一、單選題
1．若集合，，則的元素的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】A
【分析】結(jié)合解不等式以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求得集合，根據(jù)集合的交集運(yùn)算，即可得答案.
【詳解】由題意得，
，
故，即的元素的個數(shù)是1個，
故選：A
2．復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)的性質(zhì)、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得答案.
【詳解】，
所以的虛部為.
故選：C.
3．函數(shù)的圖象可能是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用排除法，結(jié)合函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)值的符號分析判斷.
【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)椋?br>且，
所以為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故B，D都不正確；
對于C，時，，，
所以，所以，故C不正確；
對于選項A，符合函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，也符合時，，故A正確．
故選：A.
4．設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，若則的值可以為（ ）
A．B．C．D．或
【答案】A
【分析】由正弦定理求出，結(jié)合求出答案.
【詳解】由正弦定理得，即，
故，
因?yàn)?，所以，?
故選：A
5．若向量，，且，則在方向上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出，再根據(jù)投影向量的定義即可求解.
【詳解】，，
，
，
，解得，
，
在方向上的投影向量為.
故選：C.
6．設(shè)，，則下列說法中正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)，判斷其單調(diào)性，即可判斷A；結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷B；根據(jù)的范圍判斷C，利用基本不等式以及等號成立條件判斷D.
【詳解】設(shè)，則，
因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，故在R上單調(diào)遞減，
所以，即，A錯誤，
因?yàn)樵赗上單調(diào)遞減，故，B正確；
由于，即，
故，C錯誤；
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
但，故，D錯誤，
故選：B
7．我國古代的洛書中記載著世界上最古老的一個幻方：如圖，將1，2，3，…，9填入的方格內(nèi)，使三行，三列和兩條對角線上的三個數(shù)字之和都等于15．一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，…，填入的方格中，使得每行，每列和兩條對角線上的數(shù)字之和都相等，這個正方形叫做階幻方．記階幻方的每列的數(shù)字之和為，如圖，三階幻方的，那么（ ）
A．41B．369C．1476D．3321
【答案】B
【分析】直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式求解即可.
【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)得：九階幻方所有數(shù)字之和為，
由于每列和對角線上的數(shù)字之和都相等，
所以每列的數(shù)字之和為，
故選：B.
8．函數(shù)，若恰有6個不同實(shí)數(shù)解，正實(shí)數(shù)的范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】把問題轉(zhuǎn)化為，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合，再結(jié)合單調(diào)性和對稱性求出參數(shù)范圍即可.
【詳解】由題知，
的實(shí)數(shù)解可轉(zhuǎn)化為或的實(shí)數(shù)解，即，
當(dāng)時，
所以時，，單調(diào)遞增，
時，，單調(diào)遞減，
如圖所示：

所以時有最大值：
所以時，由圖可知，
當(dāng)時，因?yàn)椋?br>所以，
令，則
則有且，如圖所示：

因?yàn)闀r，已有兩個交點(diǎn)，
所以只需保證與及與有四個交點(diǎn)即可，
所以只需，解得．
故選：D
二、多選題
9．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）

A．
B．
C．點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個對稱中心
D．直線是函數(shù)圖象的對稱軸
【答案】ACD
【分析】A選項，根據(jù)圖象得到函數(shù)最小正周期，進(jìn)而得到；B選項，將代入解析式，求出；C選項，，C正確；D選項，計算出，故D正確.
【詳解】A選項，設(shè)的最小的正周期為，
由圖象可知，，解得，
因?yàn)?，所以，A正確；
B選項，將代入中得，，
故，即，
因?yàn)?，所以只有?dāng)時，滿足要求，
故，B錯誤；
C選項，，故，
故點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個對稱中心，C正確；
D選項，，
故直線是函數(shù)圖象的對稱軸，D正確.
故選：ACD
10．已知數(shù)列中，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．是遞增數(shù)列C．D．
【答案】BD
【分析】根據(jù)題意，化簡得到，得到表為等比數(shù)列，進(jìn)而求得數(shù)列的通項公式，結(jié)合選項，逐項判定，即可求解.
【詳解】由，可得，則，
又由，可得，所以數(shù)列表示首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以，所以，
由，所以A不正確；
由，即，所以是遞增數(shù)列，所以B正確；
由，所以C錯誤；
由，，所以，所以D正確.
故選：BD.
11．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若，且均為奇函?shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義可得，，即可代值逐一求解.
【詳解】因?yàn)榫鶠槠婧瘮?shù)，所以，即①，，
因?yàn)?，即，所以，即②?br>由①，取得，
由②，令，得；令，得，所以．
由①，令，得．
故選：ABC
12．如圖，直四棱柱中，底面ABCD為平行四邊形，,，點(diǎn)P是經(jīng)過點(diǎn)的半圓弧上的動點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），點(diǎn)Q是經(jīng)過點(diǎn)D的半圓弧上的動點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），則下列說法正確的是（ ）

