直線為，聯(lián)立方程，利用韋達定理求出，，再結(jié)合已知，求出的關(guān)系，即可得出結(jié)論.
方法3，易得，根據(jù)橢圓的對稱性可得，再利用斜率公式構(gòu)造對偶式，進而可求出的方程，從而可得出結(jié)論.
【小問1詳解】
設(shè)橢圓上頂點，
則，
又，
兩式聯(lián)立可解得，，
所以橢圓的方程為；
【小問2詳解】
設(shè)，，，
當直線斜率不存在時，，
則直線，
所以，可解得，
此時直線方程為，過定點；
下面證明斜率存在時，直線也經(jīng)過，
法1（設(shè)而求點）：
聯(lián)立直線與橢圓方程：整理得，
，
由韋達定理有，即，所以，
所以點坐標為，
同理可得點坐標為，
設(shè)點，則，
因為，所以，
所以直線過定點，證畢.
法2（直曲聯(lián)立）：
當直線斜率存在時，設(shè)直線為，
由，，可知，而，
可得，即，
整理得①，
聯(lián)立直線與橢圓方程：，
整理得，
所以，則，
由韋達定理有，②，
所以③，
將②③代入①得，
可得，所以或，
當時，直線為，經(jīng)過，舍去，
所以，此時直線為，經(jīng)過定點，
直線過定點得證
法3（構(gòu)造對偶式）：
由，，可知，
又，由橢圓對稱性易知，
所以，
可得，
由①②可得，
直線為，令得，，
所以直線過定點，證畢.
【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；
（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.
22. 已知函數(shù)，（）.
（1）若為偶函數(shù)，求此時在點處的切線方程；
（2）設(shè)函數(shù)，且存在分別為的極大值點和極小值點.
（?。┣髮崝?shù)的取值范圍；
（ⅱ）若，且，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義，求出的值，然后利用導數(shù)求切線方程.
（2）（ⅰ）對進行求導，將既存在極大值，又存在極小值轉(zhuǎn)化成必有兩個不等的實數(shù)根，利用導數(shù)得到的單調(diào)性和極值，進而即可求解；
（ⅱ）對進行求導，利用導數(shù)分析極值，將恒成立轉(zhuǎn)化成，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)分類討論求解即
【小問1詳解】
為偶函數(shù)，有，則，
所以，
所以，
所以在點處的切線方程為.
【小問2詳解】
（?。?br>，
因為函數(shù)既存在極大值，又存在極小值，
則必有兩個不等的實根，則，
令可得或，
所以，解得且.
令，，則有：
可知分別在和取得極大值和極小值，符合題意.
綜上，實數(shù)的取值范圍是.
（ⅱ）由，可得，
所以，，，且有，
由題意可得對恒成立，
由于此時，則，
所以，則，
令，其中，
則，
令，則.
①當，即時，，在上是嚴格增函數(shù)，
所以，即，符合題意；
（2）當，即時，
設(shè)方程的兩根分別為，且，
則，，則，
則當時，，則在上單調(diào)遞減，
所以當時，，即，不合題意.
綜上所述，的取值范圍是.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題（ⅱ）關(guān)鍵是將恒成立轉(zhuǎn)化成，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)分類討論求解即可.4
3
2
+
0
0
+
極大值
極小值

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