A．四面體PBCQ的體積的最大值為
B．的取值范圍是
C．若二面角的平面角為，則
D．若三棱錐的外接球表面積為S，則
【答案】ACD
【分析】根據(jù)棱錐的體積公式可判斷A；根據(jù)向量的相等以及數(shù)量積的定義可判斷B；結(jié)合二面角平面角定義找出，結(jié)合解直角三角形判斷C；確定三棱錐的外接球球心位置，列等式求得半徑表達(dá)式，求得其取值范圍，即可求出三棱錐外接球表面積取值范圍，判斷D.
【詳解】由題意知在直四棱柱中，半圓弧經(jīng)過點(diǎn)D，故，
點(diǎn)P到底面的距離為，
當(dāng)點(diǎn)Q位于半圓弧上的中點(diǎn)時最大，即四面體PBCQ體積最大，
則 ，故A正確；
由于，則，
又在中， ，
故，
因?yàn)?，所以，則 ，故B錯誤；
因?yàn)槠矫?，平面，故，?
平面，故平面，平面，
故，所以是二面角的平面角，

則，因?yàn)?，所以，故C正確；
設(shè)線段BC的中點(diǎn)為N， 線段的中點(diǎn)為K，則三棱錐的外接球球心O在NK上，
在四邊形中，,,
設(shè)，在中，在中，
故，
整理得，所以 ，所以外接球的表面積為，D正確，
故選：ACD
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)在選項D的判斷，解答時要發(fā)揮空間想象，明確空間的點(diǎn)線面位置關(guān)系，確定外接球球心位置，進(jìn)而找出等量關(guān)系，求得球的半徑取值范圍，即可求解球表面積取值范圍.
三、填空題
13．已知角的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，始邊為軸的非負(fù)半軸，若其終邊經(jīng)過點(diǎn)， ．
【答案】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義得到，利用二倍角公式和同角三角函數(shù)關(guān)系化為齊次式，化弦為切，代入求值.
【詳解】由題意得，
.
故答案為：
14．命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】依題意可得“，”是真命題，分、兩種情況討論，分別計算可得.
【詳解】命題“，”是假命題，
則它的否定命題“，”是真命題，
當(dāng)時，不等式為，顯然成立；
當(dāng)時，應(yīng)滿足，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故答案為：．
15．設(shè)點(diǎn)，，在上，若，則 ．
【答案】/
【分析】先根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算律，得；再根據(jù)平面向量的數(shù)量積定義，得；最后根據(jù)圓的性質(zhì)即可解答.
【詳解】
記的半徑為，則.
.
，即.
，因?yàn)椋?br>在中，，則，同理，
所以三角形為等邊三角形，
.
故答案為：.
16．已知無窮等差數(shù)列中的各項均大于0，且，則的范圍為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，分析可得的取值范圍，由求出，則有，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求出其最值，從而可得答案.
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由于無窮等差數(shù)列中的各項均大于0，
則，由于，則，
解得或（舍去），
所以，
因?yàn)?，所以?br>令，
則，由，得，得，解得或（舍去）.
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上遞減，在上遞增，
所以當(dāng)時，取得最小值，
所以，即的范圍為.
故答案為：
四、解答題
17．已知函數(shù)
(1)當(dāng)，求的最值，及取最值時對應(yīng)的的值；
(2)在中，為銳角，且，求的面積．
【答案】(1),；，
(2)
【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式以及二倍角公式結(jié)合輔助角公式化簡可得的表達(dá)式，根據(jù)范圍，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)果可求出角A，利用余弦定理可求出的值，利用三角形面積公式即可求得答案.
【詳解】（1）
，
，
，
當(dāng)，即時，；
當(dāng)，即時，；
（2）由，即，
而為銳角，，則，
，
又，
由余弦定理得，即，即，
.
18．已知函數(shù)，的圖象在處的切線為．
(1)設(shè)，求的最小值；
(2)若對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性進(jìn)而求解最小值；
（2）先將恒成立問題轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性進(jìn)而求出函數(shù)最小值即可.
【詳解】（1），由題意知，
所以=，
令，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；
故，即的最小值為0.
（2）令，則，
由（1）可知當(dāng)時，
所以當(dāng)時，，函數(shù)在單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，函數(shù)在單調(diào)遞增；
所以，
故.
19．已知數(shù)列的前n項和為，，且．
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)已知等差數(shù)列滿足，其前9項和為63．令，設(shè)數(shù)列的前n項和為，求證：．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由題意可得，再結(jié)合當(dāng)時，求出即可；
（2）用基本量法求出，利用裂項相消法求出，適當(dāng)放縮即可證明.
【詳解】（1）證明：，
數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列
可得
當(dāng)時，
當(dāng)時，也滿足上式，
（2）證明：
20．如圖，在四棱錐中，是邊長為2的正三角形，，，，，平面平面．
(1)設(shè)平面平面，問：線段上是否存在一點(diǎn)，使平面？
(2)平面與平面的夾角的余弦值．
【答案】(1)存在為的中點(diǎn)，使平面
(2)
【分析】（1）分別取、的中點(diǎn)、，證明四邊形為平行四邊形，，從而平面，再由線面平行的性質(zhì)定理得到，即，從而平面；
（2）由平面平面，得出平面，建立空間直角坐標(biāo)系求解.
【詳解】（1）存在為的中點(diǎn)，使平面.
分別取、的中點(diǎn)、，連接、、，
，，
，，
，，
四邊形為平行四邊形，，
平面，平面，
平面，
平面平面，平面，
，，
平面，平面，
平面.
即線段上存在一點(diǎn)，使平面.
（2）分別取、中點(diǎn)、，連接、，，
，，
，，
平面平面，平面平面，平面，
平面.
以為原點(diǎn)，以，，分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
，，，
，，
設(shè)向量為平面的一個法向量，
則取，得，
又為平面的一個法向量，
設(shè)平面與平面的夾角為，
，
平面與平面的夾角的余弦值為.
21．已知的三個角，，的對邊分別為，，，，．
(1)求角；
(2)若，在的邊和上分別取點(diǎn)，，將沿線段折疊到平面后，頂點(diǎn)恰好落在邊上（設(shè)為點(diǎn)），設(shè)，當(dāng)取最小值時，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化簡已知條件，進(jìn)而求得.
（2）利用正弦定理或余弦定理，結(jié)合基本不等式或三角函數(shù)的最值等知識求得取最小值時的面積.
【詳解】（1）由正弦定理得，
，
，
即，
，，
即，
，，，
.
（2）方法一：，，為等邊三角形，
，
，，，，
在中，由余弦定理得，
，
即，
整理可得，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
即時，取最小值，
此時 ，
．
方法二：，，為等邊三角形，
，
，，，
設(shè)，，
在中，由正弦定理得，
，即，
整理可得， ，
當(dāng)且僅當(dāng)時，取最小值，
當(dāng)取最小值時，，
在中，，，
.
22．已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求證：.
【答案】(1)答案見解析.
(2)證明見解析.
【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，結(jié)合一元二次方程的根，判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)，即可得答案；
（2）根據(jù)推出，結(jié)合換元，證明，繼而構(gòu)造函數(shù)，判斷其單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理推出，從而證明結(jié)論.
【詳解】（1）由題意知，定義域?yàn)椋?br>，
若，令得，
，
故方程有兩個實(shí)數(shù)根（舍），
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
若，則，故在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（2）證明：由（1）可知當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，不可能有兩個零點(diǎn)，
由得，，
，
又，
令，則，猜想，下面證明：
要證明，即需證明，
令，則，
即在上單調(diào)遞增，故，
故成立；
，
，
令，則，即，
令，則
在上單調(diào)遞增，
，
故，使得，
即當(dāng)時，，即成立，
此時，即有.
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考差了導(dǎo)數(shù)知識的綜合應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，計算量大；難點(diǎn)在于結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)證明不等式問題，解答時要根據(jù)推出，結(jié)合換元，證明，繼而構(gòu)造函數(shù)，判斷其單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理推出，從而證明結(jié)論.
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